1、西北大学信息科学与技术学院 2007年,第4章 快速傅里叶变换（FFT）,快速傅里叶变换（fast Fourier transform，FFT）并不是一种新型傅里叶变换，它仅仅是计算DFT的一种高效的快速算法。FFT使DFT 的运算量大为简化，运算时间减少了12个数量级，从而使DFT技术获得了广泛的应用。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,4.1 DFT的运算特点 4.2 基2-FFT算法 4.3 IDFT的快速算法 4.4 基4-FFT算法 4.5 实序列的FFT算法 4.6 FFT的软件实现,西北大学信息科学与技术学院 2007年,4.1 DFT 的运算特点,一个N点长度序列x(n)
2、的DFT为二者的差别仅在于W因子的指数符号及比例因子1/N 。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,一个 点的计算需要N次复乘和 次 复加运算，N点 共需要 次复乘， 次复加。根据复乘与实乘的关系可得，N点 需要 实乘和 实加。可 见，运算量是与 成正比。当N增加，计算 量急剧增加，如N=1024，计算量约为一百多万次复乘，给实时实现带来了困难与障碍。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,FFT算法减少运算量的基本思路是利用W因子的周期性、对称性和正交性等性质，同时结合将多点的x(n)划分成少点序列的组合，根据它们的DFT的关系，通过计算少点序列的DFT，然后反算回原来的多点DFT，由
3、于所计算的DFT 点数少，计算量得以减少。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,4.2 基2-FFT算法,基2-FFT算法包括：按时间抽取和按频率抽取算法。基2-FFT算法一般要求 ，M为正整数，即N取8、16、32、64、128、256、 1024等点数。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,4.2.1 按时间抽取基2-FFT算法,该算法的基本思路是将N点序列按时间下标的奇偶分为两个N/2点序列，计算这两个N/2点序列的N/2点DFT，计算量可减小约一半；每一个N/2点序列按照同样的划分原则，可以划分为两个N/4点序列，最后，将原序列划分为多个2点序列，将计算量大大降低。,西北大学信
4、息科学与技术学院 2007年,1. 按时间下标的奇偶将N点 分别抽取组成两个N/2点序列，分别记为 和 ，将 的DFT转化为 和 的DFT的计算。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,因为所以其中， 分别是 的N/2点 DFT，上式即为 和 的关系 式。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,还可以利用的W因子的对称性和 的周期性来进一步简化，将 划分为前一半N/2点和后一半N/2点，可得此式称为蝶形组合。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,分解后的蝶形运算运算公式归纳为蝶形运算可以用流图表示，称之为蝶形图，如图 所示。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,经过分解后，原来的N
5、点 计算只需计算2个N/2点序列的N/2点DFT，计算量为 ，节省了约一 半。可以用相同的分解思路继续对两个N/2点进行计算，即将 和 的计算分别分解成两个N/4点序列的DFT计算。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,2. 将 和 分别按时间下标奇偶抽 取，分解成N/4点序列，分别记为 和 ，将 的计算转化为N/4点的DFT计算，推导如下,西北大学信息科学与技术学院 2007年,化简后可得同理，也可得到 的蝶形公式。 此时共形成了4个N/4点序列： 和 ，分别计算出 和 4个N/4点DFT：,西北大学信息科学与技术学院 2007年,然后，再求得 和 ，进而求得 。 两级分解后所需要的计算
6、量（复乘次数）为这样，两次分解后，计算量已下降为原来的四 分之一。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,这种分解思路可以继续进行，即分解出8个N/8点序列，每个N/8点序列分成两个N/16点序列，经过这种多级层层的分解，最后分成N/2个2点序列。这样原来的一个N点DFT计算就转化为N/2个2点序列的DFT计算，两点序列的DFT已无乘法，只需加减运算各一次，计算量大大降低，如下式所示：,西北大学信息科学与技术学院 2007年,上述分解过程将一个N点DFT的计算最终转化成N/2个2点DFT，或者说，只需先完成N/2个2点序列的DFT计算，余下的工作只是完成少点DFT到多点DFT的蝶形组合，而没
7、有DFT的计算了。这就是按时间抽取基2-FFT算法的原理，由于每次抽取是按时间下标的奇偶进行的，所以称为按时间抽取，图4-1是N=8的算法流图。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,西北大学信息科学与技术学院 2007年,结论: 一个N点序列分成N/2个2点序列需要分 解的级数为复乘计算量为复加计算量为即N点DFT的复乘次数从 降到 ， 复加次数从 降到 ，特别是当N很 大时，计算量节省相当可观。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,下面介绍这种算法的同址运算和码位倒序规律。同址（in place）的含义是，算法中的 任何一个蝶形的2个输入量经该蝶形计算后， 便没有用处了，蝶形的两个计
8、算结果可存放到与原输入量相同的地址单元中，称这种蝶形运算为同址运算。这种规律使得变量寻址变得简单，提高了效率。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,码位倒序的含义是，序列在进入这种 FFT算法之前，序列要重新排序，使之符合 FFT算法要求，新序是原序的二进制码位倒 置顺序，简称码位倒序。产生码位倒序的原因是由于按时间抽取 基2-FFT算法的多次奇偶抽取将原序列的自 然顺序而改变的结果。因此，若应用FFT算 法时，先要完成对原序列顺序的调整，也称 作整序。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,4.2.2按频率抽取基2-FFT算法,这种算法将序列分成两部分的方式与前一 种不同,它是按下标的
9、大小分成前后两部分, 即,西北大学信息科学与技术学院 2007年,由于所以将 按下标 的奇偶分成两部分： 和 。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,西北大学信息科学与技术学院 2007年,西北大学信息科学与技术学院 2007年,经过这一步分解，将N点 的计算转化为 两个N/2点序列 的DFT计算，其中 对应着 的偶数下标部分， 对应着 的 奇数下标部分，计算量大致节省一半。上面算式可以看成是另一种蝶形运算，重写 如下：,西北大学信息科学与技术学院 2007年,相应的蝶形图如图4-2所示。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,同理，对 ，分别分解为两个 N/4点序列 和 的DFT， 可
10、得：,西北大学信息科学与技术学院 2007年,分解示意图如图4-3所示。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,此思路可以一直进行下去，直到分解成 N/2个2点序列，就达到了与时间抽取算法相 同的目的，最后对所有的2点序列进行2点 DFT变换，得到的结果将与 有确切的对 应关系。按此运算方法，可以画出一个N=8点的 FFT算法流图，如图4-4所示，由于这种算法 是按照频域下标的奇偶来划分 的，所以 称这种算法为频率抽取算法。,西北大学信息科学与技术学院 2007年,西北大学信息科学与技术学院 2007年,频率抽取算法具有与时间抽取算法相同的 分级数、每级蝶形数、运算量和同址运算特 点，它们的根本区别是算法的蝶形结构不同， 具体地说，蝶形中的W因子相乘的位置不同， 这正是两类算法不同的原理所造成的。这里给出的两种FFT算法流图形式不是唯 一的。可以改变输入与输出以及中间结点的排 列顺序，只要不破坏原来各支路的连接关系， 就可以得到同类算法中的另一种FFT算法。,
