1、因动点产生的相似三角形问题 例 1 2015 年上海市宝山区嘉定区中考模拟第 24 题如图 1，在平面直角坐标系中，双曲线（k0）与直线 yx2 都经过点 A(2, m) （1）求 k 与 m 的值；（2）此双曲线又经过点 B(n, 2)，过点 B 的直线 BC 与直线 yx2 平行交 y 轴于点C，联结 AB、AC，求ABC 的面积；（3）在（2）的条件下，设直线 yx2 与 y 轴交于点 D，在射线 CB 上有一点 E，如果以点 A、C、E 所组成的三角形与ACD 相似，且相似比不为 1，求点 E 的坐标图 1 动感体验请打开几何画板文件名“15 宝山嘉定 24”，拖动点 E 在射线 CB
2、 上运动，可以体验到，ACE 与ACD 相似，存在两种情况思路点拨1直线 AD/BC，与坐标轴的夹角为 452求ABC 的面积，一般用割补法3讨论ACE 与ACD 相似，先寻找一组等角，再根据对应边成比例分两种情况列方程满分解答（1）将点 A(2, m)代入 yx 2，得 m4所以点 A 的坐标为 (2, 4)将点 A(2, 4)代入 ，得 k8（2）将点 B(n, 2)，代入 ，得 n4x所以点 B 的坐标为(4, 2) 设直线 BC 为 yxb，代入点 B(4, 2)，得 b2所以点 C 的坐标为(0,2)由 A(2, 4) 、B(4, 2) 、C (0, 2)，可知 A、B 两点间的水平
3、距离和竖直距离都是 2，B、C 两点间的水平距离和竖直距离都是 4所以 AB ，BC ，ABC 90 图 242所以 SABC 8 12BAC24（3）由 A(2, 4) 、D(0, 2) 、C (0,2)，得 AD ，AC 210由于DACACD45，ACEACD45，所以DACACE所以ACE 与ACD 相似，分两种情况：如图 3，当 时，CE AD E2此时ACDCAE，相似比为 1如图 4，当 时， 解得 CE 此时 C、E 两点间的CAD02102水平距离和竖直距离都是 10，所以 E(10, 8)图 3 图 4考点伸展第（2）题我们在计算ABC 的面积时，恰好ABC 是直角三角形一
4、般情况下，在坐标平面内计算图形的面积，用割补法如图 5，作ABC 的外接矩形 HCNM，MN/y 轴由 S 矩形 HCNM24，S AHC 6，S AMB 2，S BCN 8，得 SABC 8图 5例 2 2014 年武汉市中考第 24 题如图 1，Rt ABC 中，ACB90，AC6 cm，BC8 cm，动点 P 从点 B 出发，在BA 边上以每秒 5 cm 的速度向点 A 匀速运动，同时动点 Q 从点 C 出发，在 CB 边上以每秒4 cm 的速度向点 B 匀速运动，运动时间为 t 秒（0t2 ） ，连接 PQ（1）若BPQ 与ABC 相似，求 t 的值；（2）如图 2，连接 AQ、CP，
5、若 AQCP，求 t 的值；（3）试证明：PQ 的中点在 ABC 的一条中位线上图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“14 武汉 24”，拖动点 P 运动，可以体验到，若BPQ 可以两次成为直角三角形，与ABC 相似当 AQCP 时，ACQCDPPQ 的中点 H 在 ABC 的中位线 EF 上思路点拨1BPQ 与ABC 有公共角，按照夹角相等，对应边成比例，分两种情况列方程2作 PDBC 于 D，动点 P、Q 的速度，暗含了 BDCQ3PQ 的中点 H 在哪条中位线上？画两个不同时刻 P、Q、H 的位置，一目了然满分解答（1）Rt ABC 中，AC6，BC8，所以 AB10BPQ 与AB
6、C 相似，存在两种情况： 如果 ，那么 解得 t1BPAQC504t 如果 ，那么 解得 8t324t图 3 图 4（2）作 PDBC，垂足为 D在 Rt BPD 中，BP 5t，cosB ，所以 BDBPcos B 4t，PD3t45当 AQCP 时，ACQCDP所以 ，即 解得 ACDQP6843tt78t图 5 图 6（3）如图 4，过 PQ 的中点 H 作 BC 的垂线，垂足为 F，交 AB 于 E由于 H 是 PQ 的中点，HF/PD，所以 F 是 QD 的中点又因为 BDCQ4t，所以 BFCF因此 F 是 BC 的中点，E 是 AB 的中点所以 PQ 的中点 H 在ABC 的中位
7、线 EF 上例 3 2012 年苏州市中考第 29 题如图 1，已知抛物线 （b 是实数且 b2）与 x 轴的正半轴分别21()44yx交于点 A、B （点 A 位于点 B 是左侧） ，与 y 轴的正半轴交于点 C（1）点 B 的坐标为_，点 C 的坐标为_（用含 b 的代数式表示） ；（2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且PBC 是以点 P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由；（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得QCO、QOA 和QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情
