1、12008 年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分）1已知全集 ，集合 ，那么集合 等于（ UR231|4AxBx ， 或 AB）A B C D 3|x1| 或 |23|1x2若 ，则（ ）0.525ablogclsin， ，A B C D caabca3 “函数 存在反函数”是“函数 在 上为增函数”的（ ）()fxR()fxRA充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件4若点 到直线 的距离比它到点 的距离小 ，则点 的轨迹为（ ）P120， 1PA圆 B椭圆 C双曲线 D抛物线5若实数 满足 则 的最小值是
2、（ ）,xy023xyzA B C D01396已知数列 对任意的 满足 ，且 ，那么 等于（ ）na*,pqNpqqa26a10aA B C D50217过直线 上的一点作圆 的两条切线 ，当直线 关于 对称yx5xy()()12,l12,lyx时，它们之间的夹角为（ ）A B C D30469【考点】圆的切线方程菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】过圆心 作直线 的垂线交于 点，过 点作圆的切线能够满足条件，不难求出Mlyx： N夹角为 。明白 点后，用图象法解之也很方便。6N【解答】圆 的圆心 ，过 与 垂直的直线方程： ，2251x()()51（ ， ） （ ， ） yx60xy它与
3、的交点 ， 到 距离是 ，两条切线 ，它们之间的夹角为 。故选y3（ ， ） （ ， ） 212,l C【点评】本题考查直线与圆的位置关系，以及数形结合的数学思想；这个解题方法在高考中应用的非常普遍。师补充：由切线长定理， 关于直线 对称，由已知，得直线12,lp与直线 垂直，故得 ，从而得 与pyx:60xyyx的交点 ，而 ，半径为 ，得:60(3,)N|2M的夹角为 。12,l8如图，动点 在正方体 的对角线 上。过点 作垂直于平面 的P1ABCD1BDP1BD直线，与正方体表面相交于 。设 ，则函数 的图象大致是（ ,MNPxNy， ()fx）2lO(3,)N5,1M 1:60pxy
4、yx y 2A B C D【考点】空间中直线与直线之间的位置关系菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】只有当 移动到正方体中心 时， 有唯一的最大值，则淘汰选项 点移动时，POMNAC、 ； P的关系应该是线性的，则淘汰选项 Dxy与【解答】设正方体的棱长为 ，显然，当 移动到对角线 的中点 时，函数1P1BO取得唯一最大值，所以排除 A、C；2MNAC当 在 上时，分别过 作底面的垂线，垂足分别为 ，BO、 、 11N、 、则 是一次函数，所以排除 D。故选 B111223yxcosx【点评】本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法。师补充：设正方体的棱长为
5、 ，解：如图， 分别为 的中点， ，,EF1,AC/EFAC，在平面 中，作 的平行线1BD平 面 1B，即满足已知条件。当 时，MN302x，得 ；PEFOyN当 时， ，得32x13BPEFOD，分段函数，故选 B。2()yMx二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分）9已知 ，其中 是虚数单位，那么实数 。2ai(-)i a10已知向量 与 的夹角为 ，且 ，那么 的值为 。b120|4b(2)b【分析】向量数量积运算，三种方法：一定义，二坐标，三是数形结合。11若 展开式的各项系数之和为 ，则 ，其展开式中的常数项为 。 （用231nx32n数字作答）B A 1 D C
6、 E M P N O 1C F 1B312如图，函数 的图象是折线段 ，其中 的坐标分别为 ，则()fxABC,(0,4)2,(6)； 。 （用数字作答）(0)f01)(limf【分析】由函数的图象可知， ，当 ， ，所以由导数的24,026xy02x()2f几何意义知 。0(1)(lim1)xff13已知函数 ，对于 上的任意 ，有如下条件：2cosx,221,x ； ； 。2111|其中能使 恒成立的条件序号是 。2()fxf【考点】函数奇偶性的性质；导函数确定单调性。菁优网版权所有【专题】压轴题【分析】函数是个偶函数，由于 ，在 上 ，可推断出函数在 轴2()xinfs0,20()fxy
7、两边是左减右增，此类函数的特点是自变量离原点的位置越近，则函数值越小，欲使恒成立，只需 到原点的距离比 到原点的距离大即可，由此可得出 ，在12()fx1x2 12|x所给三个条件中找符合条件的即可。【解答】函数 在 上为单调增函数，由偶函数性质知函数在 上为减函数。()f0,2 ,02当 时，得 ， ，由函数 在上 为偶函数得21x1|x12(|)|)(fxf()fx，故成立。2()ff ，而 ， 不成立，同理可知 不成立故答案是。故应填3()3f【点评】本题考查函数的性质奇偶性与单调性，属于利用性质推导出自变量的大小的问题，本题的解题方法新颖，判断灵活，方法巧妙。14某校数学课外小组在坐标
