1、圆周率的发展,物理与电子工程学院、 10级物理2班 卢国庆 201072010237,第一阶段：实验时期,(1)在阿基米德之前，圆周率的测定常用直观推测或实物度量。 (2)赖因德之草书是現存世界上最古老的数学书（约为前1650年），其中记载圆面积的算法为直径減去它的 1/9，再加以平方，按照这个方式计算，圆周率大约是3.16049。 ( 3）旧约圣经中也有圆周率为 3的记述。 (4)中国也使用 3为粗率之值，古书九章算术第一章方田引题：今有圆田，周三十步，径十步，为田几何？就认定圆周率为3。故有人推测在公元前若干世纪，就已经使用圆周率为3了。,第二阶段：几何法时期,(1)阿基米德用几何的方法，
2、证明了圆周率是介于 22/7与243/71之間。 (2)公元150年左右，希腊天文学家托勒密制作弦表（正弦函數表的雏形）来计算圆周率，其值为 377/ 120= 3.1416，比阿基米德更进步。 (3)中国的九章算术第一章提到计算圆面积法则：半周半径相乘得积步。，就是圆面积的公式，刘徽提出了详细证明，並且也算比较精确的圆周率为 157/50（又称为徽率），他的方法是割圆术，也就是利用圆内接正 n边形，然后让 n越來越大以求圆周长的近似值。 (4)南北朝时期，天文学家祖沖之（西汉429500年）有更大的突破，他已经算出：3.14159263.1415927，到小數點後第七位，是相当精密的圆周率。
3、 (5)在1424年，中亚细亚伊朗地區有一位天文数学家卡西，曾经算出=3.141,592,653,589,793,25 。精确度到小数点后第16位。 (6)利用几何法计算，须做很大的计算量，像数学家鲁多尔夫為了要算出小数点后35位，就几乎窮其一生。不过在计算机还未发明以前，这已经是人类的极限了。,刘徽割圆术,一、刘徽首先指出利用=3这一数值算得的结果不是圆面积，而是圆内接正十二边形的面积，这个结果比的真值少.,二、他由圆内接正六边形算起，逐渐把边数加倍，算出正12边形、正24边形、正48边形、正96边形的面积，这些面积会逐渐地接近圆面积.,刘徽先将直径为2的圆分割为6等分，再分割成12等分，2
4、4等分，.，这样继续下去，并利用勾股定理计算其面积，从而求出圆周率的近似值，他一直计算到圆内接正192边形的面积。,割圆术,先作一个半径为1的单位圆,然后作内接正六边形。,由此逐步算出 2n 6 內接正多边形的周界。（n = 1 , 2 , 3 , ）,刘徽认为：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣！,刘徽一直计算到 96 边形的周界，得 3.14 的结果。,九章算术注文明白写着：“割之弥细，所失弥少；割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣 ，这段注文充分说明了刘徽对极限概念.,后来.刘徽就用割圆术将圆周率精确到小数点后3位，,圆周率是指平面上圆的周长与直径之比
5、。早在一千四百多年以前，我国古代著名的数学家祖冲之，就精密地计算出圆的周长是它直径的3.1415926-3.1415927倍之间。这是当时世界上算得最精确的数值-圆周率。,祖冲之计算得出的密率分数近似值 355/113 ，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把叫做“祖率“,祖冲之在天文历法方面的成就，大都包含在他所编制的大明历及为大明历所写的驳议中。,祖冲之计算得出的密率分数近似值 355/113 ，外国数学家获得同样结果，已是一千多年以后的事了为了纪念祖冲之的杰出贡献，有些外国数学史家建议把叫做“祖率“,祖冲之在天文历法方面的成就，大都
6、包含在他所编制的大明历及为大明历所写的驳议中。,艾尔卡西,艾尔卡西（Ghiyath al-Din Jamshid Masud al-Kashi, 约 1380 1429）,中亚细亚地区的天文学家、数学家。 於撒马尔罕天文台工作。 1424 年,发表了圆周率的 17 位准确数字。,范柯伦,范柯伦（Ludolph van Ceulon, 1540 1610）,德国人,但长期居於荷兰。 1610 年，算出有 35 位的 值。 德语中,圆周率被为 “Ludolphsche Zahl”。,第三阶段：分析法时期,这一时期人们开始摆脱利用多边形圆周的繁雜計算，而利用无穷级数或无穷连乘积来计算圆周率，以下有几
7、个例子: (1)此式由英人韦达（Vieta）於1579年发现。 (2)此式由瓦利斯（Wallis）於1650年发现。 (3)英人梅钦於1706年发现，並利用 tan1x 之幂级数计算出值到小数点后第100位。 (4)于1873年由英人尚克斯（Shanks）提出，並且利用此式计算值至小数点后第767位。,1671 年，苏格兰数学家格雷哥里（James Gregory, 1638 1675）发表了以下式：,1674 年，德国史学家莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646 1716）将 1 代入 x 得：,分析法时期,一百位小树,1706 年，英国数学家梅钦（John
8、 Machin, 1680 1751）建立了一个重要公式：,利用此式，再加上前面的格雷哥里公式，他计算出圆周率小数点后一百位的数值。, = 3. 14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ,欧拉,欧拉（Leonhard Euler, 1707 - 1783）,瑞士数学家。 “” 符号的倡导者。 13岁入大学，17岁取得硕士学位，30岁右眼失明，60岁完全失明。,欧拉公式,第四阶段:计算机时期,194
9、6年，世界第一台电子计算机艾尼阿克制造成功，人类历史正式迈进了资讯时代。 (1)1949年艾尼阿克根据梅钦公式计算圆周率到小数点后第2035位,费了 70小时的时间。 (2)当计算机的发展不断更新,计算圆周率的记录也纷纷被打破。, 1967年法人吉尤算到小数点后第500,000位，1987年已有人算到第 2936万位以上，進入90年代后记录已经超过10亿位了。, 的一个重要性质,兰伯特（Johann Heinrich Lambert, 1728 1777）,原籍瑞士的德国数学家 1761 年，他证明了 不能表示成分数，即 不是一个有理数。 是一个无理数。,无处不在的 ,高斯（Carl Frie
10、drich Gauss, 1777 - 1855）,德国数学家。 计算出统计学上正态分布曲线的公式。,蒲豐拋針,蒲豐（Comte de Buffon, 1707 1788）,法國數學家。 在 1777 年刊行的或然算術試驗一書中，導入了一條著名的問題。,蒲豐拋針,蒲豐（Comte de Buffon, 1707 1788）,法國數學家。 在 1777 年刊行的或然算術試驗一書中，導入了一條著名的問題。,蒲豐拋針,設在一個水平面上，畫一些距離相等的平行線。設該距離為 a。,如果把一根質量均勻，長度為 的小針，（ a，）任意地拋擲到這一平面上，,那麼這根小針能和某一直線相交的概率是多少？,蒲丰抛针,完,
