1、电路分析的一般方法: 系统地分析和计算线性电路的方法,选取电路变量(电压和/或电流) 根据KCL、KVL及元件的u i 关系，建立电路方程 3. 解电路方程,第3章 电阻电路的一般分析方法,特点: 具有普遍性和全面性,适用的电路: 线性电阻网络的直流稳态解、交流电路的稳态分析和动态电路运算法分析，并主要用于复杂电路的求解。,电路分析的一般方法的步骤:, 重点：,熟练掌握电路方程的列写方法：支路电流法回路电流法结点电压法,3.3 支路电流法,3.4 网孔电流法,3.6 结点电压法,目录,3.1 电路的图,3.2 KCL和KVL的独立方程数,3.5 回路电流法, 3-1 电路的图,电路图F(fig
2、ure),电路的图G(graph),例:,选取一个元件作为一条支路则有9条支路, 6个结点,G1,选取(R3 , us3) 为一条支路选取(R5 , is5) 为一条支路选取(R6 , us6) 为一条支路其余电阻各为一条支路则有6条支路, 4个结点。,G2,支路内容不同, 得到不同的图,图的定义：拓扑图G是结点与支路的集合（顶点与边的集合）,有向图：指定了每条支路方向的图G。（支路的方向即为电路中相应支路的电流方向, 且u与i 为关联参考方向）,连通图: G的任意二结点之间至少存在一条路径,回路: G的闭合路径，但除起点和终点外，经过的其他结点都相异,回路不包围任何支路, 称为网孔。,树:
3、图G的一个连通子图, 用T表示。,例:,T,包含回路,不连通,选树T如图, 连通图G(n,b), 任一树的树支数= n1，连支数 = b(n1).,连支：不属于T的支路,，则支路2, 3, 4为树支,如支路1, 5, 6,树支：图G中构成树T的支路,3-2 KCL和KVL的独立方程数,一般地：n个结点的电路只能有n-1个独立的KCL方程。,1. KCL的独立方程数,:,:,:,:,方程的特点 : 每一支路电流只出现在两个方程中, 且一次为正,一次为负。, 4个方程相加，结果为零，这表明4 个方程不是相互独立。, 可以证明，独立方程数是3。,2. KVL方程的独立数,问题1：一个图G(n,b)可
4、以有很多回路，因此可以写出很多KVL方程。独立的方程数是多少？,回路1（1, 2, 3）,回路2（3, 4, 5）,回路3（1, 2, 4, 5）,回路1 + 回路2 = 回路3,独立的回路数是多少？,独立回路的充分条件：每选一个新回路，至少含有一条其它回路没有的新支路。,问题2: 如何选取一组独立回路?,回路1（1, 2, 3）,回路3（2, 4, 6）,回路2（1, 2, 4, 5）,所以, 选取的3个回路相互独立,经验方法,单连支回路(基本回路): 仅含一个连支其余为树支的回路。,单连支回路的选取方法:, 选定一个树 逐条加入连支, 加入一条连支, 形成一个只含该连支且其余支路均为树支的
5、回路。这样，共形成l 个独立回路,加入支路1这条连支形成回路（1, 2, 3）,加入支路4这条连支形成回路（3, 4, 5）,加入支路6这条连支形成回路（2, 3, 5, 6）,对于平面电路,它的网孔就是一组独立回路, 是平面电路,平面电路：可画入一个平面而不发生支路交叉的电路。,非平面电路：在平面上无论将电路怎样画，总有支路相互交叉。,总有支路相互交叉 是非平面电路,网孔：平面图的一个自然的“孔”，它限定的区域内不再有支路。,独立方程数:,共b个方程数,结论:,例:,b =8，n=5，l =bn+1, 网孔数4,3.3 支路电流法 (branch current method ),举例说明：
6、,支路电流法：以各支路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法。,(i) 确定支路, 则 b = 6, n = 4;,写出支路方程:,标定各支路电流参考方向, 并取支路电压的参考向与支路电流的为关联参考方向;,出为正，进为负,结点 ： i1 + i2 i6 = 0,结点 ： i2 + i3 + i4 = 0,结点 ： i4 i5 + i6 = 0,(ii) 选取结点为参考结点，对其余结点，根据KCL列写方程:,(iii)选定l=b-n+1个独立回路，根据KVL，列写回路电压方程:,将(1)式代入（3）得：,将（2）式和(4)式联立得到支路电流方程。,解得支路电流后，再返代入（1）式中，即可解得支
7、路电压。,讨论: 方程(4)可写为如下方程(5)的一般形式:,回路中： 若 ik 的方向与回路方向一致, 则Rk、ik 前取“+”号, 反之取“”号; 若usk的方向与回路方向一致, usk 前取“”, 反之取“+”号。,支路法的一般步骤：,(1) 标定各支路电流（电压）的参考方向；,(2) 选定(n1)个结点，列写其KCL方程；,(3) 选定b(n1)个独立回路，列写其KVL方程(直接写成方程（5）的形式)；,(4) 求解上述方程，得到b个支路电流；,(5) 进一步计算支路电压和进行其它分析。,支路法的特点：,支路电流法是最基本的方法，在方程数目不多的情况下可以使用。由于支路法要同时列写 K