8、纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第 棵树种植在点k处，其中 ，当 时， 。 (,)kPxy1,xy2k11255kTkxy ()Ta表示非负实数 的整数部分，例如 。按此方案，第 6 棵树种植点的坐标应a.60.T（ ） ， （ ）为 ；第 2009 棵树种植点的坐标应为 。【考点】数列的应用菁优网版权所有【专题】压轴题；规律型【分析】由题意可知，数列 为 ；nx1234512345， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，数列 为 由此入手能够得到第 6 棵树种植点的坐标和第ny12， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，2009
9、 棵树种植点的坐标。4【解答】 组成的数列为 125kT0101,， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，2345k， ， ， ，一一代入计算得数列 为nx34512345， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 的重复规律是 。 。nx12 5nnnnxx， ， ， ， N数列 为y ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即 的重复规律是 。50nkyk，由题意可知第 6 棵树种植点的坐标应为 ；第 2009 棵树种植点的坐标应为 。1（ ， ） 402（ ， ）【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意创新题
10、的灵活运用。师补充：答案抽象。12345(,),(,1),(,)PP678910,2(,)3,2(,)5,PP，周期数列，周期为 5，故得 。1 13 6209()(,)P三、解答题（共 6 小题，满分 80 分）15 （13 分）已知函数 的最小正周期为 。2 2()sinxsinxf ()求 的值；求函数 在区间 上的取值范围。()fx0,3【略解】 ， ，解得 。216sinx 21由得 。)(f ， ， ，203x766sinx ，即 的取值范围为 。312sin()fx03,2【点评】公式的记忆，范围的确定，符号的确定是容易出错的地方。16 （14 分）如图，在三棱锥 中， 。PAB
11、C9ACBPABC， ， ，求证： ；PCAB求二面角 的大小；求点 到平面 的距离。【考点】与二面角有关的立体几何综合题；点、线、面间的距离计算菁优网版权所有【专题】计算题；证明题【分析】欲证 PCAB，取 AB 中点 D，连接 PD，CD，可先证 AB平面 PCD，欲证 AB平面PCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证 AB 与平面 PCD 内两相交直线垂直，而PDAB，CDAB，又 PDCD=D，满足定理条件；取 AP 中点 E连接 BE，CE，根据二面角平面角的定义可知 BEC 是二面角 BAPC 的平面角，在BCE 中求出此角即可；过 C 作 CHPD，垂足为 H，易知 CH
12、的长即为点 C 到平面 APB 的距离，在 RtPCD 中利用勾股定理等知识求出 CH 即可【解答】取 AB 中点 D，连接 PD，CD5AP=BP， PDABAC=BC，CDABPDCD=D，AB 平面 PCDPC 平面 PCD，PCAB AC=BC，AP=BP，APC BPC又 PCAC， PCBC又ACB=90，即 ACBC，且 ACPC=C，BC平面 PAC取 AP 中点 E连接 BE，CEAB=BP， BEAPEC 是 BE 在平面 PAC 内的射影， CEAPBEC 是二面角 BAPC 的平面角在BCE 中，BC=2， ，CE=cosBEC= 二面角 BAPC 的大小 arccos
13、 由知 AB平面 PCD，平面 APB平面 PCD过 C 作 CHPD，垂足为 H平面 APB平面 PCD=PD，CH平面 APBCH 的长即为点 C 到平面 APB 的距离由知 PCAB，又 PCAC，且 ABAC=A，PC 平面 ABCCD平面 ABC，PCCD在 RtPCD 中， ， ， 点 C 到平面 APB 的距离为 【点评】本题主要考查了空间两直线的位置关系，以及二面角的度量和点到面的距离的求解，培养学生空间想象能力，属于基础题师补充：给答案太麻烦。在图形中，标出数据，由已知 ，可求出PCA，进而很容易确定 。2PCPCAB平 面线面垂直判定定理，得 。平 面传统方法，找二面角的平
