1、,Chapter5 Stresses in beams,材料力学,Mechanics of Materials,第五章 弯曲应力,主讲：罗松南,51 引言 ( Introduction)52 纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams )53 横力弯曲时的正应力(Normal stresses in transverse bending )54 梁的切应力及强度条件 (Shear stresses in beams and strength condition),第五章 弯曲应力 (Stresses in beams),55 提高梁强度的主要措施（Measu
2、resto strengthen the strength of beams),一、弯曲构件横截面上的应力(Stresses in flexural members),当梁上有横向外力作用时,一般情况下,梁的横截面上既又弯矩M,又有剪力FS .,51 引言 (Introduction),所以,在梁的横截面上一般既有正应力 (Normal stresses ),又有切应力(Shear stresses),二、分析方法 (Analysis method),简支梁CD段任一横截面上,剪力等于零,而弯矩为常量,所以该段梁的弯曲就是纯弯曲(Pure bending).,若梁在某段内各横截面的弯矩为常量,
3、剪力为零,则该段梁的弯曲就称为纯弯曲(Pure bending).,三、纯弯曲（Pure bending),52 纯弯曲时的正应力 (Normal stresses in pure beams ),一、实验（ Experiment）,1、变形现象（Deformation phenomenon ),纵向线,相对转过了一个角度,仍与变形后的纵向弧线垂直,各横向线仍保持为直线，,各纵向线段弯成弧线，,横向线,2、提出假设 ( Assumptions）,平面假设 变形前为平面的横截面变形 后仍保持为平面且垂直于变形后的梁轴线,(b) 单向受力假设 纵向纤维不相互挤压, 只受单向拉压,推论：必有一层变形
4、前后长度不变的纤维,中性层（ Neutral surface）,中性轴 横截面对称轴,变形几何关系,静力关系,实 验,二、变形几何关系（ Deformation geometric relation ）,三、物理关系(Physical relationship),所以,Hookes Law,?,待解决问题,中性轴的位置,中性层的曲率半径,变形几何关系,静力关系,建立公式,实 验,四、静力关系 (Static relationship）,横截面上内力系为垂直于 横截面的空间平行力系,这一力系简化，得到三个内力分量,中性层的曲率半径,中性轴的位置,待解决问题,内力与外力相平衡可得,(1),(2),
5、(3),将应力表达式代入(1)式，得,将应力表达式代入(2)式，得,将应力表达式代入(3)式，得,中性轴通过横截面形心,自然满足,静力关系,实 验,平面假设,单向受力假设,中性层、中性轴,中性轴过横截面形心,EIz称为抗弯刚度 (Flexural rigidity),纯弯曲时横截面上正应力的计算公式:,M为梁横截面上的弯矩,y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离,Iz为梁横截面对中性轴的惯性矩,(1)应用公式时,一般将 M,y 以绝对值代入.根据梁变形的情况直接判断 的正负号. 以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力( 为正号).凹入边的应力为压应力( 为负号).,(2)最大正应力发生在横截
