1、基本要求：理解变形体虚功原理的内容及其应用，熟练掌握荷载作用下静定结构的位移计算；熟练掌握图乘法及其应用条件；了解静定结构在温度变化、支座移动影响下位移计算方法，了解线弹性体互等定理。 教学内容：虚功及虚功原理结构位移计算的一般公式图乘法及举例温度作用时的位移计算支座移动产生的位移计算线弹性体互等定理,9 虚功原理及结构的位移计算,Chapter 9 Structure displacement computing,一、变形和位移,在荷载作用下，结构将产生变形 和位移。,变形：是指结构形状的改变。 位移：是指结构各处位置的移动。,2. 位移的分类,A,P,A,A,线位移：,角位移：,A,(A)
2、,Ay,Ax,Ay,Ax,A,绝对位移,相对位移,P,A,B,C,D,C,D,C,D,CD= C+ D,9 虚功原理及结构的位移计算,9.1概述,（1）验算结构的刚度；（2）为超静定结构的内力分析打基础；（3）结构施工的需要，如建筑起拱。,二、计算位移目的,建筑起拱,将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱。,在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。,三、位移产生的主要原因 （1）荷载作用；（2）温度改变和材料胀缩；（3）支座沉降和制造误差等。,四、本章位移计算假定 （1）线弹性体：位移与荷载成线性关系的体系，当荷载全部撤除后，位移将完全消失（2）小变形：叠加原理适用,一、实功
3、与虚功,实功是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22，实功恒为正。虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12，如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。,P1,P2,荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到11，对线弹性体系P与成正比。,元功：,再加P2，,P2在自身引起的位移22上作的功为：,在12过程中，P1的值不变，,12与P1无关,Kj,位移发生的位置,产生位移的原因,9.2 虚功和虚功原理,力在变形位移上所作的实功为：,力在对应虚位移上所作的虚功为：,注意：（1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。 （3）位移状态与
4、力状态完全无关.,所谓虚，是指作用力P与经历的位移是独立无关的。即经历的位移不必是P所产生的，或在经历位移时，作用力P为一常值。,二、广义力、广义位移,一个力系作的总虚功 W=P ,P-广义力; -广义位移,例:1)作虚功的力系为一个集中力,2)作虚功的力系为一个集中力偶,3)作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶,4)作虚功的力系为两个等值反向的集中力,刚体在外力作用下处于平衡的充分必要条件是，对于任意微小的虚位移，外力所作的虚功之和等于零。,三、刚体体系的虚功原理,虚功原理的应用：,1）虚设位移求未知力（虚位移原理） 2）虚设力系求位移（虚力原理）,原理的表述：体系在任意平衡力系作用下，给体
5、系以几何可能的 位移和变形，体系上所有外力所作的虚功总和恒等于体 系各截面所有内力在微段变形位移上作的虚功总和。,四、变形体系的虚功原理,说明：（1）虚功原理里存在两个状态：力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。,（2）原理适用于任何 (线性和非线性)的变形体，适用于 任何结构。,（3）原理应用 ：虚设位移求未知力（虚位移原理）虚设力系求位移（虚力原理）,微段的变形可分为:,微段内力在变形位移上所作虚功：,对于杆系结构，内力所作虚功：,外力所作虚功：,由变形体虚功原理：,虚功原理应用举例,例. 求A 端支座发生竖向位移 c 时引起C点的竖向位移.,解：首先构造出相应的虚设力状态。即
6、，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。,由 得：,解得：,这是单位荷载法 。,虚功方程为：,9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式,虚设力状态。在求位移处沿所求位移方向加上相应的广义单位力P=1.,欲计算位移状态某位移。,由变形体虚功原理：,该式是结构位移计算的一般公式。1) 适用于静定结构和超静定结构。2) 适用于产生位移的各种原因、不同 的变形类型、不同的材料。3)该式右边四项乘积，当力与变形的方向一致时，乘积取正。,9.4 荷载作用下的位移计算,适用于线 弹性体系,1.梁与刚架,2.桁架,3.组合结构,4.拱,在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应的广义单