8、况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由图 1动感体验请打开几何画板文件名“12 苏州 29”，拖动点 B 在 x 轴的正半轴上运动，可以体验到，点 P 到两坐标轴的距离相等，存在四边形 PCOB 的面积等于 2b 的时刻双击按钮“第（3）题” ，拖动点 B，可以体验到，存在OQAB 的时刻，也存在 OQAB 的时刻思路点拨1第（2）题中，等腰直角三角形 PBC 暗示了点 P 到两坐标轴的距离相等2联结 OP，把四边形 PCOB 重新分割为两个等高的三角形，底边可以用含 b 的式子表示3第（3）题要探究三个三角形两两相似，第一直觉这三个三角形是直角三角形，点Q 最大的可能在经
9、过点 A 与 x 轴垂直的直线上满分解答（1）B 的坐标为(b, 0) ，点 C 的坐标为(0, )4b（2）如图 2，过点 P 作 PD x 轴，PEy 轴，垂足分别为 D、E，那么PDBPEC因此 PDPE 设点 P 的坐标为(x, x) 如图 3，联结 OP所以 S 四边形 PCOBS PCO S PBO 2b15248bxx解得 所以点 P 的坐标为( )165x6,5图 2 图 3（3）由 ，得 A(1, 0)，OA111()()44byxxb如图 4，以 OA、OC 为邻边构造矩形 OAQC，那么OQCQOA当 ，即 时，BQAQOABAQO2BA所以 解得 所以符合题意的点 Q
10、为( )2()1b843b1,23如图 5，以 OC 为直径的圆与直线 x1 交于点 Q，那么 OQC 90。因此OCQQOA当 时，BQAQOA此时OQB90BAQO所以 C、Q、B 三点共线因此 ，即 解得 此时 Q(1,4)BOAC14b4A图 4 图 5考点伸展第（3）题的思路是，A、C、 O 三点是确定的，B 是 x 轴正半轴上待定的点，而QOA 与QOC 是互余的，那么我们自然想到三个三角形都是直角三角形的情况这样，先根据QOA 与QOC 相似把点 Q 的位置确定下来，再根据两直角边对应成比例确定点 B 的位置如图中，圆与直线 x1 的另一个交点会不会是符合题意的点 Q 呢？如果符
11、合题意的话，那么点 B 的位置距离点 A 很近，这与 OB4OC 矛盾例 5 2010 年义乌市中考第 24 题如图 1，已知梯形 OABC，抛物线分别过点 O（0，0） 、A （2，0） 、B（6，3） （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点 M 的坐标；（2）将图 1 中梯形 OABC 的上下底边所在的直线 OA、CB 以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点 O1、 A1、C 1、B 1，得到如图 2 的梯形 O1A1B1C1设梯形 O1A1B1C1的面积为 S，A 1、 B1 的坐标分别为 (x1，y 1)、(x 2，y 2)用含 S 的代数式表示 x2x 1，并求出当 S=36
12、 时点 A1 的坐标；（3）在图 1 中，设点 D 的坐标为 (1，3)，动点 P 从点 B 出发，以每秒 1 个单位长度的速度沿着线段 BC 运动，动点 Q 从点 D 出发，以与点 P 相同的速度沿着线段 DM 运动P 、 Q 两点同时出发，当点 Q 到达点 M 时，P、Q 两点同时停止运动设 P、Q 两点的运动时间为 t，是否存在某一时刻 t，使得直线 PQ、直线 AB、x 轴围成的三角形与直线PQ、直线 AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由图 1 图 2动感体验请打开几何画板文件名“10 义乌 24”，拖动点 I 上下运动，观察图形和图象，
13、可以体验到，x 2x 1 随 S 的增大而减小双击按钮“第（3）题” ，拖动点 Q 在 DM 上运动，可以体验到，如果GAFGQE，那么GAF 与GQE 相似思路点拨1第（2）题用含 S 的代数式表示 x2x 1，我们反其道而行之，用 x1，x 2 表示 S再注意平移过程中梯形的高保持不变，即 y2y 13通过代数变形就可以了2第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证3第（3）题的示意图，不变的关系是：直线 AB 与 x 轴的夹角不变，直线 AB 与抛物线的对称轴的夹角不变变化的直线 PQ 的斜率，因此假设直线
