1、1 第三篇 函数 专题13 反比例函数 解读考点 知 识 点 名师点晴 1反比例函数概念 会判断一个函数是否为反比例函数 2反比例函数图象 知道反比例函数的图象是双曲线， 3反比例函数的性质 会分象限利用增减性 反比例 函数概 念、图 象和性 质 4一次函数的解析式确定 能用待定系数法确定函数解析式 反比例函 数的应用 5反比例函数中比例系数的几何 意义 会用数形结合思想解决此类问题 能根据图象信息，解决相应的实际问题 能解决与三角形、四边形等几何图形相关的计算和证明 2年中考 【2017年题组】 一、选择题 1 （2017天津）若点A（1，y 1 ） ，B（1，y 2 ） ，C（3，y 3
2、）在反比例函数 的图象上，则y 1 ，y 2 ，y 3 3 y x 的大小关系是（ ） Ay 1 y 2 y 3By 2 y 3 y 1Cy 3 y 2 y 1Dy 2 y 1 y 3 【答案】B 【解析】 考点：反比例函数图象上点的坐标特征 2 （2017四川省自贡市）一次函数 和反比例函数 （ ）的图象如图所示，若 1 1 y k x b 2 2 k y x 1 2 0 kk ，则x的取值范围是（ ） 1 2 y y 2 A2x0或x1 B2x1 Cx2或x1 Dx2或0x1 【答案】D 【解析】 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 3 （2017吉林省长春市）如图，在平面直角坐标系中，
3、平行四边形OABC的顶点A的坐标为（4，0） ，顶 点B在第二象限，BAO=60，BC交y轴于点D，DB：DC=3：1若函数 （k0，x0）的图象经 k y x 过点C，则k的值为（ ） A B C D 3 3 3 2 2 3 3 3 【答案】D 【解析】 试题分析：四边形ABCD是平行四边形，点A的坐标为（4，0） ， BC=4，DB：DC=3：1，B（3，OD） ，C（1，OD） ，BAO=60，COD=30， OD= ，C（1， ） ，k= ，故选D 3 3 3 考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2平行四边形的性质 4 （2017四川省乐山市）如图，平面直角坐标系xOy中，矩形OAB
4、C的边OA、OC分别落在x、y轴上，点 B坐标为（6，4） ，反比例函数 的图象与AB边交于点 D，与BC边交于点E，连结DE，将BDE沿DE x y 6 翻折至BDE处，点B恰好落在正比例函数y=kx图象上，则k的值是（ ）3 A B C D 5 2 21 1 5 1 24 1 【答案】B 【解析】 考点：1反比例函数与一次函数的交点问题；2翻折变换（折叠问题） ；3综合题 5 （2017四川省达州市）已知函数 的图象如图所示，点P是y轴负半轴上一动点，过点P 12 0 3 0 x x y x x 作y轴的垂线交图象于A，B两点，连接OA、OB下列结论： 若点M 1 （x 1 ，y 1 ）
5、，M 2 （x 2 ，y 2 ）在图象上，且x 1 x 2 0，则y 1 y 2 ； 当点P坐标为（0，3）时，AOB是等腰三角形；4 无论点P在什么位置，始终有S AOB =7.5，AP=4BP； 当点P移动到使AOB=90时，点A的坐标为（ ， ） 2 6 6 其中正确的结论个数为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】 正确设P（0，m） ，则B（ ，m） ，A（ ，m） ，PB= ，PA= ，OP=m，AOB=90， 3 m 12 m 3 m 12 m OPB=OPA=90，BOP+AOP=90，AOP+OPA=90，BOP=OAP，OPBAPO， ，OP 2 =PBPA，
6、m 2 = （ ） ，m 4 =36，m0，m= ，A（ ， ） ， OP PB AP OP 3 m 12 m 6 2 6 6 故正确，正确，故选C 考点：1反比例函数综合题；2综合题 6 （2017山东省潍坊市）一次函数y=ax+b与反比例函数 ，其中ab0，a、b为常数，它们在同 x b a y 一坐标系中的图象可以是（ ）5 A B C D 【答案】C 【解析】 C由一次函数图象过一、三象限，得a0，交y轴负半轴，则b0，满足ab0，ab0，反比例 函数 的图象过一、三象限，所以此选项正确； x b a y D由一次函数图象过二、四象限，得a0，交y轴负半轴，则b0，满足ab0，与已知相
