1、经典相似三角形 1 / 5相似三角形（附答案）5已知：如图所示，在ABC 和ADE 中，AB=AC，AD=AE，BAC=DAE，且点 B，A，D 在一条直线上，连接BE，CD，M，N 分别为 BE，CD 的中点（1）求证：BE=CD；AMN 是等腰三角形；（2）在图的基础上，将ADE 绕点 A 按顺时针方向旋转 180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写出（1）中的两个结论是否仍然成立；（3）在（2）的条件下，请你在图中延长 ED 交线段 BC 于点 P求证：PBDAMN分析：（1）因为BAC=DAE，所以BAE=CAD，又因为 AB=AC，AD=AE，利用 SAS 可证出BAECAD，可
2、知 BE、CD 是对应边，根据全等三角形对应边上的中线相等，可证AMN 是等腰三角形（2）利用（1）中的证明方法仍然可以得出（1）中的结论，思路不变（3）先证出ABMACN（SAS） ，可得出CAN=BAM，所以BAC=MAN（等角加等角和相等） ，又BAC=DAE，所以MAN=DAE=BAC，所以AMN，ADE 和ABC 都是顶角相等的等腰三角形，所以PBD=AMN，所以PBDAMN（两个角对应相等，两三角形相似） （1）证明：BAC=DAE，BAE=CAD，AB=AC，AD=AE，ABEACD，BE=CD由ABEACD，得ABE=ACD，BE=CD，M、N 分别是 BE，CD 的中点，BM
3、=CN又AB=AC，ABMACNAM=AN，即AMN 为等腰三角形（2）解：（1）中的两个结论仍然成立（3）证明：在图中正确画出线段 PD，由（1）同理可证ABMACN，CAN=BAMBAC=MAN又BAC=DAE，MAN=DAE=BACAMN，ADE 和ABC 都是顶角相等的等腰三角形PBD 和AMN 都为顶角相等的等腰三角形，PBD=AMN，PDB=ANM，PBDAMN10附加题：如图ABC 中，D 为 AC 上一点，CD=2DA，BAC=45，BDC=60，CEBD 于 E，连接 AE（1）写出图中所有相等的线段，并加以证明；（2）图中有无相似三角形？若有，请写出一对；若没有，请说明理由
4、；（3）求BEC 与BEA 的面积之比分析：（1）根据直角三角形中 30 度角所对的直角边是斜边的一半，可知 CD=2ED，则可写出相等的线段；（2）两角对应相等的两个三角形相似则可判断ADEAEC；（3）要求BEC 与BEA 的面积之比，从图中可看出两三角形有一公共边可作为底边，若求得高之比可知面积之比，由此需作BEA 的边 BE 边上的高即可求解解：（1）AD=DE，AE=CE=EBCEBD，BDC=60，在 RtCED 中，ECD=30CD=2EDCD=2DA，AD=DE，DAE=DEA=30=ECDAE=CE（2）图中有三角形相似，ADEAEC；CAE=CAE，ADE=AEC，ADEA
5、EC；（3）作 AFBD 的延长线于 F，设 AD=DE=x，在 RtCED 中，可得 CE= ，故 AE= ECD=30在 RtAEF 中，AE= ，AED=DAE=30，sinAEF= ，AF=AE sinAEF= 213如图，已知梯形 ABCD 中，ADBC，AD=2，AB=BC=8，CD=10（1）求梯形 ABCD 的面积 S；（2）动点 P 从点 B 出发，以 1cm/s 的速度，沿 BADC 方向，向点 C 运动；动点 Q 从点 C 出发，以 1cm/s的速度，沿 CDA 方向，向点 A 运动，过点 Q 作 QEBC 于点 E若 P、Q 两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动
6、随之结束，设运动时间为 t 秒问：当点 P 在 BA 上运动时，是否存在这样的 t，使得直线 PQ 将梯形 ABCD的周长平分？若存在，请求出 t 的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的 t，使得以 P、A、D 为顶点的三角形与CQE 相似？若存在，请求出所有符合条件的 t 的值；若不存在，请说明理由；在运动过程中，是否存在这样的 t，使得以 P、D、Q 为顶点的三角形恰好是以 DQ 为一腰的等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的 t 的值；若不存在，请说明理由解答：S ABCD= （AD+BC）AB= （2+8）8=40（2）BP=CQ=t，AP=8t，DQ=10t，AP
