1、简谐振动及其周期公式的推导与证明简谐振动：如果做机械振动的物体，其位移与时间的关系遵从正弦（或余弦）函数规律，这样的振动叫做简谐振动。位移：用 x 表示，指振动物体相对于平衡位置的位置变化，由简谐振动定义可以得出 x 的一 般式： （下文会逐步解释各个物理符号的定义） ；)cos(tA振幅：用 A 表示，指物体相对平衡位置的最大位移；全振动：从任一时刻起，物体的运动状态（位置、速度、加速度） ，再次恢复到与该时刻完全相同所经历的过程；频率：在单位时间内物体完成全振动的次数叫频率，用 f 表示；周期：物体完成一次全振动所用的时间，用 T 表示；角频率：用 表示，频率的 2 倍叫角频率，角频率也是
2、描述物体振动快慢的物理量。角频率、周期、频率三者的关系为： =2/T=2f；相位： 表示相位，相位是以角度的形式出现便于讨论振动细节，相位的变化率t就是角频率，即 ；dt初相：位移一般式中 表示初相，即 t=0 时的相位，描述简谐振动的初始状态；回复力：使物体返回平衡位置并总指向平衡位置的力。 （因此回复力同向心力是一种效果力）如果用 F 表示物体受到的回复力，用 x 表示小球对于平衡位置的位移，对 x 求二阶导即得： )cos(2tAa又因为 F=ma，最后可以得出 F 与 x 关系式： kxm2由此可见，回复力大小与物体相对平衡位置的位移大小成正比。式中的 k 是振动系统的回复力系数（只是
3、在弹簧振子系统中 k 恰好为劲度系数） ，负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。简谐振动周期公式： ，该公式为简谐振动普适公式，式中 k 是振动系统的回复kmT2力 系数，切记与弹簧劲度系数无关。单摆周期公式：首先必须明确只有在偏角不太大的情况（一般认为小于 10）下，单摆的运 动可以近似地视为简谐振动。我们设偏角为 ，单摆位移为 x，摆长为 L，当 很小时，有关系式：，Lxtansi而单摆运动的回复力为F=mgsin ，那么单摆运动中回复力系数 ，代入简谐振动周期普适公式可得：mgkLT2简谐振动周期公式推导与证明：（1）求导法：对 x 求二阶导，得： ，)cos(2tAa由 F
4、=ma= -kx 得： ，mk。T2（2）等效替代 I：做匀速圆周运动的物体在任意一直径上的垂直投影做简谐振动。这是研究简谐振动的一个重要结论。下面给出证明：如图，设物体做匀速圆周运动，线速度为 v，半径为 r，角速度为 ，以圆心为坐标原点建立坐标系，设初始位置与圆心连线和 x 轴夹角为 ，经过的时间为 t，则该物体在 x 轴上投影相对于原点的位移 x 满足，)cos(tr由此可见，该投影做的是一个简谐振动。既然做匀速圆周运动的物体在任意一直径上的垂直投影做简谐振动，那么投影做简谐振动的周期与物体做匀速圆周运动周期相等。投影在 x 轴方向上运动的加速度与物体向心加速度沿 x 轴方向分量相等，)
5、cos(tax如果我们把投影当成一个质量为 m 的物体，那么该物体做简谐运动所需回复力为，)(2trFx注意到 刚好是投影偏离原点的位移大小，该位移方向与 F 方向相反，故)cos(tr，kx-2那么 ，故mkkmT2（3）等效替代 II（只对弹簧振子有效）：以弹簧振子为例，设振幅为 A，弹簧劲度系数为 k，振子质量为 m，振动周期为T，假设从最大位移处开始运动的 周期内，存在这样的力 f，使得 在数值上等于414Tf物体最大动量。而该 周期内，回复力 F 产生的总冲量大小为41 kAydktdkAdtIT coscos404020由动量定理可知，等价力 f 产生的冲量与该冲量大小相等，那么，ITF4对于弹簧振子，由能量守恒可得：，由此可见 ，故2max2max11vEkAkaxpAmkvax Akpax因而由 可得：Tfax4 kfT24（4）能量守恒（只对弹簧振子有效）以弹簧振子为例，振动没有能量损耗时，动能、势能相互转化，机械能守恒。设振子质量为 m，最大速度为 v，振幅为 A，弹簧劲度系数为 k，角频率为 ，那么最大动能 ，又 ，对其求一介导得 ，由2ax1Ek)sin(tx )cos( tAx此可见最大速度为 v= ，故， ，22max1vEk最大势能 2maxkAp，故 ，即 ，那么axakpE2kkmT2