7、矛盾 所以此选项不正确； 故选C 考点：1反比例函数的图象；2一次函数的图象 7 （2017山东省青岛市）一次函数y=kx+b（k0）的图象经过A（1，4） ，B（2，2）两点，P为反比 例函数 图象上一动点，O为坐标原点，过点P作y轴的垂线，垂足为C，则PCO的面积为（ x kb y ） A2 B4 C8 D不确定 【答案】A 【解析】6 考点：1反比例函数系数k的几何意义；2一次函数图象上点的坐标特征 8 （2017广东省）如图，在同一平面直角坐标系中，直线 （ 0）与双曲线 （ 0） 1 y k x 1 k 2 k y x 2 k 相交于A，B两点，已知点A的坐标为（1，2） ，则点B的
8、坐标为（ ） A （1，2） B （2，1） C （1，1） D （2，2） 【答案】A 【解析】 试题分析：点 A与B关于原点对称，B点的坐标为（1，2） 故选A 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 9 （2017广西桂林市）一次函数y=x+1（0x10）与反比例函数 （10x0）在同一平面直 1 y x 角坐标系中的图象如图所示，点（x 1 ，y 1 ） ， （x 2 ，y 2 ）是图象上两个不同的点，若y 1 =y 2 ，则x 1 +x 2 的取值范 围是（ ） A x1 B x C x D1x 89 10 89 10 89 9 89 9 89 10 89 107 【答案】B 【解析】
9、 考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2一次函数图象上点的坐标特征 10 （2017江苏省泰州市）如图，P为反比例函数 （k0）在第一象限内图象上的一点，过点P分 k y x 别作x轴，y轴的垂线交一次函数y=x4的图象于点A、B若AOB=135，则k的值是（ ） A2 B4 C6 D8 【答案】D 【解析】 试题分析：作BFx轴，OEAB，CQAP；设P点坐标（n， ） ，直线AB函数式为y=x4，PBy k n 轴，PAx轴，C（0，4） ，G（4，0） ， OC=OG，OGC=OCG=45PBOG，PAOC，PBA=OGC=45，PAB=OCG=45， PA=PB，P点坐标（n， ）
10、，OD=CQ=n，AD=AQ+DQ=n+4； k n8 当x=0时，y=x4=4，OC=DQ=4，GE=OE= OC= ； 2 2 2 2 同理可证：BG= BF= PD= ，BE=BG+EG= ； 2 2 2k n 2 2 2 k n AOB=135，OBE+OAE=45，DAO+OAE=45，DAO=OBE，在BOE和AOD中， DAO=OBE，BEO=ADO，BOEAOD； ，即 ；整理得： OE BE OD AD 2 2 2 2 2 4 k n n n nk+2n 2 =8n+2n 2 ，化简得：k=8故选D 考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2一次函数图象上点的坐标特征；3综合题
11、 11 （2017湖北省十堰市）如图，直线 分别交x轴，y轴于A，B，M是反比例函数 3 6 y x （x0）的图象上位于直线上方的一点，MCx轴交AB于C，MDMC交AB于D，ACBD= ，则 k y x 4 3 k的值为（ ） A3 B4 C5 D6 【答案】A 【解析】9 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 12 （2017湖北省咸宁市）在平面直角坐标系xOy中，将一块含有45角的直角三角板如图放置，直角顶 点C的坐标为（1，0） ，顶点A的坐标为（0，2） ，顶点B恰好落在第一象限的双曲线上，现将直角三角板 沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C的对应点C
12、的坐标为（ ） A （ ，0） B （2，0） C （ ，0） D （3，0） 3 2 5 2 【答案】C 【解析】10 考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2坐标与图形变化平移；3综合题 13 （2017湖北省宜昌市）某学校要种植一块面积为100m 2 的长方形草坪，要求两边长均不小于5m，则草 坪的一边长为y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 试题分析：草坪面积为100m 2 ，x、y存在关系 ，两边长均不小于5m，x5、y5，则 100 y x 11 x20，故选C 考点：反比例函数的应用 14 （2017湖南省岳阳
