1、1指数与对数先复习国中学过的指数概念和指数律，包括1. , 是正整数， 的意义。0anna2. .m3. , .na04. 赋予 , 以符合 3.015. 赋予 , 为正整数，以符合 3.ka6. 更广的指数律：.()nm.()nab7. 是正整数， 的意义。1na例如 : 时， .2n122a时， .313一般正整数， .1na8. 是正整数， 的意义。n1n例如 : .12a.132师(T) : 今天我们要上指数函数，在读指数之前，同学们可能听过马尔蕯斯(17661834)主张的人口学原理，他认为人口是以等比数列的方式增加的。比方说，一年以后人口变成 2 倍，二年以后人口变成 4 倍，三年
2、以后人口变成 8 倍。生(S) : 这不太可能吧！像台湾，就以 2300 万人口来说好了。一年后变成 2 倍就是 4600 万，二年后变成 4 倍就是 9200 万，三年后变成 8 倍就是18400 万。3 年后有几乎 2 亿的人口，可能吗？T : 这里说的变成 2 倍、4 倍、8 倍，只是强调人口的增加是一个等比数列的形式，倒没有说一定是一年变成 2 倍，这里要说的是在某一个时段 (例如 : 10年) 变成 2 倍，再过一个时段 (10 年) 又从 2 倍变成 4 倍。也就是说三个时段 (30 年) 之后，就会变成 8 倍。当然就历史来看人口的变化，马尔蕯斯的论点是不对的。不过我们不妨假想有
3、某一种以等比数列的方式繁殖的细菌，这种细菌繁殖力超强，每一小时的“细菌口” 会变成 2 倍。因此 3 小时后，就会变成 8 倍。S : 那，半小时以后，会变成几倍呢 ?T : 这个问题很好，如果我先告诉你的是 : 细菌数在 3 小时以后会变成 8 倍，那么你觉得 1 小时以后会变成几倍呢 ?S : 当然是 2 倍！T : 对，如果用指数来表示，是不是说 , 或是说，人家问你 : , 是32838x多少 ? 你的回答是 . 是不是这样？ xS : 了解！如果把半小时后细菌数目的倍数设成 , 那么因为已知 1 小时之后，x细菌数会变成 2 倍，而 1 小时代表两个半小时的时段，所以 . 这样想，2
4、x对吗？那 应该是 , 也就是说，半小时以后，细菌数会变成 倍。xT : 没错，我们可以将半小时设为一个时段，而经过这一个时段，细菌数增加为 倍，因此一小时之后，也就是两个时段之后，细菌数就会变成倍。如此说来，3 小时以后，用刚才半小时的时段来看，会变成2几倍呢？ S : 让我想想，三小时相当于 6 个半小时，因此细菌数应该变成 6 个 相乘，2，三小时以后仍然变成 8 倍。228T : 我们应该记成 。1663()S : 所以无论是想成 1 小时后变成 2 倍，或是半小时后变成 倍，3 小时后都23是变成 8 倍。前者是计算三个时段，每一个时段 2 倍， ; 后者是计算386 个时段，每一个
5、时段 倍， 。26()8T : 那我再问你 : 如果一小时变成 2 倍，那么 20 分钟，也就是 小时，应该变13成几倍呢 ？S : 1 小时是 3 个 20 分钟，如果经过 20 分钟，细菌数变成 倍，就代表 1 小时x后变成 倍。解 , 。2xx1/32T : 刚才提到 ，近似值是 1.414。请问， 的近似值是多少 ？ 1/32S : 当然比 小，我觉得 至少大于 1.2, 因为 , 不足 2, 而1/31/21/3 3(.)1.728, 超过 2。所以 应该介于 1.2 和 1.3 之间，亦即(.).97.1/3.2T : 如果把 15 分钟看成一个时段，细菌数又应该变成几倍呢？ S
