1、圆锥曲线1.圆锥曲线的两定义：第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点 F ，F 的距离的和等于常数 ，且122a此常数 一定要大于 ，当常数等于 时，2a1F轨迹是线段 F F ，当常数小于 时，无轨迹；双1221曲线中，与两定点 F ，F 的距离的差的绝对值等于2常数 ，且此常数 一定要小于|F F |，定义中的“绝对值”与 |F F |不可忽视。若a1|F F |，则轨迹是以 F ，F 为端点的两条射线，2122若 |F F |，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。如方程 表示的22(6)(6)8xyxy曲线是_（答：双曲线的左支）2.圆锥曲线的标
2、准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）：（1）椭圆：焦点在 轴上时 （x12bya） ，焦点在 轴上时 1（0aby2） 。方程 表示椭圆的充要条2AxBC件是什么？（ABC 0，且 A，B ，C 同号，AB） 。若 ，且 ，则 的最大R, 632yx值是_， 的最小值是_（答： ）2y5,2（2）双曲线：焦点在 轴上： =1，焦x2ba点在 轴上： 1（ ） 。方程y2ba0,表示双曲线的充要条件是什么？2AxBC（ABC0，且 A，B 异号） 。如设中心在坐标原点 ，焦点 、 在坐标轴O1F2上，离心率 的双曲线 C 过点 ，则 C2e)0,4(P的方程
3、为_（答： ）26xy（3）抛物线：开口向右时 ，开px口向左时 ，开口向上时2(0)yp，开口向下时 。2()x2(0)3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）：（1）椭圆：由 , 分母的大小决定，焦点在x2y分母大的坐标轴上。如已知方程 表示焦点在 y 轴1m上的椭圆，则 m 的取值范围是_（答：）)23,1(,(（2）双曲线：由 , 项系数的正负决定，焦x2y点在系数为正的坐标轴上；（3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。提醒：在椭圆中， 最大， ，在双曲a22bc线中， 最大， 。c24.圆锥曲线的几何性质：（1）椭圆（以 （ ）为例）12by
4、ax0a：范围： ；焦点：两个焦,点 ； 对称性：两条对称轴 ，一(,0)c,xy个对称中心（0,0） ，四个顶点 ，其中()b长轴长为 2 ，短轴长为 2 ；准线：两条准线ab； 离心率： ，椭圆 ，xccea01e越小，椭圆越圆； 越大，椭圆越扁。e如（1）若椭圆 的离心率 ，则152myx5的值是_（答： 3 或 ） ；m（2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为 1 时，则椭圆长轴的最小值为_（答： ）2（2）双曲线（以 （ ）为2xyab0,ab例）：范围： 或 ；焦点：两,R个焦点 ；对称性：两条对称轴 ，(,0)c,xy一个对称中心（0,0） ，两个顶点 ，其中实
5、轴长(,)为 2 ，虚轴长为 2 ，特别地，当实轴和虚轴的长相ab等时，称为等轴双曲线，其方程可设为；准线：两条准线 ； ,0xyk2axc离心率： ，双曲线 ，等轴双曲线cea1e， 越小，开口越小， 越大，开口越大；2两条渐近线： 。byx（3）抛物线（以 为例）：范围：2(0)p； 焦点：一个焦点 ，其中 的0,xR,2p几何意义是：焦点到准线的距离；对称性：一条对称轴 ，没有对称中心，只有一个顶点（0,0） ；y准线：一条准线 ； 离心率： ，抛物pxcea线 。1e如设 ，则抛物线 的焦点坐标Ra,024xy为_（答： ） ；)6(5、点 和椭圆 （ ）的0(,)Pxy12bx0a关
6、系：（1）点 在椭圆外 ；0,21xyb（2）点 在椭圆上 1；（3）(,)xy20a点 在椭圆内0,P20xyb6直线与圆锥曲线的位置关系：（1）相交： 直线与椭圆相交； 直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有 ，当直线与双曲线的渐近线平行时，直0线与双曲线相交且只有一个交点，故 是直线与0双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有 ，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故 也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。（2）相切： 直线与椭圆相切； 直00线与双曲线相切； 直线与抛物线相切；（3）相离： 直线与椭圆