6、面上离中性轴最远的点处,则公式改写为,（1）当 中性轴为对称轴时,矩形截面,实心圆截面,空心圆截面,z,y,（2）对于中性轴不是对称轴的横截面,当梁上有横向力作用时,横截面上既又 弯矩又有剪力.梁在此种情况下的弯曲称为横力弯曲(Nonuniform bending),53 横力弯曲时的正应力 (Normal stresses of the beam in nonuniform bending),横力弯曲时,梁的横截面上既有正应力又有切应力.切应力使横截面发生翘曲,横向力引起与中性层平行的纵截面的挤压应力,纯弯曲时所作的平面假设和单向受力假设都不成立.,一、横力弯曲(Nonuniform ben
7、ding),虽然横力弯曲与纯弯曲存在这些差异,但进一步的分析表明, 工程中常用的梁,纯弯曲时的正应力计算公式,可以精确的计算 横力弯曲时横截面上的正应力.,等直梁横力弯曲时横截面上的正应力公式为,二、公式的应用范围(The applicable range of the flexure formula ),1、 在弹性范围内,3、平面弯曲,4、直梁,2、长细梁,三、强度条件（Strength condition)： 梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力,1、数学表达式,2、强度条件的应用(Application of strength condition),(2)设计截面,(3)确定许可载荷
8、,(1) 强度校核,要求分别不超过材料的许用拉应力(Allowable tensile stress)和 许用压应力 (Allowable compressive stress),强度条件理解为，绝对值最大的工作应力不大于许用应力。,注意：,1. 对于塑性材料(如低碳钢), 抗拉和抗压强度相等,2. 对于铸铁等脆性材料(如灰铸铁), 抗拉和抗压强度不相等, 强度条件理解为, 最大拉应力不超过材料的许用拉应力,最大压应力不超过材料的许用压应力,危险截面 危险点, 对抗拉抗压允许值相等的材料，有：, 强度条件(5-6)理解为：,最大工作应力的绝对值不大于许用应力。,绝对值最大的工作应力发生在弯矩绝
9、对值最大的面上，距离中性轴最远处，对这种情况：,危险截面 弯矩绝对值最大的面,危险点 危险面上距中性轴最远点, 对抗拉抗压允许值不相同的材料，有：,强度条件(5-6)理解为：,a) 当截面的中性轴为对称轴时(矩形、圆形、工字形等)， Lmax与cmax发生在同一截面上，即弯矩绝对值最大的面上。一个在最上缘，一个在最下缘，且Lmax与cmax数值上相等。此时：,危险截面 弯矩绝对值最大的截面,危险点 危险截面的最上缘和最下缘,b) 当截面的中性轴不是对称轴时(T字形截面、梯形截面等) Lmax与cmax可能不在同一截面上，但只可能在最大正弯矩或最大负弯矩所在的面上，此时：,可能危险截面 最大正弯
10、矩、最大负弯矩面,危险点 危险截面的最上缘或最下缘,因此，强度条件中Mmax理解为危险截面的弯矩值，而危险截面在一般情况下，就是绝对值最大的弯矩所在面，只有一种情况例外，,即：材料抗拉、抗压许用值不相等，且中性轴非对称轴的情况，这种情况的可能危险面有两个：最大正弯矩和最大负弯矩所在面。,例题1 螺栓压板夹紧装置如图所示.已知板长3a150mm，压板材料的弯曲许用应力140MP.试计算压板传给工件的最大允许压紧力F.,解 (1)作出弯矩图的最大弯矩为Fa,(2)求惯性矩，抗弯截面系数,(3)求许可载荷,例2 外伸梁荷载与几何尺寸如图所示，已,试校核强度。,知材料,解： 画弯矩图以确定危险截面,
11、强度校核,且z轴为非对称轴,“ 1-1”,故可能危险截面为1截面和2截面,y,“ 2-2”,强度不够,将截面倒置，结论如何？,例题3 由 n 片薄片组成的梁,当每片间的磨擦力甚小时,每一薄片就独立弯曲,每一薄片中的最大正应力等于,近似地认为每片上承担的外力等于,z,若用刚度足够的螺栓将薄片联紧,杆就会象整体梁一样弯曲,最大正应力等于,实践表明：,有些梁是因正应力达到抗拉或抗压强度而破坏,跨度小、截面高的木梁,有些梁则是因切应力达到抗切强度而破坏,(1) 梁端横截面上的剪力较大,例如：,破坏原因：,(2) 木梁沿木纹方向的抗切能力较弱,54 弯曲切应力(Shear stresses in bea
