1、第九章 欧几里得空间,定义:设V是R上线性空间,存在映射( ,): , 使得对任意x, y, z V, cR,有 (1). ( x, y) = ( y, x) (2). ( x + y, z) = ( x, z) + ( y, z) (3). ( cx, y) = c ( x, y) (4). ( x, x) 0.且等号成立当且仅当x = 0.则称在V上定义内积( ,). V称为内积空间.有限维实内积空间称为Euclid空间(欧氏空间).,定义:设V是C上线性空间,存在映射( ,): 使得对任意x, y, zV, cC,有(1).(2). (x + y, z) = (x, z) + ( y,
2、z)(3). (cx, y) = c ( x, y)(4). (x, x) 0.且等号成立当且仅当 x = 0.则称在V上定义内积( ,). V称为复内积空间.有限维复内积空间称为酉空间.注1:对任意实数a, ,所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的, 统称为内积空间.注2:在复内积空间中,定义:设V实内积空间, 设 x, yV, 定义x的长度为:定义x与y的距离为:当V是实空间时,定义x, y的夹角的余弦为:当V是复空间时,定义x, y的夹角的余弦为:当( x, y) = 0时, 称x与y正交,记xy.,定理:设V是实的或复的内积空间,设x, yV, c为常数(实数或复数),则(1). (
3、2). (Cauchy-Schwarz不等式)(3). (三角不等式),标准正交基_1,定义:设e1,e2,en是n维内积空间V的一组基, 若(ei,ej)=0,(ij)则称这组基是V的一组正交基, 若(ei,ej)=ij,则称这组基是V的一组标准正交基.注:设e1,e2,en是n维内积空间V的一组标准正交基,则对任意 xV,有 X = (x, e1) e1 + (x, e2) e2 + + (x, en) en引理:内积空间V中任意一组两两正交的非零向量必线性无关.,标准正交基_2,定理:设V是内积空间, ,m是V中m个线性无关的向量,则在V中存在两两正交的向量1,2, ,m,使得 L (,
4、 ,m) = L (1,2,m)推论:任意n维内积空间有一组标准正交基.注:标准正交基可以简化内积的运算,度量矩阵,设V是n维欧氏空间,n是V的一组基,令由内积定义知G是一个实对称矩阵. 设 则( x, y) = (x1, , xn) G (y1, , yn) = XGY这里 X= (x1, , xn), Y= (y1, , yn). 因为当x0时, (x, x) 0, 所以是正定阵.注1: R上n维线性空间的内积实正定矩阵.注2: 当,n为正交基时,G为对角阵；当,n为标准正交基时,G为单位阵.,正交补,定义:设U是内积空间V的子空间,令U =vV| (v, u)=0,对任意uU, 则U是V
5、的子空间, 称为U的正交补空间.定理:设是n维内积空间, U是的子空间,则(1). V = U U , (2). V上任意一组标准正交向量可扩为V 的标准正交基.,正交矩阵_1,设u1, u2, , un和v1, v2, , vn是n维欧氏空间V的两个标准正交基, T是从基v1, v2, , vn到u1, u2, , un的过渡矩阵,即(u1, u2, , un)=(v1, v2, , vn)T.则由于 ,故有TT=I.定义:实n阶方阵T 称为正交阵, 如果T -1=T .注1:设v1,v2,vn是维欧氏空间的一个标准正交基, T是正交阵,且有(u1,u2,un)=(v1,v2,vn)T. 则
6、u1, u2, , un是V的标准正交基.注2:T是正交阵 T 的列向量是标准内积空间的标准正交基.,正交矩阵_2,例: (1). 单位阵是正交阵.(2). 实对角阵是正交阵的充分必要条件是对角元素为1.(3). 上(下)三角阵是正交阵的充分必要条件是它是对角阵且对角元素为1.(4). 是正交阵.,正交矩阵_3,命题:设T, S为正交阵, 则 (1). T 可逆且T -1为正交阵. (2). T *为正交阵. (3). T为正交阵. (4). TS为正交阵. (5). |T | = 1. (6). T的特征值的模长为1.,伴随_1,设V是数域K上线性空间,从V到K的线性映射称为线性函数.设V是
7、n维欧氏空间,内积为(-,-). 固定0vV,则 是V上线性函数.反之,任一线性函数均可由上面方式实现.引理:设f是n维欧氏空间V的线性函数,则必存在V上唯 一向量v,使对任意xV ,均有f(x)=(x,v).定理:设是n维欧氏空间V的线性变换算子,则存在 一线性变换算子*,使得对任意u,vV,有 (u), v)=(u, * (v)注: *称为的伴随变换.,伴随_2,定理:设u1,u2,un是n维欧氏空间V的一组标准正交基,若V的线性变换在这组基下的矩阵为A,则的伴随算子*在这组基下的矩阵为A.定理:设,是n维内欧氏空间V的两个线性变换,c为常数,则(1). (+)*=*+*. (2). (c