8、CL和KVL方程， 所以方程数较多，手工求解比较繁琐。,节点a：I1I2+I3=0 ,(1) n1=1个KCL方程：,解:,(2) bn+1=2个KVL方程( Rkik=Usk ) ：,R2I2+R3I3= US2,R1I1R2I2=US1US2,0.6I2 + 24I3 = 117 ,I1 0.6I2 = 13 ,(3) 联立求解方程 ，即 ：,(4) 功率分析：,PU S1发=US1I1=13010 =1300 W,PU S2发=US2I2=117(5) = 585 W,验证功率守恒：,PR 1吸= R1I12=100 W,PR 2吸= R2I22=15 W,PR 3吸= R3I32=60
9、0 W,P发= P吸,b=5, n=3,KCL方程：,R1 i1-R2i2 = uS (3),KVL方程：,解:,i5 = iS (6),R4 i4u (5),R2 i2+R3i3 + R4 i4 = 0 (4),解:,方程列写分两步：,(1) 先将受控源看作独立源 列方程；,KCL方程：,例3.列写下图所示含受控源电路的支路电流方程。,(2) 将控制量用方程变量表示，并代入(1)中所列的方程，消去中间变量。,KVL方程：,R1i1- R2i2= uS (3),补充方程：,注意：写复杂电路方程时尤其要注意方程数必须等于变量数这一基本数学要求。,R5i5= u (6),R3i3- R4i4= u
10、2 (5),R2i2+ R3i3 +R5i5= 0 (4),将方程(8)代入方程(5), 并整理得:,说明：1. 网孔是特殊的回路，两种方程的列写规律相同。,2. 网孔电流法只适用于平面电路，回路电流法不仅适用于平面电路，也可用于非平面电路。,3. 4 网孔电流法,3. 5 回路电流法,回路电流：电路G(n, b), 选取l=bn+1个独立回路。假想每一回路中有一电流沿此回路流动， 该电流称为回路电流,回路电流的方向：回路的绕行方向,支路电流与回路电流的关系：支流电流是相关回路电流的代数和。,1. 回路电流,如 il1、 il2,i1= il1+ il2 ，,3. 5 回路电流法,如上图所示电
11、路中：,i2= - il1 ，,i3= il2,回路电流是在回路中闭合的，对每个相关节点均流进一次，流出一次，所以KCL自动满足。若以回路电流为未知量列方程来求解电路，省掉了(n-1)个KCL方程。只需对回路列写KVL方程。, 回路电流方程的建立,由KVL, 得:,回路1：R1 i1-R2i2 = uS1 - uS2,回路2：R1i1+ R3 i2 = uS1,代入 i1 =il1+il2 , i2 = - il1 , i3 =il2 , 有:,选定l=b-n+1个回路， 标明各回路电流及方向。,2. 回路电流法,以回路电流为未知量列写电路方程分析电路的方法,R11=R1+R2,R22=R1+
12、R3,R12= R21= R1,当两个回路电流流过互电阻时方向相同，互电阻前取“+”号；否则为“”号。,uS11= uS1-uS2,当电压源电压方向与该回路方向一致时,该电压前取“-”号,反之取“+”号。, 回路电流方程的直观编写,写为线性方程的一般形式：,uS22= uS2 : 回路2中所有电压源电压的代数和。,: 为回路1中所有电阻之和, 称为回路1的自电阻；,: 为回路2中所有电阻之和, 称为回路2的自电阻；,: 回路1与回路2之间的互电阻；,: 回路1中所有电压源电压的代数和；,一般情况，对于具有 l=b-(n-1) 个回路的电路，有,其中:,Rjk: 回路 j与回路k互电阻:,+ :
13、 流过互阻时两个回路电流方向相同；,- : 流过互阻时两个回路电流方向相反；,二回路无公共支路时，互阻为0 。,不含受控源的线性网络 Rjk=Rkj , 系数矩阵为对称阵。,Rkk: 回路k的自电阻(为正), k=1,2, l,回路法的一般步骤：,(1) 选定l=b-(n-1)个回路，标明回路电流及方向；,(2) 对l个回路，以回路电流为未知量，列写出回路电流方程；,(3) 求解上述方程，得到l个回路电流；,(4) 根据支路电流与回路电的关系, 求出支路电流。,例 1. 电路如图所示，用回路法求I。,即：,解得：,I1 = 7/3A, I2 = 2A，,I = I1 I2 =1/3A,说明：对
14、于电阻与电流源并联的电路，列写回路方程时，可以首先将其化成电阻与电压源的串联。熟练之后，可以不必进行转化。,R11= 3+6 = 9 ,R12= R21 = 6 ,uS11 = 9 V； uS22 = 12 V,R22= 3+4+6 = 13 ,解：,(1) 选取独立回路,(2) 列 回路方程,(R1+R2)Ia -R2Ib = US1- US2,-R2Ia + (R2+R3)Ib - R3Ic = US2,-R3Ib + (R3+R4)Ic = US4,(3) 求解回路电流方程，得 Ia =0.786 A, Ib = 1.143 A, Ic = 1.071 A,(4) 求各支路电流：,例2.