13、市）已知点A在函数 （x0）的图象上，点B在直线y 2 =kx+1+k（k为常数， 1 1 y x 且k0）上若A，B两点关于原点对称，则称点A，B为函数y 1 ，y 2 图象上的一对“友好点” 请问这两 个函数图象上的“友好点”对数的情况为（ ） A有1对或2对 B只有1对 C只有2对 D有2对或3对 【答案】A 【解析】 考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2一次函数图象上点的坐标特征；3关于原点对称的点的 坐标；4新定义 15 （2017怀化）如图，A，B两点在反比例函数 的图象上，C，D两点在反比例函数 的图象上， 1 k y x = 2 k y x = ACy轴于点E，BDy轴于点
14、F，AC=2，BD=1，EF=3，则 的值是（ ） 1 2 k k - A6 B4 C3 D2 【答案】D 【解析】12 考点：反比例函数图象上点的坐标特征 16 （2017辽宁省营口市）如图，在菱形ABOC中，A=60，它的一个顶点C在反比例函数 的图象 k y x 上，若将菱形向下平移2个单位，点A恰好落在函数图象上，则反比例函数解析式为（ ） A B C D 3 3 y x 3 y x 3 y x 3 y x 【答案】A 【解析】 试题分析：过点 C作CDx轴于D，设菱形的边长为a，在RtCDO中，OD=acos60 = a，CD=asin60= a，则C（ a， a） ，点A向下平移2
15、个单位的点为（ aa， 1 2 3 2 1 2 3 2 1 2 3 213 a2） ，即（ a， a2） ，则： ，解得： 故反比例函数解析式为 3 2 3 2 3 1 2 2 3 2 3 2 2 k a a k a a 2 3 3 3 a k 故选A 3 3 y x 考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2菱形的性质；3坐标与图形变化平移 17 （2017辽宁省锦州市）如图，矩形OABC中，A（1，0） ，C（0，2） ，双曲线 （0k2）的图象 k y x 分别交AB，CB于点E，F，连接OE，OF，EF，S OEF =2S BEF ，则k值为（ ） A B1 C D 2 3 4 3 2
16、【答案】A 【解析】14 考点：反比例函数系数k的几何意义 18 （2017四川省遂宁市）若点A（-6， ） ，B（-2， ） ，C（3， ）在反比例函数 （a为常 1 y 2 y 3 y 2 1 a y x 数）的图像上，则 ， ， 大小关系为（ ） 1 y 2 y 3 y A B C D 1 2 3 y y y 2 3 1 y y y 3 2 1 y y y 3 1 2 y y y 【答案】D 【解析】 考点：反比例函数图象上点的坐标特征 二、填空题 19 （2017上海市）如果反比例函数 （k是常数，k0）的图象经过点（2，3） ，那么在这个函数图 k y x 象所在的每个象限内，y的值
17、随x的值增大而 （填“增大”或“减小” ） 【答案】减小 【解析】 试题分析：反比例函数 （k是常数，k0）的图象经过点（2，3） ，k=23=60，这个函数 k y x 图象所在的每个象限内，y的值随x的值增大而减小故答案为：减小 考点：反比例函数的性质 20 （2017云南省）已知点A（a，b）在双曲线 上，若a、b都是正整数，则图象经过B（a，0） 、 5 y x C（0，b）两点的一次函数的解析式（也称关系式）为 【答案】y=5x+5或y= x+1 1 515 【解析】 当a=5，b=1时，由题意，得： ，解得： ，y= x+1 5 0 1 m n n 1 5 1 m n 1 5 则所
18、求解析式为 y=5x+5或y= x+1 1 5 故答案为：y=5x+5或y= x+1 1 5 考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2分类讨论 21 （2017山东省日照市）如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线 （x0）同时经过点 k y x B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为 ，AOB=OBA=45，则k的值为 2 【答案】 1 5 【解析】 试题分析：过A作AMy轴于M，过B作BD选择x轴于D，直线BD与AM交于点N，如图所示： 则OD=MN，DN=OM，AMO=BNA=90，AOM+OAM=90，AOB=OBA=45， OA=BA，OAB=90，OAM+BAN=90，AOM=B
