1、物理教学探讨 高中学生版 深圳中学 姚学林 肖相如 熊兆熙虚功原理在竞赛中的妙用虚功原理是指物体在力系作用下处于平衡状态 ，若物体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续虚位移 ， 则外力在位移上所做的虚功 W 恒等于物体内力合力在虚位移上所做的内力虚功 Wi。 可简单写成 ：W（外力功 ）=Wi（内力功 ）。虚功原理的应用条件是 ： 力系应当满足平衡条件 力系是平衡的 。在高中物理竞赛中有一部分静力学的问题 ，如果应用一般的常规方法往往需要复杂的列方程和烦琐的数学运算 ，但如果对分析力学中的虚功原理有所了解并应用 ，会使得我们的解题过程大大简化 。 下面就我们常见的几个问题举例 ：例 1 如图
2、 1 所示 ，5 根长度均为 l 的质量均为 m 的均质杆 ，将它们端点铰接成为正六边形机构 ，固定在天花板上 ，使六边形在竖直平面内 ，并用不可伸长的轻绳一端连在下杆中点挂在天花板上 ，轻绳竖直 ，求绳上的张力 。解析 ：若用常规做法 ，需要列几个受力平衡和力矩平衡方程 。 用虚功原理可以化简计算 。设此时绳长为 l， 则五根杆构成的系统的重力势能为 E=2mgl42mg3l4mgl=3mgl假设绳长有 dl 的变化 ，则绳子张力做功为 W=Tdl由虚功原理有 W=dE 即 Tdl=d（3mgl）=3mgdl得 T=3mg可见虚功原理可大大减少运算量 。例 2 匀质杆 AB 始终在平面内 ，
3、A 端靠在光滑墙上 ，B 端在一光滑曲面上 ，如图 2 示 。 若无论 B 在何处杆均受力平衡 ，求曲面方程 。解法一 ：常规受力分析如图 3 所示 ，因曲面光滑 ，约束力合力沿法向 。图 1yOAB（x，y）x图 2竞 赛 物 理yA NCPN2N1B（x，y）O图 3x56 物理教学探讨 高中学生版于是有 ：N1N2=tan=dydx% %由几何关系 ：sin=x/l% 由竖直方向受力平衡得 ：N2=P% 对 A 点由力矩平衡得 ：N1cos+（Plsin）/2=N2lsin% 联立 解出 N1，N2后代入 式得 ：dydx=xl2 1xl 2%姨dyl =xl2 1xl 2%姨dxl 令
4、 sinu = x/l，则上式化为 ：dyl =12sinudu积分得 ：yl=12cosu+C %y=121xl 2%姨+C因 x=0 时 y=0，故有 ：C=l2所以曲线方程为 ：y=121- 1xl 2%姨姨 姨此方法较烦琐 ，且用到高等数学的知识 。解法二 ：虚功原理约束为理想约束 ，主动力为重力 ，由虚功原理 ，虚位移中主动力做功为零 ，即PyC=0%yC=常量由几何关系 ：yC=y+12l2-x2%姨故 y+12l2-x2%姨 =常量因 x=0 时 y=0%，故常量为l2。故 y=121- 1xl 2%姨姨 姨显而易见 ，采用虚功原理大大简化了我们的解题过程 。例 3 如 图 4
5、所示 ，四根相同的长度为 l 的光滑轻杆由铰链连接成菱形 ，一轻绳系在两对角间 ，下部挂一重量为 P 的重物 ，系统放置于两根等高相距为 2a（2a2l）的杆上 ，求绳中的张力 ？ 角已知 。解法一 ：常规受力分析的方法铰链不提供力矩 ， 故 AP，CP 对 P 点只有沿杆作用力 。 即 F1，Q 处铰链受力左右对称 ，又为平衡 。 故作用力只有水平分量 ，即 F4。 其余各力如图 5 所示 。对 AQ 杆 ：沿杆方向受力平衡 ：F4sin=F2对 K 点力矩 平衡 ：F4cosasin=F3lasin 对铰链 A：竖直方向受力平衡 ：F2cos+F3sin=F1cos水平方向受力平衡 ：T+
6、F1sin+F2sin=F3cos对铰链 P：竖直方向受力平衡 ：2F1cos=P联立以上 5 式解得 ：T=Pa2lsin2costan 解法二 ：虚功原理建 立如图 4 所示的坐标系 ，主动力为两个 T，及 P，约束为理想约束 ，则有 ：xA=lsin% xA=lcosyP=2lcosacot%yP=2lsin+asin2QKx2aJC AT TlPy图 4F4QasinNKF3 F2AF2F3AF1TF1 F1P图 5竞 赛 物 理57 物理教学探讨 高中学生版由虚功原理得 ：2TxA+PyP=0将 xA，yP代入可得 ：T=Pa2lsin2costan 例 4 四根长为 l 重为 mg
7、， 两根长为 2l 重为 2mg 的匀质杆由铰链连接 ，如图 6 所示悬挂 ，图中连接在节点之间的轻绳长 2%姨l，求其绳中的张力 。解法一 ：利用常规受力分析的方法再列出力的平衡方程和力矩的平衡方程求解 ，这里就不再赘述 。解法二 ：利用虚功原理进行求解将张力视为主动力 ，设想一虚位移使 B 下降 y%，则C 下降 2y，BC 增长 y%，故张力作功为 ： -Ty系统重心为 B，重力做功为 8mgy由虚功原理 ，应有 ：- Ty+8mgy=0故 T=mg虚功原理不一定对连续体才适用 ，对于离散的系统同样适用 ，其核心不变 ，主要工作是表示出系统质心的位置 ，从而表示出系统的能量 。 具体见下
