1、8.3空间点、直线、平面 之间的位置关系,-2-,知识梳理,双基自测,2,3,4,1,6,5,7,自测点评,1.平面的基本性质公理1:如果一条直线上的在一个平面内,那么这条直线在此平面内.公理2:过的三点,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有过该点的公共直线.,两点,不在一条直线上,一条,-3-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,6,5,7,2.直线与直线的位置关系,平行,相交,任何,-4-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,6,5,7,3.公理4平行于的两条直线互相平行.,同一条直线,-5-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3
2、,4,1,6,5,7,4.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行,那么这两个角.,相等或互补,-6-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,6,5,7,5.直线与平面的位置关系直线与平面的位置关系有 、 、三种情况.,平行,相交,在平面内,-7-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,6,5,7,6.平面与平面的位置关系平面与平面的位置关系有、两种情况.,平行,相交,-8-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,6,5,7,7.常用结论(1)唯一性定理过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行.过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直.过平面外一点有且只有一个平面与已
3、知平面平行.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直.(2)异面直线的判定定理经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线.,-9-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,6,5,7,(3)确定平面的三个推论推论1:经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.推论2:经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论3:经过两条平行直线,有且只有一个平面.(4)异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.,2,-10-,知识梳理,双基自测,3,4,1,5,自测点评,1.下列结论正确的打“”,
4、错误的打“”.(1)两个不重合的平面只能把空间分成四个部分.()(2)两个平面,有一个公共点A,就说,相交于A点,记作=A.()(3)已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b不可能是平行直线.()(4)如果两个不重合的平面,有一条公共直线a,就说平面,相交,并记作=a.()(5)若a,b是两条直线,是两个平面,且a,b,则a,b是异面直线.(),答案,-11-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为BC,BB1的中点,则下列直线中与直线EF相交的是()A.直线AA1B.直线A1B1C.直线A1D1D.直线B1C
5、1,答案,-12-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,3.(2017全国,文6)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(),答案,解析,-13-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,4.设P表示一个点,a,b表示两条直线,表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是.(填序号)Pa,Pa;ab=P,ba;ab,a,Pb,Pb;=b,P,PPb,答案,-14-,知识梳理,双基自测,自测点评,2,3,4,1,5,5.(教材探究改编P46)如图所示,在三棱锥A-BCD中,E,F
6、,G,H分别是棱AB,BC,CD,DA的中点,则(1)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH为菱形;(2)当AC,BD满足条件时,四边形EFGH是正方形.,答案,解析,-15-,知识梳理,双基自测,自测点评,1.做有关平面基本性质的判断题时,要抓住关键词,如“有且只有”“只能”“最多”等.2.两个不重合的平面只要有一个公共点,那么两个平面一定相交且得到的是一条直线.3.异面直线是指不同在任何一个平面内,没有公共点的直线.不能错误地理解为不在某一个平面内的两条直线就是异面直线.,-16-,考点1,考点2,考点3,例1如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB,AA1的中点,
7、求证:(1)E,C,D1,F四点共面;(2)CE,D1F,DA三线共点.思考如何利用平面的基本性质证明点共线和线共点?,-17-,考点1,考点2,考点3,证明 (1)如图,连接EF,CD1,A1B.E,F分别是AB,AA1的中点,EFA1B.又A1BCD1,EFCD1,E,C,D1,F四点共面.(2)EFCD1,EFCD1,CE与D1F必相交,设交点为P,则由PCE,CE平面ABCD,得P平面ABCD.同理P平面ADD1A1.又平面ABCD平面ADD1A1=DA,P直线DA.CE,D1F,DA三线共点.,-18-,考点1,考点2,考点3,解题心得1.点线共面问题的证明方法:(1)纳入平面法:先
8、确定一个平面,再证有关点、线在此平面内;(2)辅助平面法:先证有关点、线确定平面,再证其余点、线确定平面,最后证明平面,重合.2.证明多线共点问题,常用的方法是:先证其中两条直线交于一点,再证交点在第三条直线上.证交点在第三条直线上时,第三条直线应为前两条直线所在平面的交线,可以利用公理3证明.,-19-,考点1,考点2,考点3,对点训练1如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BGGC=DHHC=12.(1)求证:E,F,G,H四点共面;(2)设EG与FH交于点P,求证:P,A,C三点共线.,-20-,考点1,考点2,考点3,证明 (1)E,F
9、分别为AB,AD的中点,EFBD.GHBD,EFGH.E,F,G,H四点共面.(2)EGFH=P,PEG,EG平面ABC,P平面ABC.同理P平面ADC.P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC平面ADC=AC,PAC,P,A,C三点共线.,-21-,考点1,考点2,考点3,例2若直线l1和l2是异面直线,l1在平面内,l2在平面内,l是平面与平面的交线,则下列命题正确的是()A.l与l1,l2都不相交B.l与l1,l2都相交C.l至多与l1,l2中的一条相交D.l至少与l1,l2中的一条相交思考如何借助空间图形确定两直线位置关系?,答案,解析,-22-,考点1,考点2,考点3,解题心
