1、排列组合解题技巧 12 法首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律: 1）使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法
2、不影响后面的步骤采用的方法。 2）排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。 3）复杂的排列问题常常通过试验、画 “树图 ”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。 4）按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。 5）处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标
3、准明确，分步层次清楚，不重不漏。 6）在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。 总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等。 其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。 一特殊元素（位置）的“优先安排法”：对于特殊元素（位置）的排列组合问题，一般先考虑特殊，再考虑其他。 例 1、
4、 用 0，2，3，4，5，五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有（ ）。 A 24 个 B.30 个 C.40 个 D.60 个 分析由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为 0 不能排首位，故0 就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按 0 排在末尾和 0 不排在末尾分两类：1）0 排末尾时，有 A42 个，2）0 不排在末尾时，则有 C21 A31A31 个，由分数计数原理，共有偶数 A42 + C21 A31A31=30 个，选 B。 二总体淘汰法：对于含否定的问题，还可以从总体中把不合要求的除去。如例 1 中，也可用此法解答:五个数字组成三位数的全排列有 A53 个，排
5、好后发现0 不能排首位，而且数字 3，5 也不能排末位，这两种排法要排除，故有 A53-3A42+ C21A31=30 个偶数。 三合理分类与准确分步含有约束条件的排列组合问题，按元素的性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，做到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 四相邻问题用捆绑法：在解决对于某几个元素要求相邻的问题时，先整体考虑，将相邻的元素“捆绑”起来，看作一“大”元素与其余元素排列，然后再考虑大元素内部各元素间顺序的解题策略就是捆绑法 例 2、有 8 本不同的书；其中数学书 3 本，外语书 2 本，其它学科书 3 本若将这些书排成一列放在书架上，让数学书排在一起，外语书也恰好排在一
6、起的排法共有( )种(结果用数值表示) 解：把 3 本数学书“捆绑”在一起看成一本大书，2 本外语书也“捆绑”在一起看成一本大书，与其它 3 本书一起看作 5 个元素，共有 A55 种排法；又 3 本数学书有 A33 种排法，2 本外语书有 A22 种排法；根据分步计数原理共有排法 A55 A33 A22=1440(种). 注：运用捆绑法解决排列组合问题时，一定要注意“捆绑”起来的大元素内部的顺序问题 五不相邻问题用“插空法”：不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它们隔开解决此类问题可以先将其它元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的间隙及两端位置，故称插空法 例 3、用 1
7、、2、3、4、5、6、7、8 组成没有重复数字的八位数，要求 1 与 2 相邻，2 与 4 相邻，5 与 6 相邻，而 7 与 8 不相邻。这样的八位数共有( )个(用数字作答) 解：由于要求 1 与 2 相邻，2 与 4 相邻，可将 1、2、4 这三个数字捆绑在一起形成一个大元素，这个大元素的内部中间只能排 2，两边排 1 和 4，因此大元素内部共有 A22 种排法，再把 5 与 6 也捆绑成一个大元素，其内部也有 A22 种排法，与数字 3 共计三个元素，先将这三个元素排好，共有 A33 种排法，再从前面排好的三个元素形成的间隙及两端共四个位置中任选两个，把要求不相邻的数字 7 和 8 插
8、入即可，共有 A42 种插法，所以符合条件的八位数共有 A22 A22 A33 A42288(种) 注：运用“插空法”解决不相邻问题时，要注意欲插入的位置是否包含两端位置 六顺序固定用“除法”：对于某几个元素按一定的顺序排列问题，可先把这几个元素与其他元素一同进行全排列，然后用总的排列数除于这几个元素的全排列数。 例 4、6 个人排队，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”顺序排的排队方法有多少种？ 分析：不考虑附加条件，排队方法有 A66 种，而其中甲、乙、丙的 A33 种排法中只有一种符合条件。故符合条件的排法有 A66 A33 =120 种。(或 A63 种) 例 5、4 个男生和 3 个女生，
9、高矮不相等，现在将他们排成一行，要求从左到右女生从矮到高排列，有多少种排法。 解：先在 7 个位置中任取 4 个给男生，有 A74 种排法，余下的 3 个位置给女生，只有一种排法，故有 A74 种排法。(也可以是 A77 A33 种) 七分排问题用“直排法”：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排法来处理。 例 6、7 个人坐两排座位，第一排 3 个人，第二排坐 4 个人，则不同的坐法有多少种？ 分析：7 个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件,故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有 A77 种。 八逐个试验法：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。 例 7.将数字
10、 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的方格中，每方格填 1 个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（） A6 B.9 C.11 D.23 解：第一方格内可填 2 或 3 或 4，如第一填 2，则第二方格可填 1 或 3 或 4，若第二方格内填 1，则后两方格只有一种方法；若第二方格填 3 或 4，后两方格也只有一种填法。一共有 9 种填法，故选 B 九、构造模型 “隔板法”： 对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。 例 8、方程 a+b+c+d=12 有多少组正整数解？ 分析：建立隔板模型：将 12 个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的 11个
11、间隙中任意插入 3 块隔板，把球分成 4 堆，每一种分法所得 4 堆球的各堆球的数目，对应为 a、b、c、d 的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有 C113 . 又如方程 a+b+c+d=12 非负整数解的个数,可用此法解。 十.排除法：对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法 例 9、从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有( )种 A140 种 B80 种 C70 种 D35 种 解：在被取出的
12、3 台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意，因此符合题意的抽取方法有 C93-C43-C53=70(种)，故选 C 注：这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题 十一逐步探索法：对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要认真分析，探索出其规律 例 10、从 1 到 100 的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于 100，则不同的取法种数有多少种。 解：两个数相加中以较小的数为被加数，1+100100，1 为被加数时有 1 种，2为被加数有 2 种，49 为被加数的有 49 种，50 为被加数的有 50 种，但 51为被加数有 49 种，52 为被加数有 48 种，99 为被捕加数的只有 1 种，故不同的取法有（1+2+3+50）+（49+48+1）=2500 种 十二一一对应法： 例 11.在 100 名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比赛几场？ 解：要产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰 99 名选手，要淘汰一名就要进行一场，故比赛 99 场。