8、题 。例 5 如图 7 所示 ，一竖立在竖直面内的半圆形空心管 ，管内刚好装有 2n 个光滑小珠子 ，已知每个珠子重力为 W，求第 i 个珠子与第 i+1 个珠子的作用力 Ni。解法一 ：常规做法如图 8 所示 ，对第 k 个球进行受力分析 。 图中的角量分别是 ：=4n% =k2n4n=（2k1）4n球在 x 方向受力为 0，有 ：Nk1cos+WcosNkcos=0整理得 ：NkNk1=cos（2k1）4ncos4n姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨W那么求和可以得到 ：Ni=ik=1cos（2k1）4n Wcos4n=ik=12cosk2n4n sin4n W2cos4ns
9、in4n=ik=1sink2nsin（k1）2n Wsin2n=sini2nsin2n姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨W用常规方法作受力平衡的方程好列 ，但是最后数学运算技巧性很高 。解法二 ：利用虚功原理解答如图 9， 设 任意珠子的球心到管的圆心 OO长度为R，前面 i 个球为系统质心为 C，设 CO 长度为 L。由虚功原理有 ：NiRcosd=iWd（Lsin）=iWLcosd% 其中 =4n即 ：Ni=iWLcosRcos现在目的是求出质心位置参量 L 和 K2n2n-1图 7NkWxN（k-1）图 8OaRONiC图 9竞 赛 物 理AllBCy2y图 658 物理教
10、学探讨 高中学生版由对称性已知角度 =122i=i求 L 用旋转矢量法 ：如图 10 所示 。i 个大小为 mR、 方向一次相差角度 2 的矢量和的大小应该为 imL。有 ：imL=2mR2sinsin（i）% 即 L=Rsin（i）isin代入 N 的表达式得 ：Ni=iWLcosRcos=iWRsin（i）isincos（i）Rcos=Wsin（i）cos（i）sincos=sini2nsin2nW可见此题利用虚功原理不需太复杂的数学运算 ，但是在计算质心这个物理工作上要求也挺高的 ，就此题而言 ，利用旋转矢量法计算质心位置是此题的关键 。 对物理方面的技巧的灵活应用 ，是竞赛的基本素质
11、，也很好地体现了竞赛对提高思维的有效帮助 。除了在力学中 ， 虚功原理在电磁学中同样有应用 ，对于有些情况 ，电磁力用常规方法无从下手 ，利用虚功原理便能很好地解决 。例 6 如图 11 所示 ，一个外半径为 R1，内半径为 R2的圆柱形电容器 ，竖直地插进相对介电常数为 r的密度为 的电解液中 ，若将电容器接上电压为 U 的电源 ，求电解液中液面上升的高度 。解析 ：为了求出液面上升的高度 ，需求出电容器内液体受的电场力 ，在此用虚功原理求解 。先求出电容器电容 ：设单位长 度电容带点为 ，则离轴线 r 处电场强度为 E=20r内外筒电势差为 U=%乙Edr=R1R2乙20rdr=20lnR
12、1R2单位长度电容为 C0=U=20ln（R1/R2）若有电解质有 C0=20rln（R1/R2）设电容器长为 L，其中有电解液长度为 x，则电容器电容为 ：C=xC0（Lx）C0=20（r1）x+Lln（R1/R2）电容储存电场能为 E=12CU2， 设电解液受力为 F（方向向上 ），假设电解液在 F 作用下向上移动 dx，由虚功原理有 Fdx=dE=d12CU乙 乙2=U22dC=U2220（r1）dxln（R1/R2）得 F=U2220（r1）ln（R1/R2）液面上的电解液受力平衡有 ：F = h（R21-R22）g得 h=U2（R21-R22）g0（r-1）ln（R1/R2）从以上几
13、例中 ， 我们可以看出虚功原理在一些常见问题中的妙用 。 它其实让我们从复杂的方程和运算中解脱出来 ，把静力学的问题与能量的观点结合起来 。 因为在很多的问题中受力尽管很复杂 ，但能量的关系却很简单 。 需注意 ，也不能乱用虚功原理 。 一定要注意它的适用条件 。图 11竞 赛 物 理mR（共 i 个 ）imL2a图 10浙江大学物理系成立于 1928年 ， 学科方向涵盖理论物理 、粒子物理与核物理 、凝聚态物理 、光学 、电子与无线电物理 、原子分子物理 、等离子体物理 。 其中理论物理 、凝聚态物理是国家重点学科 ，光学是浙江省重点学科 。 浙大物理系具有物理学一级学科的博士学位授予权 ， 并有物理学一级学科博士后流动站 。 物理系下设五个研究实体 ：浙江近代物理中心 、凝聚态物理研究所 、光学研究所 、电子与无线电物理研究所 、浙江大学聚变理论与模拟中心 。重点大学物理学院 （系 ）介绍59
