1、大连海事大学,概率论与数理统计,主讲教师： 卢玉贞,联系电话：13898688905,1、排列、组合公式 2、概率的公理化定义 3、确定概率的频率方法、几何方法、古典方法 4、蒲丰投针问题,大连海事大学,1.2 概率的定义及其确定方法,大连海事大学,主观定义 事件A 出现的可能性大小. 频率定义 事件A 在大量重复试验下出现的频率的稳定值称为该事件的概率. 古典定义 几何定义 公理化定义,1.2 概率的定义及其确定方法,大连海事大学,从 n 个元素中任取 r 个，求取法数. 排列讲次序，组合不讲次序. 全排列：重复排列： 选排列：,1.2.1 排列与组合公式,大连海事大学,组 合,组合：,重复
2、组合：,大连海事大学,求排列、组合时，要掌握和注意： 加法原则、乘法原则.,注 意,大连海事大学,加法原理,完成某件事情有 n 类途径， 在第一类途径中有m1种方法，在第二类途径中有m2种方法，依次类推，在第 n 类途径中有mn种方法，则完成这件事共有 m1+m2+mn种不同的方法.,乘法原理,完成某件事情需先后分成 n 个步骤，做第一步有m1种方法，第二步有 m2 种方法，依次类推，第 n 步有mn种方法，则完成这件事共有 m1m2mn种不同的方法.,大连海事大学,随机试验可大量重复进行.,1.2.2 确定概率的频率方法,进行n次重复试验，记 n(A) 为事件A的频数，称 为事件A的频率.,
3、频率fn(A)会稳定于某一常数(稳定值).,用频率的稳定值作为该事件的概率.,大连海事大学,非负性公理： 正则性公理： 可列可加性公理：若A1, A2, , An 互不相容，则,1.2.3 概率的公理化定义,大连海事大学,古典概型若一个随机试验(,F, P )具有以下两个特征： (1) 有限性。样本空间的元素(基本事件)只有为有限个(2) 等可能性。每个基本事件发生的可能性是相等的，,1.2.4 确定概率的古典方法,则称这类随机试验的数学模型为古典概型。则事件A的概率为:,大连海事大学,n 个人围一圆桌坐， 求甲、乙两人相邻而坐的概率.,解：考虑甲先坐好，则乙有n-1个位置可坐，而“甲乙相邻”
4、只有两种情况，所以,例1.2.1,大连海事大学,n个人坐成一排， 求甲、乙两人相邻而坐的概率. (注意：请与上一题作比较),解：1)先考虑样本空间的样本点数：甲先坐、乙后坐，则共有n(n1) 种可能.2)甲在两端，则乙与甲相邻共有2种可能.3)甲在中间(n2)个位置上，则乙左右都可坐，所以共有2(n2)种可能。由此得所求概率为：,例1.2.2,（抽样模型） P20 （盒子模型） P23 （配对模型） P24 （彩票问题） P21,大连海事大学,常 见 模 型,大连海事大学,N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品.(口袋中有M 个白球， NM 个黑球),常见模型(1) 不放回抽样,从中不返回
5、任取n 个, 则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：,此模型又称 超几何模型.,大连海事大学,N 个产品，其中M个不合格品、NM个合格品. 从中有返回地任取n 个.则此 n 个中有 m 个不合格品的概率为：,常见模型(2) 放回抽样,大连海事大学,n 个不同球放入 N 个不同的盒子中.每个盒子 中所放球数不限.求恰有n 个盒子中各有一球 的概率,常见模型(3) 盒子模型,看书P23,大连海事大学,求n 个人中至少有两人生日相同的概率. 看成 n 个球放入 N=365 个盒子中. 则 用盒子模型得：,生日问题,大连海事大学,n 个人、n 顶帽子，任意取，至少一个人拿对自己帽子的概率. 记 求
6、 P(A1A2An)，不可用对立事件公式. 用加法公式：,常见模型(4) 配对模型,大连海事大学,配对模型(续),大连海事大学,购买：从01，35 中选7个号码. 开奖：7个基本号码，1个特殊号码.,彩票问题幸运35选7,大连海事大学,中奖规则,1等奖) 中 7个基本号码2等奖) 中 6个基本号码 + 1个特殊号码3等奖) 中 6个基本号码4等奖) 中 5个基本号码 + 1个特殊号码5等奖) 中 5个基本号码6等奖) 中 4个基本号码 + 1个特殊号码7等奖) 中 4个基本号码，或 3个基本号码 + 1个特殊号码,大连海事大学,中奖概率, 中所含样本点个数：,将35个号分成三类：7个基本号码、
7、 1个特殊号码、 27个无用号码 记 pi 为中 i 等奖的概率。利用抽样模型得：,1等奖) 中 7个基本号码 2等奖) 中 6个基本号码 +1个特殊号码,大连海事大学,中奖概率如下：,不中奖的概率为：,大连海事大学,1.2.5 确定概率的几何方法,几何概型 若 可度量性。样本空间充满某个区域，其度量(长度、面 积、体积)为S； 等可能性。落在中的任一子区域A的概率，只与子区域的度量SA有关， 而与子区域的位置无关则事件A的概率为:,大连海事大学,几何概型的例子,例1.2.8 （会面问题）（见书本P25） 例1.2.3 蒲丰投针问题(见下页）,蒲丰投针试验,1777年,法国科学家蒲丰(Buffon)提出了投针 试验问题.平面上画有等距离为a(a0)的一些平行直 线,现向此平面任意投掷一根长为b( ba )的针,试求 针与某一平行直线相交的概率.,解,蒲丰资料,由投掷的任意性可知 这是一个几何概型问题.,蒲丰投针试验的应用及意义,历史上一些学者的计算结果(直线距离=1),的近似值,1、排列、组合公式 2、概率的公理化定义 3、确定概率的频率方法、几何方法、古典方法 4、蒲丰投针问题,大连海事大学,1.2 内容小结,P30 213习题选讲 P31 16 22作业 P30 19 20 21 23不要求 P30 1 15 18 25,大连海事大学,练 习,
