1、1 第20讲 古典概型、几何概型 (对应学生用书第114页) 一、选择题 1(2017全国卷)如图201，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图正方形内 切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称在正方形内随机取一点， 则此点取自黑色部分的概率是( ) 【导学号：07804128】 图201 A B 1 4 8 C D 1 2 4 B (概率中的数学文化)不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为 1，可得S 正方形 4. 由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑 S 白 S 圆 1 2 ，所以由几何概型知所求概率P . 2 S黑 S正方形 2
2、4 8 故选B. 2(2017深圳一模)袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2” “3” “4” “6” 现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是( ) A. B 1 4 1 3 C. D 1 2 2 3 C 从4个球中随机选取三个球，共有(2,3,4)，(2,3,6)，(2,4,6)，(3,4,6)四种 情况，其中所选的三个球上的数字能构成等差数列的为(2,3,4)，(2,4,6)，故所求 事件的概率为 .故选C. 1 2 3(2017福州五校联考)小明每天上学都需要经过一个有交通信号灯的十字路口已知十 字路口的交通信号灯绿灯亮的时间为40秒，黄灯5秒，
3、红灯45秒如果小明每天到路2 口的时间是随机的，则小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒的概率是( ) A. B 3 4 2 3 C. D 1 2 1 3 D 法一：(直接法)设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事 件A，则P(A) ，选D. 45520 40545 1 3 法二：(间接法)设“小明上学时到十字路口需要等待的时间不少于20秒”为事件 A，其对立事件为“小明上学时到十字路口需要等待的时间少于20秒” ，则P(A) 1 ，选D. 4020 40545 1 3 4.(2016全国卷)从区间0,1随机抽取2n个数 x 1 ，x 2 ，x n ，y 1 ，y 2
4、 ，y n ，构成n个数对(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )， ，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m个，则用随机模 拟的方法得到的圆周率的近似值为( ) A. B 4n m 2n m C. D 4m n 2m n C 因为x 1 ，x 2 ，x n ，y 1 ，y 2 ，y n 都在区间0,1内 随机抽取，所以构成的n个数对(x 1 ，y 1 )，(x 2 ，y 2 )， ，(x n ，y n )都在正方形OABC内(包括边界)，如图所示若 两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇 形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m 个用
5、随机模拟的方法可得 ，即 ，所以 . S扇形 S正方形 m n 4 m n 4m n 5(2017福建高三4月质量检查)某食品厂做了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是 “富强福” “和谐福” “友善福” ，每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才 可获奖，则购买该食品4袋，获奖的概率为( ) A. B 3 16 4 9 C. D 3 8 8 9 B P(获奖) .故选B. C2 4A3 3 34 6 6 81 4 9 6(2017湖南长沙四县联考)如图202，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置3 的无底圆锥形容器，圆锥的底面圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸 底上，
6、现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到” 的概率是( ) 图202 A1 B 4 12 C D1 4 12 A 鱼缸底面正方形的面积为2 2 4，圆锥底面圆的面积为.所以“鱼食能被鱼缸 内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是1 ，故选A. 4 7(2017沈阳一模)将A，B，C，D这4名同学从左至右随机地排成一排，则“A与B相 邻且A与C之间恰好有1名同学”的概率是( ) A. B 1 2 1 4 C. D 1 6 1 8 B A，B，C，D4名同学排成一排有A 24种排法当A，C之间是B时，有 4 4 224种排法，当A，C之间是D时，有2种排法，所以所求概率为 ，故
