1、层次分析法,Analytic Hierarchy ProcessAHP,T.L.saaty,浙江师范大学,一 问题的提出,日常生活中有许多决策问题。决策是指在面临多种方案时需要依据一定的标准选择某一种方案。 例1 购物 买钢笔，一般要依据质量、颜色、实用性、价格、外形等方面的因素选择某一支钢笔。例2 买饭要依据色、香、味、价格等方面的因素选择某种饭菜。,浙江师范大学,问题的提出,作比较判断时人的主观选择起相当大的作用，各因素的重要性难以量化,Saaty于1970年代提出层次分析法 AHP (Analytic Hierarchy Process),AHP一种定性与定量相结合的、系统化、层次化的分
2、析方法,浙江师范大学,二、层次分析法的步骤,1）建立层次分析结构模型,分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标准则方案），上层受下层影响，层内各因素相对独立。,2）构造成对比较阵,用成对比较法和19尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。,3）计算权向量并作一致性检验,对每一成对比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。,4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）,组合权向量可作为决策的定量依据。,目标层,O(选择旅游地),准则层,方案层,层次分析法的步骤,例. 选择旅游地,如何在3个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择.,浙江师范大学,“选择旅游地”
3、思维过程的归纳,将决策问题分为3个层次：目标层O，准则层C，方案层P；每层有若干元素， 各层元素间的关系用相连的直线表示。,通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。,将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。,三、层次单排序及一致性检验,层次单排序：确定下层各因素对上层某因素影响程度的过程。 用权值表示影响程度，先从一个简单的例子看如何确定权值。 例如 一块石头重量记为1，打碎分成 各小块，各块的重量,分别记为：,则可得成对比较矩阵,由右面矩阵可以看出，,浙江师范大学,层次单排序及一致性检验,成对比较阵和权向量,元素之间两两对比，对比采用相对尺度,设要比较各准则C1
4、,C2, , Cn对目标O的重要性,A成对比较阵,A是正互反阵,要由A确定C1, , Cn对O的权向量,选择旅游地,成对比较的不一致情况,允许不一致，但要确定不一致的允许范围,考察完全一致的情况,成对比较阵和权向量,浙江师范大学,成对比较完全一致的情况,A的秩为1，A的唯一非零特征根为n,A的任一列向量是对应于n 的特征向量,A的归一化特征向量可作为权向量,对于不一致(但在允许范围内)的成对比较阵A，建议用对应于最大特征根的特征向量作为权向量w ，即,一致阵性质,成对比较阵和权向量,浙江师范大学,一致性检验,对A确定不一致的允许范围,已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为n,可证：n 阶正互反阵
5、最大特征根 n, 且 =n时为一致阵,定义一致性指标:,CI 越大，不一致越严重,为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标 RI随机模拟得到aij , 形成A，计算CI 即得RI。,定义一致性比率 CR = CI/RI,当CR0.1时，通过一致性检验,Saaty的结果如下,浙江师范大学,2 4 6 8,比较尺度aij,Saaty等人提出19尺度aij 取值1,2, , 9及其互反数1,1/2, , 1/9,心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个,便于定性到定量的转化：,成对比较阵和权向量,浙江师范大学,“选择旅游地”中准则层对目标的权向量及一致性检验,准则层对目标的成对比较阵,最大特征根=5.0