6、: 1 小时是 4 个 15 分钟，如果每 15 分钟，细菌数变成 倍，4 个 15 分钟后，x细菌数应该变成 倍，方程式是4x,42x亦即.1/4T : 你能估计 吗 ？ 1/42S : , , 是 的平方根，所以我相当确定1/2.12/4()142, 因为 , 而 . 前者小于 , 后者大于4(.)42.2T : 你看， , , ，从这里也可以看出12.413214. 时段越短，倍数越小，但是都大于 1.032S : 老师，如果继续下去，比方说，如果分别把 10 分钟、5 分钟、2 分钟、1 分钟各看成一个时段，那每个时段细菌数的增长倍数是几倍？ 4T : 我们可以列一个表时段长 小时数(
7、h) 细菌数增长倍数60 分钟 1 12120 分钟 2 4180 分钟 3 3830 分钟 1/2 1/2.20 分钟 1/3 /315 分钟 1/4 1/410 分钟 1/6 /625 分钟 1/12 1/2 分钟 1/30 /301 分钟 1/60 1/62-60 分钟 -1 -30 分钟 -1/2 12/-1 分钟 -1/60 60/0 分钟 0 217 分钟 7/60 7/60比方说，以 1 分钟为一个增长时段来看，如果细菌数增长为 倍，则因一小x时是 60 分钟，所以 ，亦即 。在上面的表中，你可以发现最右602x1/60x边这一行增长倍数之间的关系。你可以用任何时段作基准，例如你
8、如果用 5分钟作基准，并且假设每经过 5 分钟，细菌数变成 倍，则 10 分钟之后会u变成 倍，而 1 分钟之后会变成 倍。上面这个表是以 60 分钟或 1 小时为2u1u基准作的。因此，如果左边的时数以小时为单位计是 小时的话，最右边这h一行的增长倍数就是 ，读作 2 的 次方， 可以是 2, 3 也可以是 1/2, hh1/3。 甚至可以是负数或 0. 如果是 0, 就代表开始的那一刻，细菌数是 1h倍，亦即 .0215S : 基准是可以换的。如果用 1 分钟为基准来观察，1 分钟增长 倍，所以 51/602分钟就会增长 倍，完全符合上表。1/605/2()T : 是的，如果你愿意以 1
9、分钟为基准，你就可以求出经过 7 分钟以后细菌增长的倍数，应该是多少呢 ？ S : 应该就是 7 分钟以后增长的倍数。这个数字看起来蛮难看的，1/607/60(2)而且说实话，我感觉不出来它的大小，只能说一定大于 1，不过 7 分钟以小时为单位就是 7/60 小时，在表上代表 ，增长的倍数是 。7/60h2hT : 不知道你有没有注意这个细菌繁殖的模型是很特别的。它的特性是只要经过 1 小时，就会增长 2 倍。不管是 10 点到 11 点还是第二天的下午 3 点到4 点，也就是说无论是经过 1 分钟，或是经过任何一个时段，只要经过的时段等长，增长的倍数都是一样的。所以若是先经过 小时，再经过
10、小时，xy增长的倍数和经过 小时一样，亦即xy,2xyx这就是指数律的基本意涵。不仅如此，这样的想法还可以倒叙，也就是说小时以前，是现在的 倍，正如 小时以后，是现在的 倍，亦即有等xx 2x比例的关系,2:1xx这也是指数的基本性质，或者说负指数的意义。我们可以把上表加上一些负的时间代表之前 ，上表右列依然是 的形式。hT : 你现在应该可以从上面这个表看出更多一点讯息，就以中间这行来说，以代表繁殖时所经过的小时数，而右边这一行，代表经过 小时的繁殖以后，h h细菌所增长成的倍数，这个倍数与时段 的关系是 。但是不要忘了这个模h2型的基本特征是，当 时，细菌将增长为 2 倍，我们可以用下图来
11、表达1h， 代表经历的时段 ， 代表 时段后，细菌将增长为 倍。2xyyx2x6(函数图形 还有一个上凹的特质，亦即()2xyf等号成立时，代表 。)1)2xzf zxzS : 当你对所有的时段 都赋予 时，如果 是刚才读的这种有理数，例如： , x2x 1n我可以了解 代表 2 的 次方根；或是 , 我可以了解 代表 ，1/n /mn/2mn()m或是 的 次方根， . 如果 不是有理数呢？ 2m1()mnxT : 你难道不觉得已经有这么多的有理数 , 若是能对这些 将函数图形上x点出，这么多的点，难道还不能描出一个函数图形吗？比方说，如(,)x果将 取成 , 即以分母为 100 的有理数，