7、位荷载。,例1：求图示等截面梁B端转角。 解：1）虚拟单位荷载,MP（x1）=Px/2 0x1l/2 MP（x2）=P（lx）/2 l/2 x2l,0xl,2）MP须分段写,解：,例2:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移。,例3：求图示1/4圆弧曲杆顶点的竖向位移。,解：1）虚拟单位荷载,虚拟荷载,3）,ds=Rd,钢筋混凝土结构G0.4E 矩形截面,k=1.2,I/A=h2/12,可见剪切变形和轴向变形引起的位移与弯曲变形引起的位移相比可以忽略不计。但对于深梁剪切变形引起的位移不可忽略.,2）实际荷载,梁与刚架荷载作用下的位移计算公式：,9.5 图 乘 法,如何利用弯矩图，使其计算得以简
8、化？,一、图乘法的公式,(EI为常数),(直杆),图乘法求位移公式为:,图乘法的 应 用条件是 什么?,图乘法的应用条件：,（1）杆轴为直线； （2）EI为常数； （3）两个弯矩图中应有一个是直线图形。,说明：,（1）若两个M图在杆件的同侧，乘积取正值；反之，取负值。 （2） 应取自直线图中。,例. 试求图示梁B端转角.,解:,为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?,求,取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.,例. 试求图示结构B点竖向位移.,解:,二、几种常见图形的面积和形心的位置,=hl/2,二次抛物线=2hl/3,二次抛物线=hl/3,二次抛物线=2hl/3,三次抛物线=hl
9、/4,顶点,顶点,抛物线顶点如何确定？,例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角,解:,三、图形分解,求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角,根据弯矩区段叠加的做法，复杂图形均可化为简支梁相应荷载作用的叠加。,求,MP,Mi,三、图形分解,图乘法小结,1. 图乘法的应用条件：,（1）杆轴为直线; （2）EI为常数；,（3）两个M图中应有一个是直线图形。,2. 若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。,3. 如图形较复杂，可分解为简单图形。,例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 。,四、应用举例,MP,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,例 2. 已知 EI 为常
10、数，求A点竖向位移 。,四、应用举例,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,q,例 3. 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。,四、应用举例,例 3. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。,四、应用举例,例 3. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。,9.6 温度作用时的位移计算,上、下边缘的温差 :,设线膨胀系数为 ;,温度沿杆件截面高度线性变化。,静定结构温度变化有形变无内力,一、微段的温度变形分析,若,轴线温度,二、温度变化时位移计算,温度引起的位移计算公式:,对等截面直杆:,若 和 使杆件的同一边 产生拉伸变形，其乘积为正， 反之为负。轴力拉为正，t0 升温为正。,正、负号如何选取
11、？,例：刚架施工时温度为20 ，试求冬季外侧温度为 -10 ，内侧温度为 0 时A点的竖向位移 。已知l=4 m, ,各杆均为矩形截面杆，高度 h=0.4 m,解：设单位力。,9.6 支座移动时的位移计算,计算公式为:,静定结构支座移动有位移无内力,例1:求,解：设单位力；求支反力。,静定结构位移计算小结,1.产生位移的原因 荷载作用；温度改变；支座移动；制造误差等。 2.计算方法 基本原理: 变形体虚功原理; 基本方法: 单位荷载法; 计算思路:(1)虚设单位力;(2)分析结构位移、变形位移；（3）得出实用位移计算公式；（4）具体位移计算。,9.8 线弹性结构的互等定理,1. 功的互等定理:
12、,在线性变形体系中，状态的外力在状态位移上所做虚功，恒等于状态外力在 状态位移上所做虚功。,应用条件:1)P ;2)小变形。即:线性变形体系。,N1 M1 Q1,N2 M2 Q2,2. 位移互等定理,由单位荷载P1=1所引起的与荷载P2相应的位移21等于由单位荷载P2=1所引起的与荷载P1相应的位移12 。,若：P1=1，P2=1,注意:1）这里荷载可以是广义荷载,位移是相应的广义位移。2）12与21不仅数值相等，量纲也相同。,3、反力互等定理,在任一线性变形体系中，由单位位移C1=1所引起的与位移C2相应的反力r21等于由单位位移C2=1所引起的与位移C1相应的反力r12 。,注意:1）这里支座位移可以是广义位移,反力是相应的广义力。2）反力互等定理仅用与超静定结构。,
