1、5.3平面向量的平行与垂直及平面向量的应用,高考数学,一、向量平行的判定1.当b0时,ab的充要条件是“存在实数,使a=b”.2.已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1y2-x2y1=0.3.三点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)共线的充要条件为(x2-x1)(y3-y1)-(x3-x1)(y2-y1)=0.二、向量垂直的充要条件1.已知非零向量a,b,则abab=0.2.已知非零向量a,b,a=(x1,y1),b=(x2,y2),则ab的充要条件是x1x2+y1y2=0.,知识清单,三、中点公式已知A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点M
2、的坐标为.四、两点间的距离公式已知A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=.,五、几个重要结论1.若a、b为不共线向量,则a+b、a-b是以a、b为邻边的平行四边形的对角线向量,如图.2.|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).3.G为ABC的重心+=0G(A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3).,平面向量与三角函数综合问题的解决方法求解此类问题的关键:(1)巧妙“转化”将以向量数量积、向量共线、向量垂直等形式出现的条件转化为对应坐标乘积之间的关系;(2)活用“性质”活用三角函数的性质,包括两域(定义域、值域)、四性(奇偶性、单调性、周期性、对称性)以及整体
3、换元思想;(3)妙用“定理”解三角形问题,应认真分析已知条件中的边角关系,再用正弦定理或余弦定理即可顺利解决.,方法技巧,例已知向量m=(sin 2x+2,cos x),n=(1,2cos x),设函数f(x)=mn.(1)求f(x)的最小正周期与单调递增区间;(2)在ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,若f(A)=4,b=1,ABC的面积为,求a的值.,解题导引先利用平面向量的数量积,求出函数f(x)的解析式,再利用三角公式对函数f(x)的解析式进行化简.(1)利用三角函数的最小正周期公式,求出f(x)的最小正周期,利用三角函数的单调性,求出f(x)的单调递增区间;(2)由f(A)
4、=4,可求出角A的值,再利用任意三角形的面积公式,可求出c的值,最后利用余弦定理求a的值.,解析因为m=(sin 2x+2,cos x),n=(1,2cos x),函数f(x)=mn,所以f(x)=sin 2x+2+2cos2x=sin 2x+cos 2x+3=2sin+3.(1)f(x)的最小正周期T=.由2k-2x+2k+,kZ,得k-xk+,kZ.所以f(x)的单调递增区间为,kZ.(2)因为f(A)=4,所以2sin+3=4,即sin=.由于0A,所以2A+=,即A=.,又因为SABC=bcsin A=且b=1,所以c=,解得c=2.在ABC中,由余弦定理,得a2=b2+c2-2bccos A=1+4-212=3,所以a=.,