7、+AD+DQ=PB+BC+CQ，8t+2+10t=t+8+tt=38当 t=3 秒时，PQ 将梯形 ABCD 周长平分第一种情况：0t8 若PADQEC 则ADP=C tanADP=tanC= = = ，t=若PADCEQ 则APD=C tanAPD=tanC= = ， =t=第二种情况：8t10，P、A、D 三点不能组成三角形；第三种情况：10t12ADP 为钝角三角形与 RtCQE 不相似；t= 或 t= 时，PAD 与CQE 相似第一种情况：当 0t8 时过 Q 点作 QEBC，QHAB，垂足为 E、HAP=8t，AD=2，PD= = CE= t，QE= t，QH=BE=8 t，BH=Q
8、E= tPH=t t= tPQ= = ，DQ=10t：DQ=DP，10t= ，解得 t=8 秒：DQ=PQ，10t= ，化简得：3t 252t+180=0 解得：t= ，t= 8（不合题意舍去）第二种情况：8t10 时DP=DQ=10t当 8t10 时，以 DQ 为腰的等腰DPQ 恒成立第三种情况：10t12 时DP=DQ=t10当 10t12 时，以 DQ 为腰的等腰DPQ 恒成立综上所述，t= 或 8t10 或 10t12 时，以 DQ 为腰的等腰DPQ 成立14已知矩形 ABCD，长 BC=12cm，宽 AB=8cm，P、Q 分别是 AB、BC 上运动的两点若 P 自点 A 出发，以 1
9、cm/s 的速度沿 AB 方向运动，同时，Q 自点 B 出发以2cm/s 的速度沿 BC 方向运动，问经过几秒，以 P、B、Q 为顶点的三角形与BDC 相似？分析：要使以 P、B、Q 为顶点的三角形与BDC 相似，则要分两两种情况进行分析分别是PBQBDC 或QBPBDC，从而解得所需的时间解：设经 x 秒后，PBQBCD，由于PBQ=BCD=90，（1）当1=2 时，有： ，即 ；（2）当1=3 时，有： ，即 ，经过 秒或 2 秒，PBQBCD315如图，在ABC 中，AB=10cm，BC=20cm，点 P 从点 A 开始沿 AB 边向 B 点以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从点 B开
10、始沿 BC 边向点 C 以 4cm/s 的速度移动，如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，问经过几秒钟，PBQ 与ABC 相似分析：设经过 t 秒后，PBQ 与ABC 相似，根据路程公式可得 AP=2t，BQ=4t，BP=102t，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可解：设经过秒后 t 秒后，PBQ 与ABC 相似，则有AP=2t，BQ=4t，BP=102t，当PBQABC 时，有 BP：AB=BQ：BC，即（102t）：10=4t：20，解得 t=2.5（s） （6 分）当QBPABC 时，有 BQ：AB=BP：BC，即 4t：10=（102t）：20，解得 t=1所以，
11、经过 2.5s 或 1s 时，PBQ 与ABC 相似（10 分） 解法二：设 ts 后，PBQ 与ABC 相似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=102t分两种情况：（1）当 BP 与 AB 对应时，有 = ，即 = ，解得 t=2.5s（2）当 BP 与 BC 对应时，有 = ，即 = ，解得 t=1s所以经过 1s 或 2.5s 时，以 P、B、Q 三点为顶点的三角形与ABC 相似16如图，ACB=ADC=90，AC= ，AD=2问当 AB 的长为多少时，这两个直角三角形相似解：AC= ， AD=2，CD= = 要使这两个直角三角形相似，有两种情况：（1）当 RtABCRtACD 时，有
12、 = ，AB= =3；（2）当 RtACBRtCDA 时，有 = ，AB= =3 故当 AB 的长为 3 或 3 时，这两个直角三角形相似19如图所示，梯形 ABCD 中，ADBC，A=90，AB=7，AD=2，BC=3，试在腰 AB 上确定点 P 的位置，使得以P，A，D 为顶点的三角形与以 P，B，C 为顶点的三角形相似解：（1）若点 A，P，D 分别与点 B，C，P 对应，即APDBCP， = ， = ，AP 27AP+6=0，AP=1 或 AP=6，检测：当 AP=1 时，由 BC=3，AD=2，BP=6， = ，又A=B=90，APDBCP当 AP=6 时，由 BC=3，AD=2，B
