1、圆心角定理(弧、弦、圆心角关系定理)基本内容：1、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。2、在同圆或等圆中，如果两条弧相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弦相等。3、在同圆或等圆中，如果两条弦相等，则它们所对的圆心角相等，所对的弧相等。在理解时要注意：前提：在同圆或等圆中；条件与结论：在两条弧相等；两条弦相等；两个圆心角相等中，只要有一个成立，则有另外两个成立。基本概念理解：1在同圆或等圆中，若 的长度 的长度，则下列说法正确的个数是（ ） 的度数等于 ； 所对的圆心角等于 所对的圆心角； 和 是等弧； 所对的弦心距等于 所对的弦心距。A1 个 B2 个 C3 个 D4 个
2、2如图，在两半径不同的同心圆中， ，则（ ）60BOAA BC 的度数= 的度数 D 的长度= 的长度3下列语句中，正确的有（ ）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧； （4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个4已知弦 AB 把圆周分成 1:5 的两部分，这弦 AB 所对应的圆心角的度数为 5在O 中， 的度数 240，则 的长是圆周的 份概念的延伸及其基本应用：1在同圆或等圆中，如果圆心角 等于另一圆心角 的 2 倍，则下列式子中能BOACOD成立的是（ ）2在同圆或等圆中，如果 ，则
3、与 的关系是（ ）A B C DCDA2AB2CAB（2 题图）3在 中，圆心角 ，点 到弦 的距离为 4，则 的直径的长为（ O90ABOABO）A B C24 D162484在 中，两弦 ， ， 分别为这两条弦的弦心距，则 ， 的MNMN关系是（ ）A B C D无法确定ONMO5已知：O 的半径为 4cm，弦 AB 所对的劣弧为圆的 ，则弦 AB 的长为 31cm，AB 的弦心距为 cm6如图，在O 中，ABCD， 的度数为 45，则COD 的度数为 典型例题精析：例题 1、如图，已知：在O 中，OAOB ，A=35，求 和 的度数.解：连结 OC，在 Rt AOB 中，A=35 B=5
4、5，又OC=OB ，COB=180-2B=70， 的度数为 70，COD=90-COB=90-70=20 ， 的度数为 20.说明：连结 OC，通过求圆心角的度数求解。此题是基本题目，目的是巩固基础知识.例题 2、如图，已知：在O 中， =2 ，试判断AOB 与COD ，AB 与 2CD 之间的关系，并说明理由.分析：根据条件确定图形，观察、分析、猜想，特别是解：AOB=2COD， AB CC，CC CC，CC 2CD，即 AB2CD.说明：此题进一步理解定理及其推论的应用条件，在“相等”问题中的不等量.由 =2可得AOB=2COD 是正确的，但由 =2 得出 AB=2CD，是错误的，培养学生
5、在学习中的迁移能力.例 如图，已知：AB 是O 直径，M、N 分别是 AO、BO 的中点，CMAB ，DN AB，求证： = .分析：要证弧相等，可以证弧对应的弦相等，弧对应的圆心角相等.证法一：连结 AC、OC、OD、BD，M、N 分别是 AO、BO 的中点， CMAB，DNAB，AC= OC、OD=BD又OC=OD， AC= BD， = .证法二：连结 OC、OD，M、N 分别是 AO、BO 的中点， OM= AO，ON= BO，21OA=OB， OM=ON，CMAB ，DN AB，OC=OD，RtCOM RtDON，COA=DOB， = .证法三、如图，分别延长 CM、DN 交O 于 E
6、、F，M、N 分别是 AO、BO 的中点， OM= AO，ON= BO，21OA=OB， OM=ON，又CMAB ， DNAB， CE=DF， = = ， = ， = .21说明：此题是利用本节定理及推论应用的优秀题目，题目不难，但方法灵活，培养学生灵活解决问题的能力和基本的辅助线的作法.例 如图，已知：在O 中， OAOB ，A=35，求 和 的度数.分析：连结 OC，通过求圆心角的度数求解.解：连结 OC，在 Rt AOB 中，A=35 B=55，又OC=OB ，COB=180-2B=70， 的度数为 70，COD=90-COB=90-70=20 ，A BC DM NO NC D OABD