7、相离； 直线与双曲线相离； 直线与抛物线相离。提醒：（1）直线与双曲线、抛物线只有一个公共点时的位置关系有两种情形：相切和相交。如果直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交,但只有一个交点；如果直线与抛物线的轴平行时,直线与抛物线相交,也只有一个交点；（2）过双曲线 12byax外一点 的直线与双曲线只有一个公共点的情0(,)Pxy况如下：P 点在两条渐近线之间且不含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和分别与双曲线两支相切的两条切线，共四条；P 点在两条渐近线之间且包含双曲线的区域内时，有两条与渐近线平行的直线和只与双曲线一支相切的两条切线，共四条；P 在两条渐近线上但非原点，只有
8、两条：一条是与另一渐近线平行的直线，一条是切线；P 为原点时不存在这样的直线；（3）过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条平行于对称轴的直线。7、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题： ，当20tan|Sbcy即 为短轴端点时， 的最大值为 bc；对0|ybPmx于双曲线 。 如 （1）短轴长为 ，2tan2bS5练习：点 P 是双曲线上 上一点， 为2yx21,F双曲线的两个焦点，且 =24，求 的21PF周长。8、抛物线中与焦点弦有关的一些几何图形的性质：（1）以过焦点的弦为直径的圆和准线相切；（2）设AB 为焦点弦， M 为准线与 x
9、 轴的交点，则AMFBMF；（3）设 AB 为焦点弦，A、B 在准线上的射影分别为 A ，B ，若 P 为 A B 的中点，则11PAPB；（4）若 AO 的延长线交准线于 C，则 BC 平行于 x 轴，反之，若过 B 点平行于 x 轴的直线交准线于C 点，则 A，O，C 三点共线。 9、弦长公式：若直线 与圆锥曲线相交于两ykb点 A、B，且 分别为 A、 B 的横坐标，则 12,xAB，若 分别为 A、B 的纵坐标，2k2,则 ，若弦 AB 所在直线方程12y设为 ，则 。特别地，xkyb21ky焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之
10、和后，利用第二定义求解。10、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。在椭圆 中，以 为中点的弦所在12byax0(,)Pxy直线的斜率 k= ；0弦所在直线的方程： 垂直平分线的方程：在双曲线 中，以 为中点的弦所21xyab0(,)Pxy在直线的斜率 k= ；在抛物线02中，以 为中点的弦所在直2()ypx0(,)xy线的斜率 k= 。0y提醒：因为 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验 ！11了解下列结论（1）双曲线 的渐近线方程为 ；12byax0byax（2）以 为渐近线（即与双曲线共渐近线）的双曲线方程为1
11、byax为参数， 0）。(2（3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为 ；21mxny（4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）为 ，焦准距（焦点到相应准线的距离）ba为 ，抛物线的通径为 ，焦准距为 ； 2c2pp（5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦；（6）若抛物线 的焦点弦为 AB，2(0)yx，则 ；1(,)(,)AxyB12|ABp2214p（7）若 OA、OB 是过抛物线 顶2(0)yxFAPHBQ点 O 的两条互相垂直的弦，则直线 AB 恒经过定点(2,0)p12.圆锥曲线中线段的最值问题： 例 1、(1)抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点
12、A(3,4 )2与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为_ (2)抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小 ,则点 Q 的坐标为 。分析：（1）A 在抛物线外，如图，连 PF，则，因而易发现，当 A、P、F 三点共线时，PH距离和最小。（2）B 在抛物线内，如图，作 QRl 交于 R，则当 B、Q 、R 三点共线时，距离和最小。 解：（1）（2， ） （2 ） （ ）1,41、已知椭圆 C1的方程为 ，双曲线 C2的12yx左、右焦点分别为 C1的左、右顶点，而 C2的左、右顶点分别是 C1的左、右焦点。(1) 求双曲线 C2的方程；(2) 若直线 l