14、面角，很容易，332coscs,arcos6BE反三角函数表示角。等体积法或作出垂线段。，得出点 到平面 的距离 。CPABCVAPB2317 （13 分）甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 四个不同的岗位服务，每个岗ABCD， ， ，位至少有一名志愿者。（ ） 求甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率；（ ） 求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；（ ） 设随机变量 为这五名志愿者中参加 岗位服务的人数，求 的分布列。 【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列菁优网版权所有【专题】概率与统计22266【分析】 （ ） 甲、乙两人同时参加 A 岗位服务，则另外三个人在 B、C、D
15、 三个位置进行全排列，所有的事件数是从 5 个人中选 2 个作为一组，同其他 3 人共 4 个元素在四个位置进行排列（ ） 总事件数同第一问一样，甲、乙两人不在同一个岗位服务的对立事件是甲、乙两人同时参加同一岗位服务，即甲、乙两人作为一个元素同其他三个元素进行全排列（ ） 五名志愿者中参加 A 岗位服务的人数 可能的取值是 1、2，=2”是指有两人同时参加 A 岗位服务，同第一问类似做出结果写出分布列【解答】解：（ ） 记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA，总事件数是从 5 个人中选 2 个作为一组，同其他 3 人共 4 个元素在四个位置进行排列 C52A44满足条件的事件数是 A3
16、3，那么 ，即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是 （ ） 记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E，满足条件的事件数是 A44，那么 ，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 （ ） 随机变量 可能取的值为 1，2事件“=2 ”是指有两人同时参加 A 岗位服务，则 ， 的分布列是 1 2P【点评】本题考查概率，随机变量的分布列，近几年新增的内容，整体难度不大，可以作为高考基本得分点总的可能性是典型的“捆绑排列”，易把 C52 混淆为 A52，18 （13 分） （2008 北京）已知函数 ，求导函数 f（x） ，并确定 f（x）的单调区间【考点】利用导数研究函数的单调性；导数的运算菁优网版
17、权所有【分析】根据函数的求导法则进行求导，然后由导数大于 0 时原函数单调递增，导数小于 0 时原函数单调递减可得答案【解答】解： = =令 f（x）=0，得 x=b1当 b1 1，即 b2 时，f（x ）的变化情况如下表：x （，b1） b1 （b1， 1） （1，+）f（x） 0 + 7当 b1 1，即 b2 时，f（x ）的变化情况如下表：x （，1） （1，b1） b1 （b1， +）f（x） + 0 所以，当 b2 时，函数 f（x ）在（，b1）上单调递减，在（ b1，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减当 b2 时，函数 f（x）在（ ，1）上单调递减，在（1，b1）上单调递增
18、，在（b 1，+）上单调递减当 b1=1，即 b=2 时， ，所以函数 f（x）在（ ，1）上单调递减，在（1，+）上单调递减【点评】本题主要考查函数的求导方法和导数的应用导数题一般不会太难但公式记忆容易出错，要熟练掌握简单函数的求导法则19 （14 分） （2008 北京）已知菱形 ABCD 的顶点 A，C 在椭圆 x2+3y2=4 上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1（）当直线 BD 过点（0，1）时，求直线 AC 的方程；（）当ABC=60 时，求菱形 ABCD 面积的最大值【考点】椭圆的应用菁优网版权所有【专题】计算题；压轴题【分析】 （）由题意得直线 BD 的方程，根据四边形 AB
19、CD 为菱形，判断出 ACBD于是可设出直线 AC 的方程与椭圆的方程联立，根据判别式大于 0 求得 n 的范围，设 A，C 两点坐标分别为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，根据韦达定理求得 x1+x2 和 x1x2，代入直线方程可表示出 y1+y2，进而可得AC 中点的坐标，把中点代入直线 y=x+1 求得 n，进而可得直线 AC 的方程（）根据四边形 ABCD 为菱形判断出ABC=60且|AB|=|BC|=|CA|进而可得菱形 ABCD 的面积根据 n 的范围确定面积的最大值【解答】解：（）由题意得直线 BD 的方程为 y=x+1因为四边形 ABCD 为菱形，所以 ACBD于是