7、 的度数为 20.说明：此题是基本题目，目的是巩固基础知识.例 如图，C 是O 直径 AB 上一点，过 C 点作弦 DE，使 CDCO，若 的度数为 40，求 的度数分折： 要求 的度数，可求它所对的圆心角BOE 的度数，如图作辅助线，通过等量转换得出结果解： 连 OE、OD 并延长 DO 交O 于 F 的度数为 40，AOD=40CDCO， ODE AOD 40ODOE， E ODE40EOF= E+ODE=80，BOF= AOD40，则BOE=EOF +BOF =80+40=120， 的度数为 120说明：此题充分体现了圆中的等量转换以及圆中角度的灵活变换典型例题五例 （北京市朝阳区试题，
8、2002）已知：如图， 内接于 ， 是 的直径，ABCOAD点 、 分别在 、 的延长线上， 交 于点 、 ，交 于点 ，EFABCEFMNH是 的中点， ， ，设 ， ， 和HOD2H43tanE是方程 的两个实数根. 042kx（1）求 和 的长；EHF（2）求 的长.BC解： C F（1）依题意，有一元二次方程根与系数关系，得，042kk， HFE， 又 . 由、得 . 12k当 时，成立. 12k把 代入原方程解得 ,81x62 ， . 8EH6F（2）解法一：连结 ， . BD 是 的直径， . AO90ABD ， . 即 . E90AHF . 1在 中， ，又 . HRt43tan
9、tan8E . 由勾股定理得 . 610在 中， ，AFt 6由勾股定理得 . 2在 中， . BDRt43tan1tanBA设 ，则 ，由勾股定理得 . m34mD5 是 的中点， . HOH .864A . 解得 . 855 . 11 分23mB ， ，EFAEC . A . F . 14 分2586524AFHEBC解法二：同解法一求出 ， . 10D连结 . D ，且 ， 45FHA 为 直径，O ， . 90C . 11 分245sinsinAD以下同解法一可求得 .810EFCB说明：这是一道综合性较强的题目，主要考查一元二次方程的韦达定理和圆的一些知识。典型例题六例 如图，在 中
10、，直径 垂直于 并交 于 ；直径 交 于 ，且OABCDEMNCDF，求 的度数.EFD2解 连结 .OD于 ，且 .CABEOF2， ，30F60又 . 15，7的度数是 .150说明：由于圆心角的度数与它所对的弧的度数相等，而我们对角是比较熟悉的，所以求弧的度数的问题往往转化为求它所对的圆心角度数的问题.典型例题七例 如图，已知 中， ， 、 分别交 、 于点 ，OOBCADBM，求证： 是等腰三角形.NM分析：由 ， 应得： ， ，因此，只要证明ACOMBDN就可以证明 是等腰三角形.BDACN说明：在本题中，请注意垂径定理基本图形在证明中的作用.典型例题八例 已知：如图， 、 分别是
11、的弦 、 的中点， ，求证：MNOABCDCAB.CAN分析：由弦 ，想到利用弧，圆心角、弦、弦心距之间的关系定理，又 、DB M分别为 、 的中点，如连结 ， ，则有 ， ，NMO，故易得结论.O证明 连结 、 ，OMN为圆心， 、 分别为弦 、 的中点，ABCD.AB,CDONONMCM90,90A说明：有弦中点，常用弦心距利用垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间关系定理来证题.典型例题九例 如图，已知 为 的弦，从圆上任一点引弦 ，作 的平分线交ABOABCDOC于 点，连接 . OP,求证： .证明：连结 . .,CPC 是 的平分线，PD . .OD .,AB P说明：本题考查在同圆
12、中等弧对等弦及垂径定理的综合应用，解题关键是连结 ，证OP.易错点是囿于用全等三角形的办法证明 与 相等而使思维受阻或证明繁PPAB杂.典型例题十例 如图 1，四边形 内接于 ， （1）若把和交换ABCDO.8,1,9DC了位置， 的大小是否变化？为什么？（2）求证： 。06ABPA=PB解（1）由圆的旋转不变性知：与交换位置后，它们的和仍等于，故 的大小不发生DAB变化。（2）当交换位置以后（如图 2） ， ，则四边形 变为1,8,9CBADC上底为 1，下底为 9，两腰为 8 的等腰梯形。作 于 ， 图 1E于 。ABCF则 。42E在 中， ，DRt218cosAE 。即 。06A06B
