1、1 数学思想专项练(三) 分类讨论思想 (对应学生用书第125页) 题组1 由概念、法则、公式引起的分类讨论 1已知数列a n 的前n项和S n P n 1(P是常数)，则数列a n 是( ) A等差数列 B等比数列 C等差数列或等比数列 D以上都不对 D S n P n 1， a 1 P1，a n S n S n1 (P1)P n1 (n2) 当P1且P0时，a n 是等比数列； 当P1时，a n 是等差数列； 当P0时，a 1 1，a n 0(n2)，此时a n 既不是等差数列也不是等比数列 2已知实数m是2,8的等比中项，则曲线x 2 1的离心率为( ) y2 m A. B 2 3 2
2、C. D 或 5 5 3 2 D 由题意可知，m 2 2816，m4. (1)当m4时，曲线为双曲线x 2 1. y2 4 此时离心率e . 5 (2)当m4时，曲线为椭圆x 2 1. y2 4 此时离心率e . 3 2 3已知二次函数f(x)ax 2 2ax1在区间3,2上的最大值为4，则a等于( ) 【导学号：07804150】 A3 B 3 8 C3 D 或3 3 8 D 当a0时，f(x)在3，1上单调递减，在1,2上单调递增，故当x2 时，f(x)取得最大值，即8a14，解得a .当a0时，易知f(x)在x1处 3 8 取得最大，即a14，a3. 综上可知，a 或3.故选D. 3 8
3、2 4设等比数列a n 的公比为q，前n项和S n 0(n1,2,3，)，则q的取值范围是 _ (1,0)(0，) 因为a n 是等比数列，S n 0，可得a 1 S 1 0，q0. 当q1时，S n na 1 0； 当q1时，S n 0， a11qn 1q 即 0(nN * )，则有Error! 1qn 1q 或Error! 由得11. 故q的取值范围是(1,0)(0，) 5若x0且x1，则函数ylg xlog x 10的值域为_ (，22，) 当x1时，ylg x 2 2，当且 1 lg x lg x 1 lg x 仅当lg x1，即x10时等号成立；当0x1时，ylg x 1 lg x
4、2 2，当且仅当lg x lg x ( 1 lg x ) lg x 1 lg x ，即x 时等号成立y(，22，) 1 lg x 1 10 6已知函数f(x)a x b(a0，a1)的定义域和值域都是1,0，则ab_. 当a1时，函数f(x)a x b在1,0上为增函数，由题意得Error!无 3 2 解当0a1时，函数f(x)a x b在1,0上为减函数，由题意得Error!解得 Error!所以 ab . 3 2 7.(2017全国卷)设函数f(x)Error!则满足 f(x)f 1的x的取值范 ( x 1 2 ) 围是_由题意知，可对不等式分x0,0 三段讨论 ( 1 4 ， ) 1 2
5、 1 2 当x0时，原不等式为x1x 11，解得x ， 1 2 1 4 x0. 1 4 当01，显然成立 1 2 1 23 当x 时，原不等式为2 x 2 1，显然成立 1 2 综上可知，x . 1 4 题组2 由参数变化引起的分类讨论 8已知集合Ax|1x5，Cx|axa3若CAC，则a的取值范围为( ) A. B ( 3 2 ，1 ( ， 3 2 C(，1 D ( 3 2 ， ) C 因为CAC，所以CA. 当C时，满足 CA，此时aa3，得a ； 3 2 当C时，要使 CA，则Error! 解得 a1. 3 2 由得a1. 9已知函数f(x)(a1)ln xax 2 1，试讨论函数f(x
6、)的单调性. 【导学号：07804151】 解 由题意知f(x)的定义域为(0，)， f(x) 2ax . a1 x 2ax2a1 x 当a0时，f(x)0，故f(x)在(0，)上单调递增 当a1时，f(x)0； ( 0， a1 2a ) 当x 时，f(x)0. ( a1 2a ， ) 故f(x)在 上单调递增， ( 0， a1 2a ) 在 上单调递减 ( a1 2a ， ) 综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增； 当a1时，f(x)在(0，)上单调递减；4 当1a0时，f(x)在 上单调递增，在 上单调递减 ( 0， a1 2a ) ( a1 2a ， ) 题组3 根据图形位置或形