12、ms）,实验研究和理论分析表明：,梁的切应力分布规律与横截面的形状有关.,以下介绍几种常用截面上的切应力,一、矩形截面梁,1.两个假设,(1) 切应力方向与横截面的侧边平行，与剪力同向；,(2) 切应力沿横截面宽度均匀分布。,(2) 在微段dx中取研究体,y,d,e,M+dM,M,FS,FS,(3) 求研究体各面上的合力,(4) 考虑研究体的平衡,由切应力互等定理：,式中,FS,3.切应力分布规律,(4)剪应力沿截面高度的变化规律 ( The shear- stress distribution on the rectangular cross section ), 沿截面高度的变化由静矩 与
13、y之间的关系确定,可见,剪应力沿 截面高度按抛物线规律变化.,y=h/2(即在横截面上距中性轴最远处) =0,y=0(即在中性轴上各点处),剪应力达到最大值,式中,A=bh,为矩形截面的面积.,截面静矩的计算方法,A为截面面积,为截面的形心坐标,2、工字形截面梁（工-section beam),假设求应力的点到中性轴的距离为y.,研究方法与矩形截面同,剪应力的计算公式亦为,d 腹板的厚度, 距中性轴为y的横线以外部分的横截面面积A*对中性轴的静矩.,(a)腹板上的剪应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化.,(b)最大剪应力也在中性轴上.这也是整个横截面上的最大剪应力.,假设,(a)沿宽度kk上各点
14、处的剪应力均汇交于o点.,(b)各点处切应力沿y方向的分量沿宽度相等.,在截面边缘上各点的剪应力的方向与圆周相切.,3、圆截面梁(Beam of circular cross section),最大剪应力发生在中性轴上,4、 圆环形截面梁(Circular pipe beam),图示为一段薄壁环形截面梁.环壁厚度为 ,环的平均半径为r0,由于 r0 故可假设,(a)横截面上剪应力的大小沿壁厚无变化.,(b)剪应力的方向与圆周相切.,式中 A=2r0 为环形截面的面积,横截面上最大的剪应力发生中性轴上,其值为,z,y,r0,二、强度条件（Strength condition）,三、需要校核切应力
15、的几种特殊情况,（1）梁的跨度较短,M 较小,而FS较大时,要校核剪应力.,（2）铆接或焊接的组合截面,其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时,要校核剪应力.,（3）各向异性材料(如木材)的抗剪能力较差,要校核剪应力.,四、横力弯曲梁横截面的翘曲变形,矩形截面梁,切应变：,切应变沿高度按抛物线变化，使得横截面发生翘曲,切应力：,例题4 一简易起重设备如图所示.起重量(包含电葫芦自重)F = 30 kN.跨长l = 5 m.吊车大梁AB由20a工字钢制成.其许用弯曲正应力=170MPa,许用弯曲剪应力= 100MPa ，试校核梁的强度.,解：此吊车梁可简化为简支梁,力 F 在梁中间位置时有最大
16、正应力 .,(a)正应力强度校核,由型钢表查得20a工字钢的,所以梁的最大正应力为,(b)切应力强度校核,在计算最大剪应力时,应取荷载F在紧靠任一支座例如支座A处所示,因为此时该支座的支反力最大,而梁的最大切应力也就最大.,据此校核梁的剪应力强度,以上两方面的强度条件都满足,所以此梁是安全的.,解 (1)计算支反力做内力图.,例题5 简支梁AB如图所示.l2m,a0.2m.梁上的载荷为q10kN/m,F200kN.材料的许用应力为=160MPa,100MPa,试选择工字钢型号.,(2)根据最大弯矩选择工字钢型号,查型钢表,选用22a工字钢,其Wz309cm3,（3）校核梁的切应力,腹板厚度 d