13、说明：本题考查了圆的旋转不变性，解题关键是透彻理解题意并正确画出变化后 图 2的图形，易错点是画错或画不出变化后的图形。选择题1、如图在ABC 中，A=70，O 截ABC 的三边所得的弦长相等，则BOC=（ ） （A）140 （B）135（C）130 （D）1252、下列语句中，正确的有（ ）（1）相等的圆心角所对的弧相等；（2）平分弦的直径垂直于弦；（3）长度相等的两条弧是等弧； （4）经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴（A）1 个 （B）2 个 （C）3 个 （D）4 个3.在同圆或等圆中，如果圆心角 等于另一圆心角 的 2 倍，则下列式子中能OACO成立的是（）4.在同圆或等圆中，如果
14、，则 与 的关系是（）BDA B C DCD2A2A2CAB5.在 中，圆心角 ，点 到弦 的距离为 4，则 的直径的长为（）O90OOA B C24 D16486.在同圆或等圆中，若 的长度 的长度，则下列说法正确的个数是（） 的度数等于 ； 所对的圆心角等于 所对的圆心角； 和 是等弧； 所对的弦心距等于 所对的弦心距。A1 个 B2 个 C3 个 D4 个7.在 中，两弦 ， ， 分别为这两条弦的弦心距，则 ， 的关OAOMNOMN系是（） A B C D无法确定ONMONM8.如图，在两半径不同的同心圆中， ，则（）60BAA BC 的度数= 的度数 D 的长度= 的长度答案:1、D；
15、 2、A； 3. B 4. C 5. B 6. D 7. A 8. C填空题1、已知弦 AB 把圆周分成 1:5 的两部分，这弦 AB 所对应的圆心角的度数为 2、在O 中， 的度数 240，则 的长是圆周的 3、已知：O 的半径为 4cm，弦 AB 所对的劣弧为圆的 ，则弦 AB 的长为 31cm，AB 的弦心距为 cm4、如图，在O 中，ABCD， 的度数为 45，则COD 的度数为 5、如图在ABC 中，A=70，O 截ABC 的三边所得的弦长相等，则BOC=（ ） （A）140 （B）135（C）130 （D）1256. 已知 的半径为 ，弦 的长也为 ，则 =_，弦心距是_RARAO
16、B7. 在 中，弦 所对的劣弧为圆的 ，圆的半径为 ，则 =_O31cm28. 圆的一条弦把圆分为度数的比为 的两条弧，如果圆的半径为 ，则弦长为_，5: R该弦的弦心距为_9. 如图，直径 ，垂足为 ， ，则 的度数为_， 的CDABE10AC度数为_ A BCOD10.在矩形、等腰直角三角形、圆、等边三角形四种几何图形中，只有一条对称轴的几何图形是_11. 中弦 是半径 的垂直平分线，则 的度数为_OABC12.已知 的半径为 ， 的度数是 ，则弦 的长是_cm5120AB13.如果一条弦将圆周分成两段弧，它们的度数之比为 ，那么此弦的弦心距的长度与此:3弦的长度的比是_答案:1、60；
17、2、2/3； 3、 ，2； 4、90；5. ， 6. 7. 460R321； 8. ； 9. 10. 等腰直角三角形 11. 12. 13. .R301605:解答题1、已知：在直径是 10 的O 中， 的度数是 60求弦 AB 的弦心距2、已知：如图，O 中，AB 是直径，COAB，D 是 CO 的中点，DEAB，求证： =2 3如图， 内两条相等的弦 与 相交于 ，求证：OABCPPDB4如图， 和 是等圆， 是两圆心 的中点，过 任作一直线分别交1O2M21OM于 ， ，交 于 ， ，求证： =1ABCDA 5如图，已知 的直径 为 ， 的度数为 ，求弦 的弦心距的长。OACcm2060AB参考答案：1、 ； 2352、提示：连结 OE，则 OE=2OD，sinOED=OD/OE=1/2，OED=30，EOC=60，则AOE=30，所以 =2 3提示：作 、 的弦心距ABCD4提示：作 、 的弦心距5 cm1、若O 的半径为 4，其中一条弧长为 2，则这条弧所对的圆心角的度数是_；2如图，有一座石拱桥的桥拱是以 O 为圆心、OA 为半径的一段圆弧。请你确定弧 的中点；(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明)AB若AOB=120，OA=4 米，请求出石拱桥的高度。参考答案：1 ； 2 （1）略 （2）2 米。09 BOA