20、可设直线 AC 的方程为 y=x+n由 得 4x26nx+3n24=0因为 A，C 在椭圆上，所以=12n 2+640，解得 设 A，C 两点坐标分别为（x 1，y 1） ， （x 2，y 2） ，则 ， ，y 1=x1+n，y 2=x2+n所以 所以 AC 的中点坐标为 由四边形 ABCD 为菱形可知，点 在直线 y=x+1 上，所以 ，解得 n=2所以直线 AC 的方程为 y=x2，即 x+y+2=0（）因为四边形 ABCD 为菱形，且ABC=60，所以|AB|=|BC|=|CA|8所以菱形 ABCD 的面积 由（）可得 ，所以 所以当 n=0 时，菱形 ABCD 的面积取得最大值 【点评
21、】本题主要考查了椭圆的应用，直线方程和最值解析几何的综合题，在高考中的“综合程度”往往比较高，注意复习时与之匹配20 （13 分） （2008 北京）对于每项均是正整数的数列 A：a 1，a 2，a n，定义变换 T1，T 1 将数列 A 变换成数列 T1（A）：n，a 11，a 21，a n1；对于每项均是非负整数的数列B：b 1，b 2，b m，定义变换 T2，T 2 将数列 B 各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列 T2（B） ；又定义 S（B） =2（b 1+2b2+mbm）+b 12+b22+bm2设 A0 是每项均为正整数的有穷数列，令 Ak+1=T2（T 1（A k）
22、 ） （k=0，1，2，） （）如果数列 A0 为 5，3， 2，写出数列 A1，A 2；（）对于每项均是正整数的有穷数列 A，证明 S（T 1（A） ）=S（A） ；（）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列 A0，存在正整数 K，当 kK 时，S（A k+1）=S（A k） 【考点】数列的应用菁优网版权所有【专题】压轴题；探究型【分析】 （）由 A0：5，3， 2，求得 T1（A 0）再通过 Ak+1=T2（T 1（A k） ）求解（）设有穷数列 A 求得 T1（A ）再求得 S（T 1（A ） ） ，由 S（A）=2（a 1+2a2+nan）+a12+a22+an2，两者作差比较（
23、）设 A 是每项均为非负整数的数列 a1，a 2，a n在存在 1ijn，有 aiaj 时条件下，交换数列A 的第 i 项与第 j 项得到数列 B，在存在 1mn，使得 am+1=am+2an=0 时条件下，若记数列a1，a 2，a m 为 C，A k+1=T2（T 1（A k） ）s（A k+1）S（T 1（A k） ） 由 S（T 1（A k） ）=S（A k） ，得到 S（A k+1）S（A k） S（A k）是大于 2 的整数，所以经过有限步后，必有 S（A k）=S（A k+1）=S（A k+2）=0【解答】解：（）解：A 0： 5，3，2，T 1（A 0）：3，4 ，2，1，A 1
24、=T2（T 1（A 0） ）：4，3，2，1；T 1（A 1）：4， 3，2，1，0，A 2=T2（T 1（A 1） ）：4，3，2，1（）证明：设每项均是正整数的有穷数列 A 为 a1，a 2，a n，则 T1（A）为 n，a 11，a 21，a n1，从而 S（T 1（A ） ）=2n+2（a 11）+3（a 21）+（n+1） （a n1）+n 2+（a 11） 2+（a 21） 2+（a n1）2又 S（A）=2（a 1+2a2+nan）+a 12+a22+an2，所以 S（T 1（A ） ） S（A）=2n2 3（n+1）+2（a 1+a2+an）+n 22（a 1+a2+an）+n
25、= n（n+1）+n2+n=0，故 S（T 1（A） ） =S（A） （）证明：设 A 是每项均为非负整数的数列 a1，a 2，a n当存在 1ijn，使得 aiaj 时，交换数列 A 的第 i 项与第 j 项得到数列 B，则 S（B）S（A ）=2 （ia j+jaiiaijaj）=2（i j） （a jai）0当存在 1mn ，使得 am+1=am+2an=0 时，若记数列 a1，a 2，a m 为 C，则 S（C）=S （ A） 所以 S（T 2（A ） ） S（A） 从而对于任意给定的数列 A0，由 Ak+1=T2（T 1（A k） ） （k=0，1，2， ）可知 S（A k+1）S（T 1（A k） ） 9又由（）可知 S（T 1（A k） ）=S（A k） ，所以 S（A k+1）S（A k） 即对于 kN，要么有 S（A k+1）=S（A k） ，要么有 S（A k+1）S（A k）1因为 S（A k）是大于 2 的整数，所以经过有限步后，必有 S（A k）=S（A k+1）=S （A k+2）=0即存在正整数 K，当 kK 时， S（A k+1）=S（A ）【点评】本题是一道由一个数列为基础，按着某种规律新生出另一个数列的题目，要注意新数列的前几项一定不能出错，一出旦错，则整体出错