7、42 24 1 4 选B. 8(2017河南平顶山一模)甲袋中装有3个白球和5个黑球，乙袋中装有4个白球和6个 黑球，现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后，再从乙袋中随机取出一个 球放回甲袋中，则甲袋中白球没有减少的概率为( ) 【导学号：07804129】 A. B 9 44 25 44 C. D 35 44 37 44 C 白球没有减少的情况有：抓出黑球，放回任意球，概率是 ；抓出白球，放回白 5 8 球，概率是 .故所求事件的概率为 ，故选C. 3 8 5 11 15 88 5 8 15 88 35 444 9(2017太原二模)如图203， “赵爽弦图”是由四个全等的直角三角
8、形(阴影部分)围成 一个大正方形，中间空出一个小正方形组成的图形，若在大正方形内随机取一点，该点 落在小正方形内的概率为 ，则图中直角三角形中较大锐角的正弦值为( ) 1 5 图203 A. B 5 5 2 5 5 C. D 1 5 3 3 B 法一：(直接法)设大正方形的边长为1，直角三角形较大的锐角为，则小正 方形的边长为sin cos ，所以(sin cos ) 2 ，所以sin cos 1 5 ，2sin cos ，所以sin ，故选B. 5 5 4 5 2 5 5 法二：(排除法)由赵爽弦图可知，直角三角形较大的锐角一定大于 ，所以其正弦 4 值一定大于 ，故排除选项 A，C，D，选
9、B. 2 2 10(2017福建宁德一模)若从区间(0，e)(e为自然对数的底数，e2.718 28)内随机 选取两个数，则这两个数之积小于e的概率为( ) A. B 2 e 1 e C1 D1 2 e 1 e A 设随机选取的两个数为x，y，由题意得Error!该不等式组在坐标系中对应的区 域面积为e 2 ， 又不等式组Error!在坐标系中对应的区域面积为 e dx2e，所求概率为 ，故 e 1 e x 2 e 选A. 11(湖南五市十校联考)在矩形ABCD中，AB2AD，在CD上任取一点P，ABP的最大边 是AB的概率是( )5 图204 A. B 2 2 3 2 C. 1 D 1 2
10、3 D 分别以A，B为圆心，AB的长为半径画弧，交CD于 P 1 ，P 2 ，则当P在线段P 1 P 2 间运动时，能使得ABP的最大边是 AB，易得 1， P1P2 CD 3 即ABP的最大边是AB的概率是 1. 3 12(2017云南统一考试)在平面区域Error!内随机取一点(a，b)，则函数f(x) ax 2 4bx1在区间1，)上是增函数的概率为( ) A. B 1 4 1 3 C. D 1 2 2 3 B 不等式组表示的平面区域为如图所示的AOB的内部及边界 AB(不包括边界OA，OB)，则S AOB 448.函数f(x) 1 2 ax 2 4bx1在区间1，)上是增函数，则应满足
11、a0且 x 1，即Error!，可得对应的平面区域如图中阴影部分(包 4b 2a 括边界OC，BC，不包括边界OB)，由Error!，解得 a ，b ，所以S 8 3 4 3 COB 4 ，根据几何概型的概率计算公式，可知所求的概率为 ，故选B. 1 2 4 3 8 3 8 3 8 1 3 二、填空题 13(2013全国卷)从n个正整数1,2，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数 之和等于5的概率为 ，则n_. 1 14 8 由题意知n4，取出的两数之和等于5的有两种情况：1,4和2,3，所以 P ，即n 2 n560，解得n7(舍去)或n8. 2 C2 n 1 146 14(2017湖南百
12、所重点中学联考)若a是集合1,2,3,4,5,6,7中任意选取的一个元素， 则圆C：x 2 (y2) 2 1与圆O：x 2 y 2 a 2 内含的概率为_由圆C：x 2 (y2) 2 1与圆O：x 2 y 2 a 2 内含，可知|a1|2，解得a3.又a1,2,3,4,5,6,7，所以a只能取4,5,6,7四个数，故所求事件的概率 为 . 4 7 15(2017郑州三模)已知小李每次打靶命中靶心的概率都为40%，现采用随机模拟的方 法估计小李三次打靶恰有两次命中靶心的概率先由计算器产生0到9之间取整数值的 随机数，指定0,1,2,3表示命中靶心，4,5,6,7,8,9表示未命中靶心，再以每三个
13、随机 数为一组，代表三次打靶的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数： 321 421 191 925 271 932 800 478 589 663 531 297 396 021 546 388 230 113 507 965 据此估计，小李三次打靶恰有两次命中的概率为_. 【导学号：07804130】 0.3 由题意知，在20组随机数中表示三次打靶恰有两次命中靶心的有 421,191,271,932,800,531，共6组随机数，所以所求概率为 0.30. 6 20 16(2017江西红色七校二模)已知直线l：xy60与x轴交于点A，与y轴交于点 B，且与抛物线yx 2 及x 轴正半轴围成图形，若从RtAOB区域内任取一点M(x，y)，则点M取自图形 的概率为_ 如图所示，由定积分可求得阴影部分图形的面积S x 2 dx (6x) 16 27 2 0 6 2 dx x 3 Error! Error! ，又RtAOB的面积为 6618. 1 3 2 0 ( 6x 1 2 x2 ) 6 2 32 3 1 2 所以P . 32 3 18 16 27