15、 已知: R1=60 , R2=20 , R3=R4=40 , Us1=50 V, Us2=10 V, Us4= 40 V. 用回路法求各支路电流。,I1=Ia, I3=Ic-Ib = -0.072 A, I2=Ib-Ia = 0.357 A, I4=-Ic= -1.071 A,例3. 电路如图所示，用回路法求各支路电流i1i5 。,解：选回路如图, 对回路1，2列方程：,8il1 2il2 5il3 = 0, 2il1 +12il2 6il3 = 26,解得：,il1 = 1A, il2 = 1A,所以：,i2 = i l2 = 1A,i3 = i l2 il 1=2A,i4 = il3 i
16、l1= 1A,i5 = i l2 il3=3A,讨论i : 电路中含无伴电流源支路,方法1）：只选取一个回路电流流过该无伴电流源支路,il3= 2,i1 =il1= 1A,例4. 电路如图所示，用回路法求各支路电流i1i4。,解：选回路如图, 对回路1，2列方程：,il2 = 4,2il1 +5il2 + 10il3 = 1,il1 = 6,所以：,i2 = il1+ il2 + il3= 6.9A ,i3 = i l2 + il 3= 0.9A ,i4 = il3 = 3.1A,i1 = il1+ il3 =6 3.1= 2.9A ,例5. 电路如图所示，求回路电流 ia, ib, ic,对
17、回路a, b, c 列方程：,10ia 2ib = U, 2ia + 5ib 3ic= 1,3ib + 5ic= U,ia ic= 2,方法2）：将无伴电流源两端的电压作为未知量，再按一般情 形列出回路电流方程，并根据电流源电流与相关回路电流的关系列写出一个补充方程。,例6. 电路如图所示，用回路法求iX 和RL的关系。,解：,选回路如图, 则 il13A,il1 =3,回路1的方程不必列出， 只对回路2、3列写方程：, 4il1 +27 il2 18il3= 3i0, 18il2 +(18 +RL)il3= 0, 12 +24 i0 18iX = 0, 18i0 +(18RL )iX = 0
18、,解得：,讨论ii : 电路中含受控源支路,方法：先将受控源看作独立源，按一般情形列写回路电流方程。 然后，将控制量用回路电流来表示，整理方程。,得：,代入, il2= i0 ， il3= iX,解：选取独立回路如图,4Ia-3Ib= 2,-3Ia+6Ib-Ic=-3U2,-Ib+3Ic= 3U2,将代入，得,各支路电流为：,I1= Ia=1.19A, I2= Ia- Ib=0.27A, I3= Ib=0.92A, I4= Ib- Ic=1.43A, I5= Ic=0.52A.,* 由于含受控源，方程的系数矩阵一般不对称。,例7. 用回路法求图示电路的各支路电流。,写出回路方程为：,如：un3
19、、un2、un1,3. 6 结点电压法 (node voltage method),结点法：以结点电压为变量列写电路方程求解电路的方法。,结点电压：选择一个结点作为参考结点，其余结点与参考结点之间的电压称为结点电压。结点电压的方向均由结点指向参考结点。,un1,un2,un3,1. 基本概念,ii）支路联接在两个结点之间，则支路电压为相关二结点电压之差；,支路电压与结点电压的关系: 支路电压为相关结点电压之差。,i） 支路的一端为参考结 点，则支路电压为结点 电压或相差一个“”号；如： u1 = un1 u3 = un2 u5 = un3,如：u2 = un1 un2 ，u4 = un2 un
20、3 ，u6 = un1 un3,由KVL：ub+ unj uni=0 即：ub = uni unj,(b) 对n-1个独立结点列写KCL方程：,(a) 选定参考节点，标明其余n-1个独立节点,2. 结点电压方程,举例说明：,i1+ i2+ i3+ i4 = iS1- iS2 + iS3,-i3 - i4 + i5= -iS3,(c) 写出支路方程：,(d) 将方程(2)代入方程(1):,令 Gk=1/Rk，k =1 5，并将方程 (4)写为线性方程的一般形式：,3. 直接列写结点电压方程,结点1、2 的自电导,iS11= iS1 iS2+ iS3 ：流入节点1的电流源电流的代数和。 iS22=
