1、专题讨论,讨论话题1：寻找四叶草讨论话题2：如何画四叶玫瑰线讨论话题3：图形变形,本次课的主题：运动学中的轨迹和机构,寻找四叶草,从第三项开始每一项都是前两项之和：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ,给大家看看一串数，看看有什么规律？,这是数学中很著名的斐波那契数列。 (斐波那契，Leonardo Fibonacci, 意大利数论学家，约公元1175-1240),是否看出来了？,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ,从第3个数开
2、始，每个数除以它后面的数：,你发现了什么？,黄金分割值！,隐藏的数字,实际上，黄金分割值的精确值是：,在绘画和建筑中，有很多应用黄金分割值的例子。,而斐波那契数列的表达式与此有关，为,程序,对于许多植物来说，每片叶子从中轴附近生长出来，为了在生长的过程中一直都能最佳地利用空间，每片叶子和前一片叶子之间的角度应该是222.5度，这个角度称为“黄金角度”，因为它和整个圆周360度之比是黄金分割值0.618。,1,2,3,4,5,222.5,137.5,如果我们稍微注意一下，会发现自然界中的大部分植物的叶子或花瓣通常是 3、5、8等数目。,既然斐波那契数列和植物生长都与黄金分割数有关，那植物与斐波那
3、契数列有什么关系呢？,在这些花或种子中，如何排列，才能尽可能均匀和整齐？,137.5,模拟结果:发散角为137.5 的黄金螺旋可以填满平面，做到点与点之间距离相等。向日葵和菊花都满足这样的排布，这样可以使单位面积内花瓣或种子排列数目最多。,137.4,137.6,仔细看看会隐约看到一些“螺旋线”。这些螺旋从中心向外盘旋，有些是顺时针方向的，还有些是逆时针方向的。,数一下，顺时针旋转的螺旋一共有13条，而逆时针旋转的则有21条。13与21？,1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, ,也许你听过寻找幸运草的故事找到四叶草就会得到幸福。,真爱（
4、love）， 健康（health）， 名誉（glory），财富（riches）。,我们能否设计出一种简单的装置，可以画出四片花瓣？,根据我们现在的理解，三叶草是自然界优化的结果，而四叶草可能只是变异的结果。因此四叶草在自然界中只有百万分之一的概率，既然很难寻找到，为什么我们不能自己创造？,有一种曲线板玩具，按住外面的板子，把笔放在内部圆轮的某个孔中，当内部的小圆在大圆中滚动时，就可以画出漂亮的曲线。,启发,在特定的参数下，可以让曲线看上去像花朵,图中机构的R、r、e如何选取？,现在的问题是：,选手摩拳擦掌,开始工作,现场演示,选手开始制作,看来画四叶草还不容易！,如何画出四叶草,根据前面的介绍
5、，这样的装置就可能画出四叶草。,问题：（1）如何做出圆盘？（2）如何让小圆盘在大圆盘内滚动时不打滑？（3）圆盘的尺寸和画笔位置？,先自己研究，过一会再公布答案,画出的四叶草尺寸不限制,参考答案：圆盘的尺寸和画笔位置,大圆半径R=200 小圆半径r=150 笔孔与小圆圆心距离 e=50,画出的四叶草最大尺寸200,以上数据可以按比例放大,分析过程,数学分析,力学分析,力学,数学,比较,有解！,看完解答，通常会认为很容易。但是有人可能会问：最开始怎么会想到装置是两个圆？,（2）圆周运动自然会有sin和cos出现,这就意味着可能是2个圆周运动！,（1）如果玩过曲线板，自然会产生联想。,图形变换,一群
6、大学生被分配到测绘局，领导为了锻炼他们，交给他们一个任务：设计制作一个机构，利用该机构，可以把原始图形在x方向放大一倍，在y方向收缩为原始图形的一半，见示意图。,启发,图示平面缩放机构中，O点固定，ADEC是平行四边形，C是AO中点，D是AB中点。如果E点坐标为（x，y），问B点坐标如何？,容易看出B点的坐标是E点的2倍。,这样的装置可以把图形放大。,参考前面的装置，能否设计出某种装置，其中有两点A和B，当A点坐标为（x，y）时，B点坐标为（2x，0.5y）？,讨论,研究问题,设计（不必制作）一个机构，利用该机构，可以把原始图形在x方向放大一倍，在y方向收缩为原始图形的一半。即装置中有两点A和B，当A点运动且坐标为（x，y）时，B点坐标为（2x，0.5y）。,（至少有四种不同原理的方案，你能设计出几种？）,
