1、函数的定义域和值域一、定义域：1函数的定义域就是使函数式 的集合.2常见的三种题型确定定义域： 已知函数的解析式，就是 . 复合函数 f g(x)的有关定义域，就要保证内函数 g(x)的 域是外函数 f (x)的 域.实际应用问题的定义域，就是要使得 有意义的自变量的取值集合.二、值域：1函数 y f (x)中，与自变量 x 的值 的集合.2常见函数的值域求法，就是优先考虑 ，取决于 ，常用的方法有：观察法；配方法；反函数法；不等式法；单调性法；数形法；判别式法；有界性法；换元法（又分为 法和 法）例如： 形如 y 21x，可采用 法； y )32(312x，可采用 法或 法； y af (x
2、)2 bf (x) c，可采用 法； y x 1，可采用 法； y x 1，可采用 法； y cos2in可采用 法等.例 1. 求下列函数的定义域：（1）y= x|)1(0; (2)y= 23251xx; (3)y= 1x.典型例题解：（1）由题意得 ,0|1x化简得 ,|1x即 .0x故函数的定义域为x|x0 且 x-1.（2）由题意可得 ,0532x解得 .53x故函数的定义域为x|- x 且 x 3.（3）要使函数有意义，必须有 ,01x即 ,1xx1,故函数的定义域为1，+）.变式训练 1：求下列函数的定义域：（1）y= 2)lg(x+(x-1)0 ; (2)y= )34lg(2x+
3、(5x-4)0; (3)y= 25x+lgcosx;解：（1）由 01,2x得 1,32x 所以-3x2 且 x1.故所求函数的定义域为（-3，1）(1,2).（2）由 045,13x得 54,23xx 函数的定义域为 ).,54(),21(,43（3）由 0cos252x,得 ,)(22Zkxk借助于数轴，解这个不等式组，得函数的定义域为 .5,23),(23,5例 2. 设函数 y=f(x)的定义域为0，1 ，求下列函数的定义域.（1）y=f(3x); (2)y=f( x1);(3)y=f( )31()xf; (4)y=f(x+a)+f(x-a).解：（1）03x1,故 0x 31,y=f
4、(3x) 的定义域为0, 31.（2）仿（1）解得定义域为1，+).（3）由条件，y 的定义域是 f )31(x与 )(定义域的交集.列出不等式组 ,32134130xxx故 y=f )()31(xf的定义域为 2,.（）由条件得 ,10axax讨论：当 ,1a即 0a 2时，定义域为a,1-a;当 ,即- a0 时，定义域为-a,1+a.综上所述：当 0a 21时，定义域为a，1-a ；当- 21a0 时，定义域为-a，1+a.变式训练 2：若函数 f(x)的定义域是0，1 ，则 f(x+a)f(x-a)（0a 21）的定义域是 （ ） A. B.a，1-a C.-a，1+a D.0，1解：
5、B 例 3. 求下列函数的值域：（1）y= ;12x (2)y=x- x21; (3)y= 1ex.解：（1）方法一 （配方法）y=1- ,12x而 ,43)21(2 x0 ,342 .y值域为 1,3.方法二 （判别式法）由 y= ,12x得(y-1) .0)1(2yxy=1 时, y,1.又 R，必须 =(1-y)2-4y(y-1)0. .13y ,函数的值域为 1,3.（2）方法一 （单调性法）定义域 2|x，函数 y=x,y=- x均在 ,上递增，故 y .11函数的值域为 2,.方法二 （换元法）令 x21=t,则 t0，且 x= .21ty=- 21（t+1） 2+1 1（t0）,
6、y（-， 21.（3）由 y= 1ex得,e x= .ye x0,即 y10,解得-1y1.函数的值域为y|-1y1.变式训练 3：求下列函数的值域：（1）y= 52x; (2)y=|x| 21x.解：（1）(分离常数法)y=- )52(71x， )52(7x0,y- 2.故函数的值域是y|yR,且 y- 1.(2)方法一 (换元法)1-x 20,令 x=sin,则有 y=|sincos |= 21|sin2|,故函数值域为0， 21.方法二 y=|x| ,41)2(1242 xx0y ,2即函数的值域为 21,0.例 4若函数 f（x）= x2-x+a 的定义域和值域均为1，b （b1） ，
7、求 a、b 的值.解：f（x）= 21(x-1)2+a- . 其对称轴为 x=1，即1，b为 f（x）的单调递增区间.f（x） min=f（1）=a- 2=1 f（x） max=f（b）= b2-b+a=b 由解得 .3,2ba变式训练 4：已知函数 f(x)=x2-4ax+2a+6 (xR).（1）求函数的值域为0，+)时的 a 的值；（2）若函数的值均为非负值，求函数 f(a)=2-a|a+3|的值域.解： (1）函数的值域为0，+),=16a 2-4(2a+6)=02a2-a-3=0a=-1 或 a= 23.（2）对一切 xR，函数值均非负,=8(2a 2-a-3)0 -1a 23,a+
8、30,f(a)=2-a(a+3)=-a 2-3a+2=-(a+ 23)2+ 417(a 23,).二次函数 f(a)在 ,1上单调递减，f（a） min=f )(=- 419，f（a） max=f（-1）=4，f(a)的值域为 4,9.小结归纳1求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例 1） ，应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例 2） ，就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.