14、 PQ 与 AB 的交点 G 在 x轴的下方，或者假设交点 G 在 x 轴的上方满分解答（1）抛物线的对称轴为直线 ，解析式为 ，顶点为 M（1， ） 12184yx8（2） 梯形 O1A1B1C1 的面积 ，由此得到22()3()6Sx由于 ，所以 整理，得13sx23y2211yx因此得到 2121()()84x217S当 S=36 时， 解得 此时点 A1 的坐标为（6，3） 21,.12,8.x（3）设直线 AB 与 PQ 交于点 G，直线 AB 与抛物线的对称轴交于点 E，直线 PQ 与 x轴交于点 F，那么要探求相似的GAF 与GQE，有一个公共角G 在GEQ 中， GEQ 是直线
15、 AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值在GAF 中，GAF 是直线 AB 与 x 轴的夹角，也为定值，而且 GEQ GAF因此只存在GQEGAF 的可能，GQEGAF这时GAFGQEPQD由于 ， ，所以 解得 3tan4GAFtan5DQtP345t207t图 3 图 4考点伸展第（3）题是否存在点 G 在 x 轴上方的情况？如图 4，假如存在，说理过程相同，求得的 t 的值也是相同的事实上，图 3 和图 4 都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3例 6 2009 年临沂市中考第 26 题如图 1，抛物线经过点 A(4， 0)、B（1，0)、C（0，2）三点（1）求此抛物线的解析式；（2）
16、P 是抛物线上的一个动点，过 P 作 PMx 轴，垂足为 M，是否存在点 P，使得以 A、P、M 为顶点的三角形与OAC 相似？若存在，请求出符合条件的 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线 AC 上方的抛物线是有一点 D，使得DCA 的面积最大，求出点 D 的坐标,图 1动感体验 请打开几何画板文件名“09 临沂 26”，拖动点 P 在抛物线上运动，可以体验到，PAM 的形状在变化，分别双击按钮“P 在 B 左侧” 、 “ P 在 x 轴上方”和“P 在 A 右侧” ，可以显示PAM 与OAC 相似的三个情景双击按钮“第(3)题” ， 拖动点 D 在 x 轴上方的抛物线上运动，
17、观察DCA 的形状和面积随 D 变化的图象，可以体验到， E 是 AC 的中点时，DCA 的面积最大思路点拨1已知抛物线与 x 轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便2数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长3按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程4把DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于 OA满分解答 （1）因为抛物线与 x 轴交于 A(4，0) 、B（1，0)两点，设抛物线的解析式为，代入点 C 的 坐标（0，2） ，解得 所以抛物线的解析式为)4(1xay 21a512x（2）设点 P 的坐标为 )4(2,(如图 2，当点 P 在 x 轴上
18、方时，1x4， ， )(1MxAM如果 ，那么 解得 不合题意2COAP24)(15x如果 ，那么 解得 1)(x此时点 P 的坐标为（2，1） 如图 3，当点 P 在点 A 的右侧时，x4， ， )4(12xPM4xAM解方程 ，得 此时点 P 的坐标为 2)(2x5),5(解方程 ，得 不合题意14)(1xx如图 4，当点 P 在点 B 的左侧时，x1， ， )4(12xPMxAM解方程 ，得 此时点 P 的坐标为 2)(213),3(解方程 ，得 此时点 P 与点 O 重合，不合题意14)(x0x综上所述，符合条件的 点 P 的坐标为（2，1）或 或 )14,3()2,5(图 2 图 3 图 4（3）如图 5，过点 D 作 x 轴的垂线交 AC 于 E直线 AC 的解析式为 21xy设点 D 的横坐标为 m ，那么点 D 的坐标为 ，点 E)41( )52,(m的坐标为 所以 )2,( )1)25(mE2因此 )(SDAC 4(2当 时，DCA 的面积最大，此时点 D 的坐标为（2，1） 图 5 图 6考点伸展第（3）题也可以这样解：如图 6，过 D 点构造矩形 OAMN，那么DCA 的面积等于直角梯形 CAMN 的面积减去CDN 和 ADM 的面积设点 D 的横坐标为（m，n） ，那么)41(m42)(21)2( nmnS由于 ，所以 512S