6、73,权向量(特征向量)w =(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T,一致性指标,随机一致性指标 RI=1.12 (查表),一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1,通过一致性检验,组合权向量,RI=0.58 (n=3), CIk 均可通过一致性检验,w(2) 0.2630.4750.0550.0900.110,浙江师范大学,四、层次总排序及其一致性检验确定某层所有因素对于总目标相对重要性的排序权值过程， 称为层次总排序从最高层到最低层逐层进行。设：,对总目标Z的排序为,的层次单排序为,即 层第 个因素对 总目标的权值为：,层的层次总排序为：,A,B,层
7、次总排序的一致性检验,设 层 对上层( 层)中因素 的层次单排序一致性指标为 ，随机一致性指为 ， 则层次总排序的一致性比率为：,当 时，认为层次总排序通过一致性检验。到 此，根据最下层（决策层）的层次总排序做出最后决策。,层次总排序及其一致性检验,方案P1对目标的组合权重为0.5950.263+ =0.300方案层对目标的组合权向量为 (0.300, 0.246, 0.456)T,浙江师范大学,1.建立层次结构模型该结构图包括目标层，准则层，方案层。,层次分析法的基本步骤归纳如下,3.计算单排序权向量并做一致性检验,2.构造成对比较矩阵,从第二层开始用成对比较矩阵和19尺度。,对每个成对比较
8、矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。,计算最下层对最上层总排序的权向量。,4.计算总排序权向量并做一致性检验,进行检验。若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 较大的成对比较矩阵。,利用总排序一致性比率,五、层次分析法建模举例 1、旅游问题,(1)建模,分别分别表示景色、费用、 居住、饮食、旅途。,分别表示桂林、黄山、北戴河。,（2）构造成对比较矩阵,(3)计算层次单排序的权向量和一致性检验,成对比较矩阵
9、 的最大特征值,表明 通过了一致性验证。,故,则,该特征值对应的归一化特征向量,对成对比较矩阵 可以求层次 总排序的权向量并进行一致性检验，结果如下：,计算 可知 通过一致性检验。,对总目标的权值为：,（4）计算层次总排序权值和一致性检验,又,决策层对总目标的权向量为：,同理得， 对总目标的权值分别为：,故，层次总排序通过一致性检验。,可作为最后的决策依据。,故最后的决策应为去北戴河。,又 分别表示桂林、黄山、北戴河，,即各方案的权重排序为,某工厂有一笔企业留成利润，要由领导决定如何利用。可供选择的方案有：以奖金名义发给职工；扩建集体福利设施；购进新设备等。为了进一步促进企业发展，比如调动职工
10、的积极性、提高企业的技术水平、引进新设备等。如何合理使用这笔利润。,例2 合理分配资金问题,合理分配资金问题,层次结构模型,2 求解,Z-C矩阵,OK,C-P矩阵,OK,OK,0.75, 0.25, 0,0, 0.167, 0.833,OK,0.667, 0.333, 0,Z-P矩阵,OK,0.251, 0.218, 0.531,P3P1P2,例3、 科技成果的综合评价,浙江师范大学,例4 横渡江河、海峡方案的抉择,浙江师范大学,例5 国家实力分析,例6 工作选择,浙江师范大学,正互反阵的最大特征值是大于零的吗？有几个？它对应的特征向量各分量是正的吗？,六、正互反阵最大特征值和特征向量实用算法
11、,成对比较矩阵是通过定性比较得到的比较粗糙的结果，对它的精确计算是没有必要的。 寻找简便的近似方法。,用定义计算矩阵的特征值和特征向量相当困难，特别是阶数较高时。,正互反阵最大特征值和特征向量实用算法,正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？,怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？,为什么用特征向量作为权向量？,当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？,浙江师范大学,1、若干定理,对于正矩阵 A （A的所有元素为正）,1） A 的最大特征根为正单根 ；,2） 对应正特征向量 w（w的所有分量为正）；,3）,其中,是对
12、应 的归一化特征向量。,2. 正互反阵最大特征根和特征向量的计算,精确计算的复杂和不必要,简化计算的思路一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。,1列向量的算术平均算法,精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T, =3.010,浙江师范大学,2、 幂法 ： 步骤如下,a) 任取 n 维归一化初始向量,b) 计算,c) 归一化,，即令,d) 对于预先给定的精度 ，当下式成立时,即为所求的特征向量；否则返回b；,e) 计算最大特征值,这是求特征根对应特征向量的迭代方法，其收 敛性由定理的3）保证。,3、和法 步骤如下,a)
