1、第4章 快速傅立叶变换（FFT）,4.1 概述 4.2 时间抽取基 2 算法 4.3 频率抽取基 2 算法 4.4 减少运算量的措施 4.5 分裂基算法 4.6 线性调频 Z 变换 4.7 其它算法,4.1 概述,解决耗时的乘法问题是将数字信号处理理论用于实际的关键问题。特别是30年前，计算机的速度相当慢。因此，很多学者对解决DFT的快速计算问题产生了极大的兴趣。,Cooley J W, Tukey J W. An algorithm for the machine computation of complex Fourier series.Mathematics of Computation
2、, 1965, pp297301,DSP的正式开端！,FFT 的思路：,四点 DFT,几个乘法？,4.2 时间抽取基 2 算法,FFT的核心思想是：,问题是如何分最有效？可以对时间变量分 （DIT)，也可对频率变量分(DIF）,令：,都是 N/2 点的 DFT，它们各自又可分成 N/4 点的DFT，如此继续分下去，直至两点DFT。两点DFT不需要乘法运算：,每一级有 N/2 个如下的“蝶形”单元：,即: 每一个蝶形单元仅需一个复数乘法，两个复数加法。两点构成一个蝶形单元，并且这两点不再参与别的蝶形单元的运算。同址运算。,所需运算量：,注意：因子的位置；输入序列的顺序码位倒置。,0 000 00
3、0 0 100 001 1 010 010 2110 011 3001 100 4101 101 5011 110 6 7 111 111 7,4.3 频率抽取基 2 算法,令：,将 分解： Decimation In Time, DIT 时间抽取 将 分解： Decimation In Freq. ,DIF 频率抽取,继续分解，直到两点DFT,注意 DIT 和 DIF 的对偶性质。,输入正序，输出倒序。注意 因子的位置,4.4 进一步减少运算量的措施,旋转因子（twiddle factor),FFT中乘法运算主要来自和复指数相乘：,（1 组）,（2 组）,（4 组）,（N/2 组）,复数乘法
4、数,（N/4 组）,不需要乘法，无关紧要的旋转因子（trivial ),M 级，前两级都是 ，去除之：,后 M-2 级，含有,个,再去除之：,（复乘）,两个复数相乘，需要四次实乘、两次实加。实现和 的相乘，需两次实乘，两次实加。N点FFT中，有多少个,虚部和实部相等，trivial ,将所有无关紧要的旋转因子去除，或单独考虑，有：,？,个,实乘,实加,各种算比较的基础,以上称为多蝶形单元运算； 单独处理实数据的输入； 采用新的 FFT 算法。,措施：,多蝶形单元运算所需计算量的比较,基2 算法： 1965年， DSP 发展的里程碑；基4 算法 : 对基2 算法的改进；分裂基算法： 1984年，
5、 接近最优的 FFT！,4.5 分裂基 (Split-radix) 算法,Winograd 算法：1976年提出，是具有鲜明特色的FFT! 用到较多的数论知识，可用于N不等于2的整次幂。,基4 DIF 的基本单元：,以 4 为基，分解时级数可减少1半，因此可减少乘法次数。,不需要乘法！,乘法数减少一半,？,所需计算量：,基2,基4,分裂基,要求:掌握导出方法,基2 DIF: 旋转因子都出现在奇序号项输出，在求出偶序号项时不需要乘法。每一级都是如此。,基2 和基4 算法的比较：,基 4,？,令,则,分析上述结果可知，在基4 算法中，N/4个偶序号输出也要乘W因子。而基2 算法的偶序号项都不要乘W
6、因子。,令,则,基 2 / 4 算法,各种算法所需计算量的比较,4.6 输入和输出点数不相同的FFT,DFT： 输入N点，输出N点, 输入、输出点数 相同。输出的N点均匀分布于单位圆上，频域 分辨率为,在实际应用中： 1. 当输入点数极少时，若希望频率分点较多， 则需要补零，结果是增加了计算量; 2. 对于窄带信号，我们只希望通带内分点密，带外可以较疏，或根本不用计算。,一、输入端Pruning （ DIF ）,不需要的不计算！,二、输出端Pruning（窄带情况）,不需要的不计算！,二、CZT,其中：,Z在其 ROC 内取值，现为Z指定一离散的路径：,Z变换：,CZT在Z平面上的变换 路径是
7、一条螺旋线,决定CZT的起点；,决定变换路径如何倾斜,决定变换的步长。,信号的点数 N 和变换路径的点数 M 可以不相等。,CZT变成了DFT,时，起点在单位圆外， 反之，在圆内；,时，内旋，反之外旋；,时, CZT变换路径 为单位园上一段弧，,CZT的特点,CZT可计算单位圆上任一段曲线上的Z 变换，可任意给定起止频率；作变换时输入的点数N和输出点数M可以不相等；可达到频域“细化”的目的。,CZT的计算：,由定义：,由于：,所以：,则：,式中：,CZT 的实际计算方法：,1. 是 点系列，由 所决定：,2. 是双边无穷长序列，由定义所决定：,3. 是 点序列，由需要所决定。,如何卷积？,?,点序列,与本章有关的MATLAB文件,与本章内容有关的MATLAB文件主要是fft, ifft和 czt.m。顾名思义，fft实现快速傅立叶变换，ifft实现快速傅立叶反变换，czt.m 用来实现线性调频Z变换。 fft的调用格式是： X=fft(x), 或 X=fft(x，N)。czt.m 调用格式是： Xczt(x, M, W, A) 。x是待变换的时域信号，其长度设为N，M是变换的长度，W确定变换的步长，A确定变换的起点。若M=N, A=1, 则CZT变成DFT。,