19、AN，在AOM和BAN中， AOM=BAN，AMO=BNA，OA=BA，AOMBAN（AAS） ，AM=BN= ，OM=AN= ，OD= + 2 2 k 2 k ，OD=BD= ，B（ + ， ） ，双曲线 （x0）同时经过点A和 2 2 k 2 2 k 2 2 k 2 k y x 16 B，（ + ）（ ）=k，整理得：k 2 2k4=0，解得：k= （负值舍去） ，k= 2 k 2 2 k 2 1 5 故答案为： 1 5 1 5 考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2综合题 22 （2017江苏省南通市）如图，四边形OABC是平行四边形，点C在x轴上，反比例函数 （x0） k y x 的
20、图象经过点A（5，12） ，且与边BC交于点D若AB=BD，则点D的坐标为 【答案】 （8， ） 15 2 【解析】 过A作AFOC于F，则DEBAFO， ，而AF=12，DE=12 ，OA= DB AO DE AF 60 m 2 2 5 12 =13，DB=13 ，AB=DB，m =13 ，解得m 1 =5，m 2 =8，又D在A的右侧，即 65 m 25 m 65 m m5，m=8，D的坐标为（8， ） 故答案为：（8， ） 15 2 15 217 考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2平行四边形的性质；3方程思想；4综合题 23 （2017江苏省宿迁市）如图，矩形ABOC的顶点O在坐标
21、原点，顶点B，C分别在x，y轴的正半轴上， 顶点A在反比例函数 （k为常数，k0，x0）的图象上，将矩形ABOC绕点A按逆时针方向旋转 k y x 90得到矩形ABOC，若点O的对应点O恰好落在此反比例函数图象上，则 的值是 C 【答案】 5 1 2 【解析】 考点：1坐标与图形变化旋转；2反比例函数图象上点的坐标特征；3矩形的性质 24 （2017浙江省宁波市）已知ABC的三个顶点为A（1，1） ，B（1，3） ，C（3，3） ，将ABC 向右平移m（m0）个单位后，ABC某一边的中点恰好落在反比例函数 的图象上，则m的值为 3 y x = 【答案】4或 1 2 【解析】 试题分析：ABC的
22、三个顶点为A（1，1） ，B（1，3） ，C（3，3） ，AB边的中点（1，1） ， BC边的中点（2，0） ，AC边的中点（2，2） ，将ABC向右平移m（m0）个单位后，AB 边的中18 点平移后的坐标为（1+m，1） ，AC边的中点平移后的坐标为（2+m，2） ABC某一边的中点恰好落在反比例函数 的图象上，1+m=3或2（2+m）=3，m=4或m= 3 y x = 故答案为：4或 1 2 1 2 考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2坐标与图形变化平移；3分类讨论 25 （2017浙江省温州市）如图，矩形OABC的边OA，OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象限，点D在 边BC上，且A
23、OD=30，四边形OABD与四边形OABD关于直线OD对称（点A和A，B和B分别对 应） 若AB=1，反比例函数 （k0）的图象恰好经过点A，B，则k的值为 k y x 【答案】 4 3 3 【解析】19 考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2矩形的性质；3轴对称的性质；4综合题 26 （2017浙江省湖州市）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=kx（k0）分别交反比例函数 和 在第一象限的图象于点A，B，过点B作 BDx轴于点D，交 的图象于点C，连结 1 y x 9 y x 1 y x AC若ABC是等腰三角形，则k的值是 【答案】k= 或 3 7 7 15 5 【解析】 AB=
24、BC，则 = ，解得：k= ； 2 2 3 1 ( ) (3 ) k k k k 3 k 3 k 3 7 7 AC=BC，则 = ，解得：k= ； 2 2 3 1 ( ) ( ) 3 k k k k 3 k 3 k 15 5 故答案为：k= 或 3 7 7 15 5 考点：1反比例函数与一次函数的交点问题；2等腰三角形的性质；3分类讨论；4综合题 27 （2017金华）如图，已知点A（2，3）和点B（0，2） ，点A在反比例函数 的图象上，做射线 k y x 20 AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为 【答案】 （1，6） 【解析】 考点：1坐标