12、在 0 到 1 之间，就已12,0经有了 100 个点，即一位和二位小数从 0.01 到 0.99, 在 1 到 2 之间有 1.01到 1.99, 或者你也可以想想，将 取成分母为 1000 的有理数，亦即从 0.001x到 0.999 等等或是 1.001 到 1.999 等等。S : 但是数在线的点 ，当不只是有理数而已，我记得在读数系的时候，老师特x别提到数在线的点，除了分数 (有理数) 之外，还有许多无理数，例如 , 3等等。5T : 我刚才提到分母为 100 或 1000 的有理数，其实是指十进制制中的有限小数。7这些小数够多，但是很有趣的是，他们并不包括循环小数，如 1/3 或
13、1/7. 当然也不包括 ， 这类无理数。但是他们 (十进制小数) 在数在线够23密，并且是所有科学界或工程界所用的数 ，对一个物理学家或是工程师而言，度量是量出来的，精确性的要求就是看几位小数，例如：毫米是, 微米是 , 奈米是 . 回到你刚才提到的 , 非有理数怎么理解3106109102x的问题，我们以 来说明，请看下面这个表。321.749058.3231.76.320.891.752.320.61.7589708 41.823025.746781.34.72.01.306852.725.91.3097我们可以看到 的近似值是 3.321997，比 要小，但是比3224要1.528大。我
14、想说的是对所有的变量 , 都是有意义的，当 是有理数时， 有非常x2x2x具体的意义。但是当 是无理数时， 就只能以近似或逼近来表达。无论要x求多么严格的精准度，都是可以办到的，上面对于 的计算充分的说明了32这一点。但是我更要强调的是这个函数的意义以及它内在所具有的指数律，或者 . 就学习时必须掌握的抽象层次来说，指数律2xyy2uv是最要紧的，而在计算时亦不可或缺。例如我刚才写下 就是靠指数律1.52.1.50.10.52221.4828又譬如.0.50.50.5.12142702换句话说，计算的时候，指数律是无所不在的。S : 刚才老师花了不少时间解释 ，我想说的是以细菌繁殖的模型来说，
15、经过31 小时，变成 2 倍。刚才讨论了很多 小时， 小时，甚至于-1 小时细菌数123的倍数。我是不是也可以问，经过 小时，细菌会变成几倍呢？由于, 所以前面的表，就说明如何透过 , , 来了解 .3.7 1.7.321.72 3是这样的意思吧！ T : 没错，只要你问出： 小时后，细菌数会变成几倍？我们就必须规规矩矩来x回答 等于多少。在一开始的时候， , 所以我们说 , 但是不2x 1=2x1/2=x要忘了， 倍还是必须用近似值 来说才比较有感觉。这就好像你.4先前说 这样的倍数，那是当时段经过 7 分钟以后，细菌的倍数。但是谁7/60能很快回答 的近似值是多少呢？就指数律来说，是不在乎
16、 是不是无理/ x数的。因为假设经过 小时，系数是 ，则将 小时分成二个时段， 和u2u uv小时，则当然有v.uv不但无关 是否有理数，并且也无关 等于多少，例如 : u,21.32指数与对数(2) - 指对数的应用存户将钱存入银行，有如银行向存户借钱，应该支付利息。利息与本金之比称为利率。早年景气好的时候，利率相对也高，年利率 6%经常可见。亦即每存入 100 元，一年以后可以获利 6 元。获利 6 元之后，若是续存，本金已经变成 106 元，因此再过一年，便可获利 6.36 元，比前一年的利息多 0.36 元；这多出来的 0.36 元，其实正是来自前一年的 6 元利息再乘上 6%。如此利