7、状分类讨论 10已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y x，则双曲线 3 4 的离心率为( ) A. B 5 4 5 3 C. 或 D 或 5 4 5 3 3 5 4 5 C 若双曲线的焦点在x轴上，则 ，e ；若双曲线的焦点在y b a 3 4 c a 1 ( b a ) 25 4 轴上，则 ，e ，故选C. b a 4 3 c a 1 ( b a ) 25 3 11已知变量x，y满足的不等式组Error!表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实 数k( ) A B 1 2 1 2 C0 D 或0 1 2 D 不等式组Error!表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可
8、知，若不等式组 Error!表示的平面区域是直角三角形，只有直线 ykx1与直线x0或y2x垂 直时才满足 结合图形可知斜率k的值为0或 . 1 2 12正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为_ 4 或 若侧面矩形的长为6，宽为4，则 3 8 3 3 VS 底 h 22sin 6044 . 1 2 3 若侧面矩形的长为4，宽为6，则 VS 底 h sin 606 . 1 2 4 3 4 3 8 3 35 13设 F 1 ，F 2 为椭圆 1的两个焦点，P为椭圆上一点已知P，F 1 ，F 2 是一个直角 x2 9 y2 4 三角形的三个顶点，且|PF 1 |PF 2 |，则
9、的值为_ |PF1| |PF2| 或2 若PF 2 F 1 90.则|PF 1 | 2 |PF 2 | 2 |F 1 F 2 | 2 ， 7 2 又因为|PF 1 |PF 2 |6，|F 1 F 2 |2 ， 5 解得|PF 1 | ，|PF 2 | ，所以 . 14 3 4 3 |PF1| |PF2| 7 2 若F 1 PF 2 90，则|F 1 F 2 | 2 |PF 1 | 2 |PF 2 | 2 ， 所以|PF 1 | 2 (6|PF 1 |) 2 20， 所以|PF 1 |4，|PF 2 |2，所以 2. |PF1| |PF2| 综上知， 或2. |PF1| |PF2| 7 2 14
10、已知椭圆C的两个焦点分别为F 1 (1,0)，F 2 (1,0)，且F 2 到直线x y90的距 3 离等于椭圆的短轴长 (1)求椭圆C的方程； (2)若圆P的圆心为P(0，t)(t0)，且经过F 1 ，F 2 两点，Q是椭圆C上的动点且在 圆P外，过Q作圆P的切线，切点为M，当|QM|的最大值为 时，求t的值. 3 2 2 【导学号：07804152】 解 (1)设椭圆的方程为 1(ab0)， x2 a2 y2 b2 依题意可得2b 4，所以b2，又c1，所以a 2 b 2 c 2 5， |19| 2 所以椭圆C的方程为 1. x2 5 y2 4 (2)设Q(x，y) ，圆P的方程为x 2 (yt) 2 t 2 1， ( 其中 x2 5 y2 4 1 ) 连接PM(图略)，因为QM为圆P的切线，所以PMQM， 所以|QM| . |PQ|2t21 x2yt2t21 1 4 y4t244t2 若4t2，即t ， 1 2 当y2时，|QM|取得最大值， 且|QM| max ，解得t (舍去) 4t3 3 2 2 3 8 1 26 若4t2， 即0t ，当y4t时，|QM|取得最大值， 1 2 且|QM| max ，解得t 2 ，又0t ，所以 t . 44t2 3 2 2 1 8 1 2 2 4 综上，当t 时，|QM| 的最大值为 . 2 4 3 2 2