25、与图形变化旋转；2反比例函数图象上点的坐标特征；3反比例函数与一次函数的交 点问题；4综合题 28 （2017湖北省孝感市）如图，在平面直角坐标系中，OA=AB，OAB=90，反比例函数 （x0） k y x 21 的图象经过A，B两点若点A的坐标为（n，1） ，则k的值为 【答案】 5 1 2 【解析】 考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2全等三角形的判定与性质 29 （2017湖北省荆州市）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y 轴的正半轴上，点B在第二象限将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形 ODEF，BC与OD相交于点M若经过
26、点M的反比例函数 （x0）的图象交AB于点N，S 矩形 k y x OABC =32，tanDOE= ，则BN的长为 1 222 【答案】3 【解析】 考点：1坐标与图形变化旋转；2反比例函数系数k的几何意义；3解直角三角形；4综合题 三、解答题 30 （2017内蒙古呼和浩特市）已知反比例函数 （k为常数） 2 1 k y x （1）若点P 1 （ ，y 1 ）和点P 2 （ ，y 2 ）是该反比例函数图象上的两点，试利用反比例函数的性 1 3 2 1 2 质比较y 1 和y 2 的大小； （2）设点P（m，n） （m0）是其图象上的一点，过点P作PMx轴于点M若tanPOM=2，PO= （
27、O 5 为坐标原点） ，求k的值，并直接写出不等式 的解集 2 1 0 k kx x 【答案】 （1）y 1 y 2 ；（2）当k=1时，解集为：x 或0x ；当k=1时，解集为： 2 2 x0 【解析】23 试题解析：（1）k 2 10，反比例函数 在每一个象限內y随x的增大而增大， 2 1 k y x 0，y 1 y 2 ； 1 2 1 3 2 （2）点P（m，n）在反比例函数 的图象上， 2 1 k y x m0，n0，OM=m，PM=n，tanPOM=2， PM n OM m =2，n=2m，PO= ，m 2 +（n） 2 =5，m=1，n=2，P（1，2） ，k 2 1=2，解得 5
28、 k=1，当k=1时，则不等式 的解集为：x 或0x ； 2 1 0 k kx x 2 2 当k=1时，则不等式 的解集为：x0 2 1 0 k kx x 考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2解直角三角形；3分类讨论 31 （2017内蒙古赤峰市）如图，一次函数 的图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段 3 1 3 y x AB为边在第一象限作等边ABC （1）若点C在反比例函数 的图象上，求该反比例函数的解析式； k y x （2）点P（ ，m）在第一象限，过点P作x轴的垂线，垂足为D，当PAD与OAB相似时，P点是否 2 3 在（1）中反比例函数图象上？如果在，求出P点坐标；如果不在
29、，请加以说明24 【答案】 （1） ；（2）P（ ，1）在反比例函数图象上 2 3 y x 2 3 【解析】 试题解析：（1）在 中，令y=0可解得x= ，令x=0可得y=1，A（ ，0） ，B（0，1） ， 3 1 3 y x 3 3 tanBAO= ，BAO=30，ABC是等边三角形，BAC=60，CAO=90， 1 3 3 3 OB OA 在RtBOA中，由勾股定理可得AB=2，AC=2，C（ ，2） ，点C在反比例函数 的图象上， 3 k y x k=2 = ，反比例函数解析式为 ； 3 2 3 2 3 y x （2）P（ ，m）在第一象限，AD=ODOA= = ，PD=m，当ADPA
30、OB时，则有 2 3 2 3 3 3 ，即 ，解得m=1，此时P点坐标为（ ，1） ； PD AD OB OA 3 1 3 m 2 3 当PDAAOB 时，则有 ，即 ，解得m=3，此时P点坐标为（ ，3） ； PD AD OA OB 3 1 3 m 2 3 把P（ ，3）代入 可得3 ，P（ ，3）不在反比例函数图象上，把 2 3 2 3 y x 2 3 2 3 2 325 P（ ，1）代入反比例函数解析式得1= ，P（ ，1）在反比例函数图象上； 2 3 2 3 2 3 2 3 综上可知P点坐标为（ ，1） 2 3 考点：1反比例函数综合题；2分类讨论；3综合题 32 （2017四川省广元