13、： 与椭圆 C1及双曲线kxyC2恒有两个不同的交点，且 l 与 C2的两个交点 A 和 B满足 (其中 O 为原点 )，求 k 的取值范围。6BA解：（）设双曲线 C2的方程为 ，则12byax.,3142 cbaa得再 由故 C2的方程为 （II）将21.xy.0428)4(422 kxkkxy得代 入由直线 l 与椭圆 C1恒有两个不同的交点得 ,0)14(6)(6)28( 221 kk即 .4k.由0926)31(3222 kxkyxxy得代 入将直线 l 与双曲线 C2恒有两个不同的交点 A，B 得2 2222130, 1.3(6)(1)6()0.k kk 即 且229(,)(,),
14、1166,()()ABABABABABBxyxxkkOyk设 则由 得 而2222(1)()963137.1ABABkxxkk解此不等式得22371536,0.kk于 是 即221.5或由、得 .1531422kk或故 k 的取值范围为13(,)(,)(,)(,)52312、在平面直角坐标系 xOy 中， 已知点A(0,-1)，B 点 在直线 y = -3 上，M 点满 足 MB/OA， MAAB = MBBA，M 点的轨迹为曲线 C。（）求 C 的方程；（）P 为 C 上的动点，l 为 C在 P 点处得切线，求 O 点到 l 距离的最小值。()设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(
15、0,-1).所以=（-x,-1-y ）, =(0,-3-y), =(x,-2).再ABAB由愿意得知（ + ） =0,即（-x,-4-2y）M (x,-2)=0.所以曲线 C 的方程式为 y= x -2. ()设 P(x ,y1420)为曲线 C：y= x -2 上一点，因为 y = x,所以021的斜率为 x 因此直线 的方程为l10l，即 。0()2y200xyx则 O 点到 的距离 .又 ，l20|4dx201yx所以2020201(),4xx当 =0 时取等号，所以 O 点到 距离的最小值为 2.20 l3 设双曲线21yab（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双
16、曲线的离心率等于( )4、过椭圆21yab( 0)的左焦点 1F作 x轴的垂线交椭圆于点 P， 2F为右焦点，若60F，则椭圆的离心率为5、已知双曲线 )0(12byx的左、右焦点分别是 1、 2，其一条渐近线方程为 xy，点),3(0yP在双曲线上.则 1PF 2( )06、已知直线 0kx与抛物线2:8Cy相交于 AB、 两点， 为 C的焦点，若 |2|FAB，则 k( )7、已知直线 1:4360lxy和直线 2:1lx，抛物线 2y上一动点 P到直线 1和直线 的距离之和的最小值是（ ）8、设已知抛物线 C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0) ，直线 l 与抛物线 C 相交于 A，B
17、 两点。若 AB的中点为（2，2） ，则直线 l 的方程为_.9、椭圆21xy的焦点为 12,F，点 P 在椭圆上，若 1|4PF，则 2| ； 12的大小为 .10、过抛物线 2(0)ypx的焦点 F 作倾斜角为45的直线交抛物线于 A、B 两点，若线段 AB 的长为8，则 p_ 【解析】设切点 0(,)Pxy，则切线的斜率为0|2xy.由题意有 02x又 201y解得: 2 201,1()5bbeaa双曲线 2yx的一条渐近线为 xy,由方程组21bayx,消去 y,得 210bxa有唯一解,所以=()40,所以 ,221()5cabea由渐近线方程为 xy知双曲线是等轴双曲线， 双曲线方程是 22x，于是两焦点坐标分别是（2，0）和（2，0） ，且 )1,3(P或,(.不妨去)，则 )1,32(1P，. 1F 2 01)32()1,3)(,( 【解析】设抛物线 2:8Cyx的准线为 :lx直线 0ykx恒过定点 P,0 .如图过 AB、 分 别作 AMl于 , BNl于 , 由 |2|F,则 |2|,点 B 为 AP 的中点.连结 O,则1|2OBAF,| 点 的横坐标为 1, 故点 B的坐标为02(1,)1()3k, 故选 D21121121212124,4yxAxyBxyxy则 有 ，两 式 相 减 得 ， ，直 线 l的 方 程 为 -=x,即