17、上加利的计息方式，称为复利。不难看出，n 年之后，这 100 元会变成10(.)n9式中重要的是 这个倍数。(10.6)n若取 , 略作计算，可以得出 , 刚好超过 2. 亦即只要 12 年，本2n12(.06)利和就能变成 2 倍。一般人看到这么快就会变成 2 倍，不免怀疑，因为若以单利思考，100 元的本金在 12 年后，6%的利率只能产生 72 元的利息。下文先说明在计算机未发明之前“ 手工业者 ”如何计算 。我们先把 想成是12(.06)12(.06), 然后解 。注意到此处的 只是一个小数。对 取以 10 为底的对数，10x x12.立刻得出.12log(06)从任何一本高中数学课本
18、所附的对数表可以查出,l(.).53因此，,12log(.06).x所以基本上.12036(.)再查一次对数表得到.031比较等号右边 10 的指数得出,12(.6)并且看出 只比 2 大一点点(因为指数 0.3036 略大于 0.3010)。如果是当下1(.06)现在，只要按几下计算机中所附的计算器，轻易可得.12(.06).96这是不是让手工业者瞠目结舌，而觉得弗如远甚呢？当然手工业者有他们的说法他们步步为营小心计算，完全知道自己在干什么，不像用手直接按下 就可以跑出 。谁知道计算机内部真12(.06)2.0196正的机制？ 谁能说这不是黑箱作业呢？10但是仔细深究，手工业者不也是要查表才
19、知道 和log(1.06).253吗？要如何才能靠手算得到，譬如说， 呢？ 看起来手工0.312 l.业者和手按者之间似乎差别不大，不过如果真的差别不大的话，对数这个议题就不必摆在高中数学教材中了。这是因为学习对数在高中最主要的功能就是帮忙分析上述这一类的连乘积。包括下面这个典型的题目: 在十进制系502统中是几位数？我们再来看看手工业者怎么处理这个问题吧！同样的，令,5021x两边对 10 取对数，得到.logx查表， , 因此log20.31.150x回到,5015.0.512x由于(根据查表) 不到 1.13，因此 是一个 16 位数，最高位的数字是 1。至0.51于手按者要回答这个问题
20、就更加快捷，他甚至可以把这 16 位数字全部写给你，而手工业者即使要回答 的 10 位数还得另外作计算，此时对数是派不上502用场的。结论是高中生辛辛苦苦花了这么多的时间学对数，到头来，碰到问题还是得靠计算机，一如许多学过的数学，谁都知道这辈子再也派不上用场，可是就好像国王的新衣一般，总觉得一定要披点什么，才有国王的架势。一旦考过大学，就赶快把衣服丢掉，一点也不心疼，因为事实是，从来就没穿上过。指数与对数(3) - 换底公式戏法人人会变，自有巧妙不同。 如果把戏法改成教法 ，这句话也很贴切。下面想要谈的是换底公式 。如果有一个正数 A, 我们要问 A 是 5 的几次方？亦即 (1)x 11解
21、x.这要怎么解呢？x 在 5 的右上角，一般来说，我们要法子把 x抽离出来，看看能不能变成一个国中就学过的 的形式。我们可以用对数来办到这一abx点。对(1)两边取以 10 为底的对数，而得到,logl5A因此，解出 . 接着是查表，查 , 再相除。log5Axog好，我们是用 10 为底的对数表来帮忙求 x, 如果，你手上有以 C 为底的对数表，对(1)两边取 就会得到logClogl5CCA或 l(2)Cx 但是不要忘了，根据(1)，其实 x 就是 , 因此(2)就变成5logA5l(3)lC 最后，如果 5 是另一个正数 B, 那么(3)就变成.loglCAB这样子教换底公式，是不是比较自然呢？