31、市）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数 的图象交于C，D两点，与 k y x x，y轴交于B，A两点，且tanABO= ，OB=4，OE=2 1 2 （1）求一次函数的解析式和反比例函数的解析式； （2）求OCD的面积； （3）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值时，自变量x的取值范围 【答案】 （1） ， ；（2）8；（3）x2或0x6 1 2 2 y x 6 y x 【解析】 试题解析：（1）OB=4，OE=2，BE=2+4=6 CEx轴于点E，tanABO= = ，OA=2，CE=3，点A的坐标为（0，2） 、点B的坐标为 OA CE OB BE 1 2 C（4，0）
32、 、点C的坐标为（2，3） 一次函数y=ax+b的图象与x，y轴交于B，A两点， ，解得： 4 0 2 a b b 1 2 2 a b 故直线AB的解析式为 1 2 2 y x 反比例函数 的图象过C，3= ，k=6，该反比例函数的解析式为 ； k y x 2 k 6 y x 26 （2）联立反比例函数的解析式和直线AB的解析式可得： ，可得交点D的坐标为（6，1） ， 1 2 2 6 y x y x 则BOD的面积=412=2，BOC的面积=432=6，故OCD的面积为2+6=8； （3）由图象得，一次函数的值大于反比例函数的值时x的取值范围：x2或0x6 考点：反比例函数与一次函数的交点问
33、题 33 （2017四川省广安市）如图，一次函数y=kx+b的图象与反比例函数 的图象在第一象限交于点 m y x A（4，2） ，与y轴的负半轴交于点B，且OB=6 （1）求函数 和y=kx+b的解析式 m y x （2）已知直线AB与x轴相交于点C，在第一象限内，求反比例函数 的图象上一点P，使得 m y x 9 POC S 【答案】 （1） ，y=2x6；（2）P（ ，6） 8 y x 4 3 【解析】27 试题解析：（1）把点A（4，2）代入反比例函数 ，可得m=8，反比例函数解析式为 ， m y x 8 y x OB=6，B（0，6） ，把点A（4，2） ，B（0，6）代入一次函数y
34、=kx+b，可得： ，解得： 2 4 6 k b b ，一次函数解析式为y=2x6； 2 6 k b （2）在y=2x6中，令y=0，则x=3，即C（3，0） ，CO=3，设P（a， ） ，则 8 a 由S POC =9，可得 3 =9，解得a= ，P（ ，6） 1 2 8 a 4 3 4 3 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 34 （2017四川省自贡市）探究函数 的图象与性质 x x y 4 （1）函数 的自变量x的取值范围是 ； x x y 4 （2）下列四个函数图象中函数 的图象大致是 ； x x y 4 （3）对于函数 ，求当x0时，y的取值范围 x x y 4 请将下列的求解过
35、程补充完整 解：x0 = = + x x y 4 2 2 2 ( ) ( ) x x 2 2 ( ) x x 28 0，y 2 2 ( ) x x 拓展运用 （4）若函数 ，则y的取值范围 2 5 9 x x y x 【答案】 （1）x0；（2）C；（3）4，4；（4）y1 【解析】 （4） = = 2 5 9 x x y x 9 5 x x 2 2 3 ( ) ( ) 5 x x 2 3 ( ) 1 x x 0，y1 2 3 ( ) x x 故答案为：x0，C，4，4，y1 考点：1反比例函数的性质；2一次函数的性质；3二次函数的性质；4阅读型；5探究型；6综 合题 35 （2017德州）有
36、这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数 与 （k0）的图象性质 1 y x k k y x 小明根据学习函数的经验，对函数 与 ，当k0时的图象性质进行了探究 1 y x k k y x 下面是小明的探究过程： （1）如图所示，设函数 与 图象的交点为A，B，已知A点的坐标为（k，1） ，则 B点的 1 y x k k y x 坐标为 ； （2）若点P为第一象限内双曲线上不同于点B的任意一点29 设直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N求证：PM=PN 证明过程如下，设P（m， ） ，直线PA的解析式为y=ax+b（a0） k m 则 ，解得： 1 ka b k
