1、131 轴对称（一）一、轴对称：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就叫轴对称图形，这条直线叫对称轴二、两个图形成轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称下列各图，你能找出它们的对称轴吗？ (1) (2) (3) (4) (5)131 轴对称（二）一、线段垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做线段的垂直平分线二、图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线类似地，轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分线三、线段垂直平分线
2、的性质：线段垂直平分线的点到这条线段两个端点的距离相等；反过来，与这条线段两个端点距离相等的点都在它的垂直平分线上探究 1线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等即AP1=BP1，AP 2=BP2，证明证法一：利用判定两个三角形全等如下图，在APC 和BPC 中，PCABRtAPCBPC PA=PB.证法二：利用轴对称性质由于点 C 是线段 AB 的中点，将线段 AB 沿直线 L 对折，线段 PA 与 PB 是重合的，因此它们也是相等的探究 21.作线段 AB，取其中点 P，过 P 作 L，在 L上取点 P1、P 2，连结 AP1、AP 2、BP 1、BP 2会有以下两种可能2讨论：要
3、使 L 与 AB 垂直，AP1、AP 2、BP 1、BP 2 应满足什么条件？探究过程：1如上图甲，若 AP1BP1，那么沿 L 将图形折叠后， A 与 B 不可能重合，也就是APP 1BPP 1，即 L 与 AB 不垂直2如上图乙，若 AP1=BP1，那么沿 L 将图形折叠后，A 与 B 恰好重合，就有APP 1=BPP 1，即 L 与 AB 重合当 AP2=BP2 时，亦然122 作轴对称图形一如何由一个平面图形得到它的轴对称图形【探究】四边形 ABCD 的四个顶点的坐标分别为 A(5,1) 、B(2,1)、C(2,5)、D( 5,4)，分别作出与四边形 ABCD 关于 x 轴和 y 轴对
4、称的图形 （归纳：与已知点关于 y 轴或 x 轴对称的点的坐标的规律；）【引申】分别作出PQR 关于直线 x=1(记为 m)和直线 y=1(记为 n)对称的图形，你能发现它们的对应点的坐标之间分别有什么关系吗？若P Q R 中 P (x ,y )关于 x=1(记为 m)轴对称的点的坐标 P (x ,y ) ，11 22则 ，y = y mx212若P Q R 中 P (x ,y )关于 y=1(记为 n)轴对称的点的坐标 P (x ,y ) ，11 22则 x = x ， =n122y133. 1 等腰三角形等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，
5、两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角同学们在自己作出的等腰三角形中，注明它的腰、底边、顶角和底角思考：1等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴2等腰三角形的两底角有什么关系？3顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？4底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？结论：等腰三角形是轴对称图形它的对称轴是顶角的平分线所在的直线因为等腰三角形的两腰相等，所以把这两条腰重合对折三角形便知：等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是顶角的平分线所在的直线沿等腰三角形的顶角的平分线对折，发现它两旁的部分互相重合，由此可知这个等腰三角形的两个底角相等，而且还可以知道顶角的
6、平分线既是底边上的中线，也是底边上的高由此可以得到等腰三角形的性质：1等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角” ） 2等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、 底边上的高互相重合（通常称作“三线合一” ） 例题与练习1如图 2其中ABC 是等腰三角形的是 2如图 3，已知ABC 中，AB=AC A=36，则C_(根据什么？)如图 4，已知ABC 中，A=36，C=72，ABC 是_三角形(根据什么？)若已知A36，C72，BD 平分ABC 交 AC 于 D，判断图 5 中等腰三角形有_若已知 AD4cm ，则 BC_cm3以问题形式引出推论 l_4以问题形式引出推论 2_133.2 等边三
7、角形等边三角形定义：在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边都相等。我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形。等边三角形也称为正三角形。等边三角形的性质：1等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴2等边三角形每一个角相等，都等于 60等边三角形的判断方法：3三个角都相等的三角形是等边三角形4有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形推论：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜边的一半练习巩固1判断下列命题，对的打“” ，错的打“” 。a.等腰三角形的角平分线，中线和高互相重合( )b有一个角是 60的等腰三角形，其它两个内角也为 60( )2如
8、图(2)，在 ABC 中，已知 ABAC，AD 为BAC 的平分线，且225，求ADB 和B 的度数。例题与练习1ABC 是等边三角形，以下三种方法分别得到的ADE 都是等边三角形吗，为什么?在边 AB、AC 上分别截取 AD=AE作ADE60，D、E 分别在边 AB、AC 上过边 AB 上 D 点作 DEBC，交边 AC 于 E 点2 已知：如右图，P、Q 是ABC 的边 BC 上的两点， ，并且PB PQQCAPAQ.求BAC 的大小3. 已知如图所示, 在ABC 中, BD 是 AC 边上的中线, DBBC 于 B, ABC=120 o, 求证: AB=2BC4、如图所示,在等边ABC 的边的延长线上取一点 E,以 CE 为边作等边CDE,使它与ABC 位于直线 AE 的同一侧,点 M 为线段 AD 的中点,点 N 为线段 BE 的中点,求证:CNM 是等边三角形.