8、)*=c*.(3). () *= *.(4). ( *) *= .,正交算子_1,引理:设是维欧氏空间V到W的线性映射,则下列条件等价: (1). 保持内积, (x), (y) ) = (x, y). (2). 保持范数, |(x) | . (3). 保持距离, d (x), (y) = d(x,y).定义:设V,W是n维欧氏空间 是线性映射.如果是线性空间同构且保持内积,即(x), (y) ) = (x, y), 则称是欧氏空间的同构,记 .,正交算子_2,引理:设V, W是n维欧氏空间, 是线性映射,则下列条件等价: (1). 保持内积. (2). 保持范数. (3). 保持距离. (4)
9、. 是欧氏空间同构. (5). 将V的任一组标准正交基变成W的标准正交基. (6). 将V的某一组标准正交基变成W的标准正交基.定理:设V, W是有限维欧氏空间,则 的充分必要条件是dimV = dimW.注1:欧氏空间的同构是等价关系.注2:任意n维欧氏空间都同构于标准内积空间Rn.,正交算子_3,定义: n维欧氏空间保持内积的线性算子称为正交算子.定理:设是n维欧氏空间V的线性变换,则下列条件等价: (1). 是正交算子. (2). 保持距离. (3). 保持范数. (4). 是V的自同构. (5). 可逆且-1=*. (6). 将V的任意标准正交基变为另一个标准正交基. (7). 将V的
10、一组标准正交基变为另一个标准正交基. (8). 在V的任意标准正交基下的矩阵是正交阵. (9). 在V的某组标准正交基下的矩阵是正交阵.,正交相似_1,设是n维欧氏空间V上正交算子, u1, , un和v1, , vn分别是V的标准正交基, (v1, , vn) = (u1, , un) T. (u1, , un) = (u1, , un) A. (v1,vn) = (v1,vn) B.则B = T -1AT = TAT.定义:设A, BRnn,若存在正交阵T,使T -1AT = TAT = B, 则称 A, B是正交相似的.,正交相似_2,注1:设A, B Rnn,则A与B是正交相似的充分必
11、要条件是A, B是n维欧氏空间V上同一个线性算子在不同标准正交基下的矩阵.注2:正交相似是Rnn的等价关系.注3:设A与B正交相似, A是正交阵, 则B也是正交阵.,正交算子_4,引理:设A为正交阵,=a+ib为A的一个复特征值, (b0), u =+ i为对应的特征向量, 则,且|=|. 定理:设A为正交阵,则存在正交阵T,使 T -1AT = 定理:设是n维欧氏空间V的正交算子,则存在一组标准正交基,使得在此基下的矩阵是,对称算子_1,定义:设V是n维欧氏空间,是V的线性算子,如果= * ,则称是自伴随算子(对称算子).定理:设是n维欧氏空间V的线性算子,则下列条件等价： (1). 是对称
12、算子. (2). (),)=(, (). (3). 在V的任一组标准正交基下的矩阵是对称阵. (4). 在V的某一组标准正交基下的矩阵是对称阵.,定义:设V是C上线性空间,存在映射( ,): 使得对任意x, y, zV, cC,有(1).(2). (x + y, z) = (x, z) + ( y, z)(3). (cx, y) = c ( x, y)(4). (x, x) 0.且等号成立当且仅当 x = 0.则称在V上定义内积( ,). V称为复内积空间.有限维复内积空间称为酉空间.注1:对任意实数a, ,所以复内积空间与实内积空间的定义是一致的, 统称为内积空间.注2:在复内积空间中,对称
13、算子_2,定理:设是n维欧氏空间V上对称算子,则的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交.定理:设A=ARnn,则A的特征值全为实数且属于不同特征值的特征向量互相正交.引理:设是n维欧氏空间V上对称算子.U是-不变子空间.则U也是-不变子空间.定理:设是n维欧氏空间V上对称算子,则存在V的一组标准正交基,使在这组标准正交基下的矩阵是对角阵.定理:设A= ARnn,则存在正交阵T,使 T-1AT=TAT为对角阵,且对角线元素为A的特征值.,对称算子_3,定理:实对称矩阵的特征值是实对称矩阵的全系不变量。定理:设f (x1, , xn) = XAX是n元实二次型,1, ,n是A的所有特征值,则经过正交线性替换X = TY, T为正交阵,使 f 的正惯性指数等于A的正特征值个数, f 的负惯性指数等于A的负特征值个数, f 的秩等于A的非零特征值的个数.,
