1、材 料 力 学,第五章 弯曲应力 Stresses in Bending,5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam,我们知道横截面上的tQ;但用材料力学的方法不易直接推出t的分布规律。我们注意到dM/dx=Q;当(5-2)式推广应用于横力弯曲时,我们有可能由梁段的部分微元x方向的平衡求出t;再由剪应力互等定理换成t。(如下图):,M1-1M2-2 s1 s2 故微元(mnab)上ab面必须有剪力T 使微元平衡,由mnab微元的x=0 得:,5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam,T为长为dx,宽为b的微元底面ab上的纵向剪应
2、力t的合力。若假设t在 bdx 面内均匀分布, 且方向平行于x轴(等价于:矩形横截面上的剪应力t与对应的Q平行且同向。沿梁的宽度(即离中性轴等距离的各点),t的值不变。) 则:,由剪应力互等定理t=t得:横截面上的剪应力,式中: :横截面上距中性轴为y的宽度上任何一点的剪应力。,Q:此横截面上的剪力。 S*:所需求t的纤维以上部分面积对中性轴z的的静矩。I :此横截面整个面积对中性轴z的轴惯矩。b:所需求t处的横截面宽度。,T,5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam,讨论 一 矩形截面: 1,上下边沿处 =0（S*=0） 2,离中性轴为y处的t(高为h,宽为
3、b):,3,中性轴上的t最大:,为平均剪应力 tm的1.5倍,4,综合(5-2)式,有:矩形截面上的上、下边沿处 smax , =0中性轴处 s =0 , tmax,5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam,二 工字型截面 1, 冀缘(flange)上ty分量很小, tz分量成线性变化。 2,冀缘与腹板（web）交界处分布很复杂，材力方法无法求解。 3, 腹板上,与矩形截面一样成抛物线分布(t=QS*/Ib), tmaxtmin且有:Qw Q , tweb Q/Aweb,4,对轧制工字钢截面,Iz/S*=Ix/Sx可查型钢表。此时,有:,三.圆形及圆环形截面的
4、tmax:圆形及圆环形截面的t不再平行于Q。但是ty分量可以认为满足(5-8)式所用的两个假设。,5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam,而 t可由假设离中性轴等距处(m-n线)各点的剪应力汇交于竖向对称轴上一点A(A=A(y)来求得,由图易见m-n线上m点(或n点)的剪应力最大,为:,故全截面上的最大剪应力在中性轴上(=0),其值为:,对薄壁环形截面(壁厚d(平均直径),最大剪应力仍在中性轴上:其值为,(式中:A为薄壁环行截面的面积。即tmax为平均值的2倍)。,5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam,四.T形截面,例题
5、5-6(P233),5-4(1) 梁横截面上的剪应力 Shear Stress of Beam,例题5-7 (P234),一般梁的强度由max控制;但有时需校核剪应力强度条件。 需要校核(5-15)式的情形一般有:1.梁很短载荷很大or很大的载荷作用于支座附近。2.由型钢铆接或焊接的组合截面梁(如P244图,P266题5-37图),当腹板(web,t=b)很小时。3.木梁的t顺纹较小，需较核tmaxt顺纹,5-4(2) 梁的剪应力强度条件 shear stress strength condition of beam,PP239245 例题5-8例题5-11,全梁上的tmax一般产生在Qmax
6、截面上的(S*/b)最大处(一般为中性轴)。,故,注：梁上荷载为活载时，应按荷载移动产生Mmax的位置校核smax s,而按荷载移动后产生Qmax的位置来校核tmax t。如:,5-5 梁的合理设计,由: 知:降低最大弯矩Mmax、提高抗弯截面系数W,或局部加强弯矩 较大的梁段,都能降低梁的最大正应力smax,从而提高梁的承载能力, 使梁的设计更为合理。工程中常采用以下措施来提高梁的承载能力:,一、合理配置梁的荷载和支座:(由此可减小梁上的最大弯矩Mmax),二、合理选取截面形状:当弯矩已定时,横截面上的最大正应力与抗弯截面系数成反比。因此,所采用的横截面的形状,应该是使其抗弯截面系数W与其面
7、积A之比尽可能地大。由于在一般截面中,W与,其高度的平方成正比。所以,应尽可能地使横截面面积分布在距中性轴较远的地方,以满足上述要求。 在梁横截面上距中性轴最远的各点处,分别有最大拉应力和最大压应力。为了充分发挥材料的潜力,应该使它们同时达到材料的许用应力。 对塑材梁,所选横截面形状应以中性轴为其对称轴;对脆材梁,宜用T形等中性轴为非对称轴的截面,并将其翼缘部分置于受拉侧。,5-5 梁的合理设计,木材:由于天然原木的横截面形状近似于圆形,故常用圆形or矩形截面的木梁。当采用矩形时,应当在 的条件下由: 取极大值来求b与h的值;,钢材:因 ,宜于用有双对称轴的截面。,铸铁:因 ,宜采用或者p形截
8、面,并使中性轴靠近受拉区的外边沿。,A相同时:,可见梁的横截面形状应使面积放在离中性轴较远的地方。在抗剪能力和侧向稳定性能保证的条件下,愈远则愈好。需要注意的是:,有些截面形状,“截角”有利于增加强度。如右下图:,因为“截角”后I减小程度较ymax减小程度要小;,等强度梁在理论上为线弹性状态梁中用料最少的梁。当截面形状确定时,由 可确定静定梁任意位置x处的截面尺寸。,5-5 梁的合理设计,三、合理设计梁的外形:(等强度梁Beam of Uniform Strength),满足: 的变截面梁叫等强度梁。,叠板梁（laminated-plate beam）,变截面梁在满足强度时比受同样荷载的等截面
9、梁变形大。故对受静载为主,刚度要求高(梁的最大变形要求小)的梁,不宜采用变截面梁(特别是等强度梁),但在要求梁有较高柔性的动载(特别是冲击荷载)场合,最好用等强度梁(理论上等强度梁是承载能力相同的梁中变形最大者)。,5-5 梁的合理设计,5-6 两种及以上材料的组合梁 Composite Beam,工程中经常遇到两种以上材料紧密结合组成的构件。当材料间连接紧密,不发生相对错动时,可认为构件中不同材料变形是协调一致的。这样的构件叫组合构件。一般可用等效截面法(method of equivalent section)来分析计算。(PP249-253,自学),5-5 梁的合理设计,注意:阶梯状截面梁的强度校核,除Mmax处外,还应注意校核截面减少处的强度,特别是在P为移动荷载时。如:,