17、=0.75cm，由剪力图知最大剪力为210kN,查表得,max超过很多，应重新选择更大的界面.现已25b工字钢进行试算,所以应选用型号为25b的工字钢.,例题6 对于图中的吊车大梁,现因移动荷载F增加为50kN,故在 20a号工字钢梁的中段用两块横截面为120mm10mm而长度 2.2mm的钢板加强加强段的横截面尺寸如图所示.已知许用弯曲正应力=152MPa,许用剪应力 =95MPa.试校核此梁的强度.,解 加强后的梁是阶梯状变截面梁.所以要校核,(3)F移至未加强的梁段在截面变化处的正应力,(2)F靠近支座时支座截面上的剪应力,(1)F位于跨中时跨中截面上的弯曲正应力,(1)校核F位于跨中时
18、截面时的弯曲正应力,查表得20a工字钢,最大弯矩值为,跨中截面对中性轴的惯性矩为,略去了加强板对其自身形心轴的惯性矩.,抗弯截面系数,(2)校核突变截面处的正应力,也就是校核未加强段的正应力强度.,该截面上的弯矩为最大,从型钢表中查得20a工字钢,(3)校核阶梯梁的切应力,F 靠近任一支座时,支座截面为不利荷载位置,请同学们自行完成计算.,例 求1-1截面上的D与E点的正应力和切应力以及梁的最大正应力和最大切应力。,解：,1. D与E点的应力,2.梁的最大应力,例8 已知 =170MPa， =100MPa，选择槽钢型号。,解：,1.求支反力,2.作FS、M图,3.按正应力强度条件,选择截面,对
19、于一根槽钢,查表取： No.36c，其中,4. 校核切应力强度,查表得：,每根槽钢承受的最大剪力为：,安全,4. 校核切应力强度,查表得：,55 提高梁强度的主要措施（Measures to strengthen the strength of beams),一、降低梁的最大弯矩值,1、合理地布置梁的荷载,按强度要求设计梁时,主要是依据梁的正应力强度条件,2、合理地设置支座位置,当两端支座分别向跨中移动a=0.207l 时,二、增大Wz,1、合理选择截面形状,在面积相等的情况下，选择抗弯模量大的截面,工字形截面与框形截面类似.,2、合理的放置,2、对于脆性材料制成的梁,宜采用T字形等对中性轴不
20、对称的截面且将翼缘置于受拉侧.,三、根据材料特性选择截面形状,1、对于塑性材料制成的梁,选以中性轴为对称轴的横截面,要使y1/y2接近下列关系:最大拉应力和最大压应力同时接近许用应力,四、采用等强度梁,梁各横截面上的最大正应力都相等,并均达到材料的许用应力, 则称为等强度梁.,梁任一横截面上最大正应力为,求得,但靠近支座处，应按剪应力强度条件确定截面的最小高度,求得,F,l/2,l/2,按上 确定的梁的外形,就是厂房建筑中常用的鱼腹梁.,一、开口薄壁杆件弯曲的概念,二、开口薄壁杆件的弯曲切应力,三、开口薄壁杆件的弯曲中心,5 非对称截面梁平面弯曲的条件开口薄壁截面梁的弯曲中心,载荷作用在纵向对
21、称面内,杆件只发生弯曲变形,载荷作用平面不是纵向对称面,杆件既发生弯曲变形,一、开口薄壁杆件弯曲的概念,又发生扭转变形,不发生扭转变形,载荷作用在某一特定的 A点,杆件将只发生弯曲变形,弯曲中心横向力作用在杆件的横截面内,使得杆件只发生弯曲变形的特定点,开口薄壁杆件抗扭刚度较小,一、开口薄壁杆件弯曲的概念,不发生扭转变形,且与形心主惯性平面平行时,弯曲正应力：,设：横向力通过弯曲中心，,且平行于形心主惯性平面。,1.假设:,(1) 切应力沿壁厚均匀分布,(2) 切应力方向与截面周边相切,二、开口薄壁杆件的弯曲切应力,2.公式推导,取微元体abcd 为研究对象,二、开口薄壁杆件的弯曲切应力,由切应力互等定理:,二、开口薄壁杆件的弯曲切应力,2.公式推导,取微元体abcd 为研究对象,代入上式，得到,设： y 轴和 z 轴为形心主惯性轴,FQ 平行于 y 轴,三、开口薄壁杆件的弯曲中心,对于 z 轴上任意一点C,由合力矩定理：,故,解：,1.翼缘中的切应力,例 4 试求图示槽形截面的弯曲中心。,2.翼缘和腹板中的合力,3.弯曲中心,解：,1.翼缘中的切应力,2.翼缘和腹板中的合力,3.弯曲中心,解：,1.翼缘中的切应力,2.翼缘和腹板中的合力,3.弯曲中心,第五章结束,