10、得解题时一定要注意选项中的重要字眼“至少”“至多”,否则很容易出现错误.解决空间点、线、面的位置关系这类问题时一定要万分小心,除了作理论方面的推导论证外,利用特殊图形进行检验,也可作必要的合情推理.,-23-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(1)(2017四川成都三诊)在我国古代数学名著九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑,如图,在鳖臑ABCD中,AB平面BCD,且AB=BC=CD,则异面直线AC与BD所成角的余弦值为(),答案,解析,-24-,考点1,考点2,考点3,(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,B1C1的中点.问:AM和CN是不是
11、异面直线?说明理由.D1B和CC1是不是异面直线?说明理由.,-25-,考点1,考点2,考点3,(2)解 不是异面直线.理由如下:连接MN,A1C1,AC.M,N分别是A1B1,B1C1的中点,MNA1C1.又A1AC1C,四边形A1ACC1为平行四边形,A1C1AC,MNAC.A,M,N,C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线.,-26-,考点1,考点2,考点3,是异面直线.理由如下:ABCD-A1B1C1D1是正方体,B,C,C1,D1不共面.假设D1B与CC1不是异面直线,则存在平面,使D1B平面,CC1平面,D1,B,C,C1,与B,C,C1,D1不共面矛盾.假设不成立,即D1B与C
12、C1是异面直线.,-27-,考点1,考点2,考点3,例3设直线m与平面相交但不垂直,则下列说法中正确的是()A.在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B.过直线m有且只有一个平面与平面垂直C.与直线m垂直的直线不可能与平面平行D.与直线m平行的平面不可能与平面垂直思考如何借助空间图形确定线面位置关系?,答案,解析,-28-,考点1,考点2,考点3,解题心得解决这类问题的关键就是熟悉直线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系及相应的公理定理,归纳整理平面几何中成立但立体几何中不成立的命题,并在解题过程中注意避免掉入由此设下的陷阱.判断时可由易到难进行,一般是作图分析,构造出符合题设条件的图形
13、或反例来判断.,-29-,考点1,考点2,考点3,对点训练3已知正方体ABCD-A1B1C1D1,点P,Q,R分别是线段B1B,AB和A1C上的动点,观察直线CP与D1Q,CP与D1R,给出下列结论:对于任意给定的点P,存在点Q,使得D1QCP;对于任意给定的点Q,存在点P,使得CPD1Q;对于任意给定的点R,存在点P,使得CPD1R;对于任意给定的点P,存在点R,使得D1RCP.其中正确的结论是.(填序号),答案,解析,-30-,考点1,考点2,考点3,1.公理1是判断一条直线是否在某个平面内的依据;公理2及其推论是判断或证明点、线共面的依据;公理3是证明三线共点或三点共线的依据.要能够熟练
14、用文字语言、符号语言、图形语言来表示公理.2.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理:平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.(2)反证法:证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.,-31-,考点1,考点2,考点3,1.异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”,实质上两异面直线不能确定任何一个平面,因此异面直线既不平行,也不相交.2.直线与平面的位置关系在判断时最易忽视“线在面内”.,-32-,思想方法构造模型判断空间线面的位置关系空间点、直线、平面的位置关系是立体几何的理论基础,高考常设置选择题或填空题,考查直线
15、、平面位置关系的判断和异面直线所成的角的求法.在判断线、面位置关系时,有时可以借助常见的几何体作出判断.这类试题一般称为空间线面位置关系的组合判断题,解决的方法是“推理论证加反例推断”,即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明,错误的结论需要通过举出反例说明其错误,在解题中可以以常见的空间几何体(如正方体、正四面体等)为模型进行推理或者反驳.,-33-,典例(1)已知空间三条直线l,m,n,若l与m异面,且l与n异面,则()A.m与n异面B.m与n相交C.m与n平行D.m与n异面、相交、平行均有可能(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则
16、在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有条.,-34-,(3)已知m,n是两条不同的直线,为两个不同的平面,有下列四个命题:若m,n,mn,则;若m,n,mn,则;若m,n,mn,则;若m,n,则mn.其中所有正确的命题的序号是.答案(1)D(2)无数(3),-35-,解析(1)在如图所示的长方体中,m,n1与l都异面,但是mn1,所以A,B错误;m,n2与l都异面,且m,n2也异面,所以C错误.(2)(方法一)如图,在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一个平面,这个平面与CD有且仅有一个交点N,当M取不同的位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直线MN与这三条
17、异面直线都有交点,所以在空间中与这三条直线都相交的直线有无数条.,-36-,(方法二)在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面,因CD与平面不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连接PQ(图略),则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.(3)借助于长方体模型来解决本题,对于,可以得到平面,互相垂直,如图a所示,故正确;对于,平面,可能垂直,如图b所示,故不正确;对于,平面,可能垂直,如图c所示,故不正确;对于,由m,可得m,因为n,所以过n作平面,且=g,如图d所示,所以n与交线g平行,因为mg,所以mn,故正确.,-37-,反思提升1.构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型,然后将问题利用模型直观地作出判断,这样减少了抽象性,避免了因考虑不全面而导致解题错误.2.对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定,可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断.,