13、P=1，又A=B=90，APDBCP（2）若点 A，P，D 分别与点 B，P，C 对应，即APDBPC = ， = ，AP= 检验：当 AP= 时，由 BP= ，AD=2，BC=3， = ，又A=B=90，APDBPC因此，点 P 的位置有三处，即在线段 AB 距离点 A 的 1、 、6 处420ABC 和DEF 是两个等腰直角三角形，A=D=90，DEF 的顶点 E 位于边 BC 的中点上（1）如图 1，设 DE 与 AB 交于点 M，EF 与 AC 交于点 N，求证：BEMCNE；（2）如图 2，将DEF 绕点 E 旋转，使得 DE 与 BA 的延长线交于点M，EF 与 AC 交于点 N，
14、于是，除（1）中的一对相似三角形外，能否再找出一对相似三角形并证明你的结论分析：因为此题是特殊的三角形，所以首先要分析等腰直角三角形的性质：可得锐角为 45，根据角之间的关系，利用如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似可判定三角形相似；再根据性质得到比例线段，有夹角相等证得ECNMEN证明：（1）ABC 是等腰直角三角形，MBE=45，BME+MEB=135又DEF 是等腰直角三角形，DEF=45NEC+MEB=135BEM=NEC，而MBE=ECN=45，BEMCNE（2）与（1）同理BEMCNE， 又BE=EC， ，则ECN 与MEN 中有 ，又ECN=MEN=45，EC
15、NMEN21如图，在矩形 ABCD 中，AB=15cm，BC=10cm，点 P 沿 AB 边从点 A 开始向 B 以 2cm/s 的速度移动；点 Q 沿 DA边从点 D 开始向点 A 以 1cm/s 的速度移动如果 P、Q 同时出发，用 t（秒）表示移动的时间，那么当 t 为何值时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似分析：若以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似，有四种情况：APQBAC，此时得 AQ：BC=AP：AB；APQBCA，此时得 AQ：AB=AP：BC；可根据上述四种情况所得到的不同的对应成比例线段求出 t 的值解：以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似
16、，所以ABCPAQ 或ABCQAP，当ABCPAQ 时， ，所以 ，解得：t=6 ；当ABCQAP 时， ，所以 ，解得：t= ；故当 t=6 或 t= 时，以点 Q、A、P 为顶点的三角形与ABC 相似27如图，分别以直角三角形 ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用 S1，S 2，S 3表示，则不难证明S1=S2+S3（1）如图，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用 S1，S 2，S 3表示，那么S1，S 2，S 3之间有什么关系；（不必证明）（2）如图，分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用 S1、S 2、S 3表示，请你确
17、定S1，S 2，S 3之间的关系并加以证明；（3）若分别以直角三角形 ABC 三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用 S1，S 2，S 3表示，为使S1，S 2，S 3之间仍具有与（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件证明你的结论；（4）类比（1） ， （2） ， （3）的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论解：设直角三角形 ABC 的三边 BC、CA、AB 的长分别为 a、b、c，则 c2=a2+b2（1）S 1=S2+S3；（2）S 1=S2+S3证明如下：显然，S 1= ，S 2= ，S 3=S 2+S3= =S1；5（3）当所作的三个三角形相似时，S 1=S2+S3证明如下：所作三个三角形相似 =1 S 1=S2+S3；（4）分别以直角三角形 ABC 三边为一边向外作相似图形，其面积分别用 S1、S 2、S 3表示，则 S1=S2+S3