37、 ma b m _ _ a b 直线PA的解析式为 请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明 当P点坐标为（1，k） （k1）时，判断PAB的形状，并用k表示出PAB的面积 【答案】 （1） （k，1） ；（2） ； ；k1时，S= ，当0k1时，S= 1 1 a m k b m 1 1 k y x m m 2 1 k 2 1 k 【解析】 试题解析：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点A、B关于原点O对称，A点的坐标为 （k，1） ，B点的坐标为（k，1） 故答案为：（k，1） 30 （2）证明过程如下，设P（m， ） ，直线PA的解析式为 y=ax+b（a0） k m 则 ，解
38、得： ，直线PA的解析式为 1 ka b k ma b m 1 1 a m k b m 1 1 k y x m m 当y=0时，x=mk，M点的坐标为（mk，0） 过点P作PHx轴于H，如图1所示，P点坐标为（m， ） ，H点的坐标为（m，0） ， k m MH=x H x M =m（mk）=k 同理可得：HN=k，MH=HN，PM=PN 故答案为： ； 1 1 a m k b m 1 1 k y x m m 由可知，在PMN中，PM=PN，PMN为等腰三角形，且MH=HN=k 当P点坐标为（1，k）时，PH=k，MH=HN=PH，PMH=MPH=45，PNH=NPH=45，MPN=90， 即
39、APB=90，PAB为直角三角形 当k1时，如图1，S PAB =S PMN S OBN +S OAM = MNPH ONy B + OM|y A |= 2kk （k+1）1+ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 （k1）1= ； 1 2 2 1 k 当0k1时，如图2，S PAB =S OBN S PMN +S OAM = ONy B k 2 + OM|y A |= （k+1）1k 2 + （1k） 1 2 1 2 1 2 1 2 1= 2 1 k 考点：1反比例函数综合题；2探究型；3分类讨论；4压轴题 36 （2017济宁）定义：点P是ABC内部或边上的点（顶点除外） ，在PAB，P
40、BC，PCA中，若至少31 有一个三角形与ABC相似，则称点P是ABC的自相似点 例如：如图1，点P在ABC的内部，PBC=A，PCB=ABC，则BCPABC，故点P是ABC 的自相 似点 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点M是曲线 （x0）上的任意一点，点N是x轴正半轴上的任意一点 3 3 y x （1）如图2，点P是OM上一点，ONP=M，试说明点P是MON的自相似点；当点M的坐标是 （ ，3） ，点N的坐标是（ ，0）时，求点P的坐标； 3 3 （2）如图3，当点M的坐标是（3， ） ，点N的坐标是（2，0）时，求MON的自相似点的坐标； 3 （3）是
41、否存在点M和点N，使MON无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明 理由 【答案】 （1）P（ ， ） ；（2） （1， ）或（2， ） ；（3）存在， M（ ，3） ， 3 4 3 4 3 3 2 3 3 3 N（ ，0） 2 3 【解析】 （2）作MEx轴于H，由勾股定理求出OM= ，直线OM的解析式为y= x，ON=2，MOH=30，分 2 3 3 332 两种情况：作 PQx轴于Q，由相似点的性质得出PO=PN，OQ= ON=1，求出P的纵坐标即可； 1 2 求出MN= =2，由相似三角形的性质得出 ，求出PN= ，在求出P的横坐标即 2 2 ( 3) 1 PN M
42、N ON MO 2 3 3 可； （3）证出OM=2 =ON，MON=60，得出MON是等边三角形，由点P在ABC的内部，得出 3 PBCA，PCBABC，即可得出结论 试题解析：（1）ONP=M，NOP=MON，NOPMON，点P是MON的自相似点； 过P作PDx轴于D，则tanPOD= = ，AON=60，当点M的坐标是（ ，3） ，点N的坐 MN ON 3 3 标是（ ，0） ，MNO=90，NOPMON，NPO=MNO=90，在RtOPN中，OP=ONcos60= 3 ，OD=OPcos60= = ，PD=OPsin60= = ，P（ ， ） ； 3 2 3 2 1 2 3 4 3 2 3 2 3 4 3 4 3 4 （2）作MEx轴于H，如图3所示： 点M的坐标是（3， ） ，点N的坐标是（2，0） ，OM= = ，直线OM的解析式为y= 3 2 2 3 ( 3) 2 3 x，ON=2，MOH=30，分两种情况： 3 3 如图3所示：P是MON的相似点，PONNOM，作PQx轴于Q，P