13、 将A的每一列向量归一化得,b) 对,c) 归一化,按行求和得,d) 计算,4、 根法,步骤与和法基本相同，只是将步骤 b 改为对,按行求积并开n次方，即,三方法中，和法最为简便。看下列例子。,e) 计算,，最大特征值的近似值。,列向量归一化,求和,归一化,精确计算，得,3. 特征向量作为权向量成对比较的多步累积效应,问题,一致阵A, 权向量w=(w1,wn)T, aij=wi/wj,A不一致, 应选权向量w使wi/wj与 aij相差尽量小（对所有i,j)。,非线性 最小二乘,线性化 对数最小二乘,结果与根法相同,浙江师范大学,七、 递阶层次结构与更复杂的层次结构,以上层次结构模型有两个共同特
14、点： 模型所涉及的各因素可以组合为属性基本相同的若干层次，层次内部因素之间不存在相互影响或支配作用，或者这种影响作用可以忽略。 层次之间存在自上而下、逐层传递的支配关系，没有下层对上层的反馈作用，或层次间的循环作用。,递阶层次结构,浙江师范大学,更复杂的层次结构,层次内部因素之间存在相互影响。 下层对上层有支配作用，形成循环，无法区分上下层。 既在层次内部因素之间存在相互影响，又在层次间存在反馈作用。,要用层次分析法解决这样的问题，还需引入新概念，并建立相应的算法。,思考,浙江师范大学,八、补充：特征值与特征向量,定义：,成立，,则称数 为方阵 的特征值（根），非零列向量 称为属于特征值 的特
15、征向量。,特征值满足的条件：,齐次线性方程组,齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是,A 的特征方程,A 的特征多项式记为,表示 的n 次多项式，在复数范围内有n 个解，即有n 个特征值。,设 A 的特征值为,则,特征值和特征向量的计算方法,给定矩阵,先求其特征值，即解特征方程,再求对应于各特征值的特征向量，即解线性齐次方程组,的非零解 。 （注：若 为实数，则 为实向量，若 为复数， 则 为复向量）,定理2 对于正矩阵 A (A的所有元素为正)， 1）A 的最大特征值是正单根；,2）最大特征值对应有特征向量所有分量为正的特征向量。,定理1 属于不同特征值的特征向量线性无关。,正向量的归一化向
16、量,为正向量，它的归一化向量是,归一化,有关定理,例1 求,的特征值和特征向量。,解：,基础解系为,则属于2的特 征向量为,基础解系为,则属于4的特 征向量为,求非负向量归一化向量,一般地，,例2 求,的特征值和特征向量。,解：,因此，解空间的维数为 3-2=1,即，基础解系为,则属于2的特 征向量为,因此，解空间的维数为 3-2=1,基础解系为,则属于1的特 征向量为,例3 求,的特征值和特征向量。,解：,基础解系为,则属于-1的特 征向量为,因此，解空间的维数为 3-1=2,基础解系为,则属于2的全 部特征向量为,1 系统性 层次分析法把研究对象作为一个系统，按照分解、比较判断、综合的思维
17、方式进行决策 ，成为继机理分析、统计分析之后发展起来的系统分析的重要工具。,2 实用性层次分析法把定性和定量方法结合起来，能处理许多用 传统的最优化技术无法着手的实际问题，应用范围很广，同 时，这种方法使得决策者与决策分析者能够相互沟通，决策 者甚至可以直接应用它，这就增加了决策的有效性。,九、 层次分析法的优点和局限性,浙江师范大学,3 简洁性具有中等文化程度的人即可以了解层次分析法的基本 原理并掌握该法的基本步骤，计算也非常简便，并且所得 结果简单明确，容易被决策者了解和掌握。,以上三点体现了层次分析法的优点，该法的局限 性主要表现在以下几个方面：,第一 只能从原有的方案中优选一个出来，没有办法得出更好的新方案。,第二 该法中的比较、判断以及结果的计算过程都是粗糙的，不适用于精度较高的问题。 第三 从建立层次结构模型到给出成对比较矩阵，人主观因素对整个过程的影响很大，这就使得结果难以让所有的决策者接受。当然采取专家群体判断的办法是克服这个缺点的一种途径。,思考： 多名专家的综合决策问题,浙江师范大学,十、 练习,China Undergraduate Mathematical Contest in Modeling,2 用层次分析法解决一两个实际问题,如：高考填报志愿问题， 选择职业问题， 排名（排序）问题。,1 足球队排名次（CUMCM）1993年 B 题,浙江师范大学,