21、 iS3 ：流入节点2的电流源电流的代数和。,* 流入节点取正号，流出取负号。,一般情况：,其中,Gii 结点i自电导，等于接在节点i上所有支路的电导之和(包括电压源与电阻串联支路)。总为正。,* 当电路含受控源时，系数矩阵一般不再为对称阵。,iSii 流入节点i的所有电流源电流的代数和(包括 由电压源与电阻串联支路等效的电流源)。,Gij = Gji 结点i与结点j之间互电导，等于接在节点i与节点j之间的所支路的电导之和，并冠以负号。,结点法的一般步骤：,(1) 选定参考结点，标定n-1个独立节点；,(2) 对n-1个独立结点，以结点电压为未知量，列写结点电压方程；,(3) 求解上述方程，得
22、到n-1个结点电压；,(5) 其它分析。,(4) 求各支路电流(用结点电压表示)；,其中 Gk=1/Rk,G11=G1+G2+G3+G4 ；G22=G3+G4+G5 ； G12= G21 = -(G3+G4),iS11= G1uS1 iS2+ iS3 ； iS22= iS3,解得:,U= U1= 7V;,U1= 7V,例2. 电路如图所示，用结点法求各支路电压。,解：,Un3= - 2V,对结点1、2列结点方程：,8Un12Un2 5Un3= 0, 2Un1 +12Un2 6Un3= 26,讨论: ii ) 电路中存在无伴电压源支路,U12Un1- Un2 = - 2V,U13Un1- Un3
23、 = 1V,U23Un2 - Un3 =3V,方法1：若有一个无伴电压源，可选择无伴电压源中的一个端点作为参考结点，则另一个端点的结点电压即为已知，这样就可以少列一个方程。,0,8Un1 -2Un2 5Un3= 0,解：,Un21V,Un3- 2V,解得：,Un1- 1V,说明：若有两个或两个以上的无伴电压源具有一个共同的端点，此时可选此共同端点作为参考结点，这些电源的另一个端点即为已知，可以不再列写这些结点方程。,结点1的方程为：,Un13V,解：,方法2：若有两个以上无伴电压源，它们没有共同的端点，此时只 能选择其中一个电压源的某一个端点作为参考点，并且设其它无伴电压源所在的支路电流为i，
24、同时补充这些电压源电压与其相连接的两个结点的结点电压的关系方程，以便使方程式数与未知数一致，使方程组有唯一解。,U12 = 36/19V,U13 = -2/19V,U23 = 2V,U10 = 3V,U20 = 21/19V,U30 = 59/19V,讨论: iii ) 电路中含受控源，处理方法与回路法相同。,例5. 电路如图, 列写 电路的结点电压方程。,将受控源当作独立源, 列写结点电压方程:,b. 代入u2=un1 , 并整理得：,解：G11=1/2+1/4 SG22=1/4+1/2 SG21=G21= 1/4 S,解得：,Un1 =16V,Un2 = 8V.,所以：U0 = Un1 U
25、n2 = 8V,说明：若电流源支路串联电阻，列结点方程时，电流源支路 中的串联电阻不起作用，可移去。,解：,解得：,支路法、回路法和结点法的比较,(2) 对于非平面电路，选独立回路不容易，而独立结点较容易。,(1) 方程数的比较,练习：,1. 列写下图含VCCS电路的结点电压方程。,用结点法求各支路电流。,2.,试列写下图含理想电压源电路的结点电压方程。,3.,(1) 先把受控源当作独立源列方程；,(2) 用结点电压表示控制量。,uR2= un1,解：,练习答案：,(整理过程略),(1) 列结点电压方程：,UA=21.8V， UB= -21.82V,I1=(120-UA)/20k= 4.91m
26、A,I2= (UA- UB)/10k= 4.36mA,I3=(UB +240)/40k= 5.45mA,I4= UB /40=0.546mA,I5= UB /20=-1.09mA,(2) 解方程，得：,(3) 各支路电流：,解：,3. 试列写下图含理想电压源电路的结点电压方程。,方法1:以电压源电流为变量，增加一个结点电压与电压源间的关系,方法2： 选择合适的参考点,(G1+G2)U1-G1U2 I,-G1U1+(G1 +G3 + G4)U2-G4U3 =0,-G4U2+(G4+G5)U3I,U1-U3 = US,U1= US,-G1U1+(G1+G3+G4)U2- G3U3 =0,-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0,
