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类型函数与方程思想习题.doc

  • 上传人:精品资料
  • 文档编号:10076595
  • 上传时间:2019-10-07
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    函数与方程思想习题.doc
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    1、函数与方程习题1.下列函数中有 2 个零点的是 ( )(A) (B) (C) (D) lgyx2xy2yx1yx2.若函数 在区间 上为减函数,则 在 上 ( )f,abf,ab(A)至少有一个零点 (B)只有一个零点(C)没有零点 (D)至多有一个零点3.若 函数 在上连续,且有 则函数 在 上 ( ),abfx0fabfx,ab(A)一定没有零点 (B)至少有一个零点(C)只有一个零点 (D)零点情况不确定4.若函数 在 上连续,且同时满足 , 则 ( )fx,ab0fab02abf(A) 在 上有零点 (B) 在 上有零点f,2fx,(C) 在 上无零点 (D) 在 上无零点fx,abf

    2、,2ab5.已知 是二次方程 的两个不同实根, 是二次方程 的两个不同实根,若 ,12,f 34,x0gx120gx则 ( )(A) , 介于 和 之间 (B) , 介于 和 之间1x234x3412(C) 与 相邻, 与 相邻 (D) , 与 , 相间相邻1x234x6.设函数 ,则函数 的零点是_)1,(,2)(xxf )(f7.已知关于 x 的一元二次方程 2x2+px+15=0 有一个零点是-3 ,则另一个零点是_8.函数 y=-x2+8x-16 在区间3,5上零点个数是_9.已知 f(x)的图象是连续不断的,有如下的 x 与 f(x)的对应值表:x 1 2 3 4 5 6f(x) 6

    3、.36 3.23 -1.76 -10.0 21.6 131则函数 f(x)存在零点的区间是_10.求证:方程 5x2-7x-1=0 的根在一个在区间( -1,0)上,另一个在区间(1,2)上。11.已知函数 f(x)=2(m-1)x2-4mx+2m-1(1)m 为何值时,函数的图象与 x 轴有两个不同的交点;(2)如果函数的一个零点在原点,求 m 的值。一、复习策略函数思想是一种通过构造函数从而应用函数图象、性质解题的思想方法,即用运动变化的思想观点,分析和研究具体问题中的数量关系,通过函数的形式把这种数量关系表示出来,并加以研究其内在的联系,使问题获解应用函数思想解题的基础是:常见函数的单调

    4、性、奇偶性、周期性、最值和图象变换等;熟练掌握一次函数、二次函数、指对数函数等具体特征;应用函数思想解题的关键是:善于观察题目的结构特征,揭示内在联系,挖掘隐含条件,从而恰当地构造函数和利用函数性质去解题方程思想是若干变量关系是通过解析式表示的,则可以把解析式看成一个等式,然后通过方程的讨论从而使问题获解许多问题中含有常量、变量和参量,可以通过适当方式,运用方程的观点去观察、深入分析问题的结构特点,抓住某一个关键变量,构造出这种等式来处理两种思想方法是相辅相成的,有关方程、不等式、最值等问题,利用函数、方程观点加以分析,常可以使问题“明朗化” ,从而易于找到适当解题途径历年的高考试题中,每年都

    5、有一些设问新颖的函数与方程题目,而且占有相当的比重,一些常见的解题规律和方法在这里得到比较充分的体现二、典例剖析题型一 根据等式的特点,构建方程例 1设 是方程 的两个不等实根,那么过点 和 的直线与圆的位置关系是( )A相离 B相切C相交 D随 的值而变化分析:判断直线与圆的位置关系,即判断圆心到直线的距离与圆的半径的关系解:由题意,得 ,即 ,因此 和 都在直线 上,原点到该直线的距离,过 的直线与单位圆相切点评:本题的关键之处在于求出过 两点的直线方程,这里是从方程的形式中观察出的,灵活运用函数与方程的思想,通过“设而不求”而得出的例 2对于函数 f(x),若存在 x0R,使 f(x0)

    6、=x0 成立,则称 x0 为 f(x)的不动点.已知函数 f(x)=ax2(b1)x(b 1)(a0)(1)若 a=1,b=2 时,求 f(x)的不动点;(2)若对任意实数 b,函数 f(x)恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围;(3)在(2)的条件下,若 y=f(x)图象上 A、B 两点的横坐标是函数 f(x)的不动点,且 A、B 关于直线y=kx 对称,求 b 的最小值解:(1)当 a=1,b=2 时, f(x)=x2x3,由题意可知 x=x2x3,得 x1=1,x 2=3故当 a=1,b=2 时,f(x)的两个不动点为 1,3(2)f(x)=ax 2(b1)x(b1)(a0) 恒有两

    7、个不动点,x=ax 2(b1)x(b 1),即 ax2bx(b1)=0 恒有两相异实根=b 24ab4a0(bR) 恒成立于是 =(4a)216a0 解得 0a1故当 bR ,f(x) 恒有两个相异的不动点时, 0a 1.(3)由题意 A、B 两点应在直线 y=x 上,设 A(x1,x 1),B(x 2,x 2)又A、B 关于 y=kx 对称k= 1. 设 AB 的中点为 M(x,y)x 1,x 2 是方程 ax2bx(b1)=0 的两个根x=y= ,又点 M 在直线 上有 ,即 a0,2a 2 当且仅当 2a= 即 a= (0 ,1) 时取等号,故 b ,得 b 的最小值 .例 3对于定义域

    8、为 D 的函数 ,若同时满足下列条件:f(x)在 D 内单调递增或单调递减;存在区间 使 f(x)在 上的值域为 ;那么把 叫闭函数(1)求闭函数 符合条件的区间 ;(2)判断函数 是否为闭函数?并说明理由;(3)若 是闭函数,求实数 k 的范围分析:这是一个新定义型的题目,要能从题中所给信息,进行加工提炼,得出解题的条件解:(1)由题意, 上递减,则 解得所以,所求的区间为1,1 (2)当所以,函数在定义域上不单调递增或单调递减,从而该函数不是闭函数(3)若 是闭函数,则存在区间a, b,在区间a ,b上,函数 f(x)的值域为a,b,即, 的两个实数根,即方程 有两个不等的实根设 f(x)

    9、=x2(2k1)x k 22.法一:当 时有 解得 当 有 此时不等式组无解综上所述, 法二:只需满足方程 x2(2k1)x k 220 有两大于或等于 k 的不等实根,即:点评:在解数学题的过程中,寻找一个命题 A 的等价命题 B 往往是解题的关键,本题就是运用函数与方程的思想把一个看似函数性质讨论的问题转化为方程解的讨论问题题型二 函数与方程思想在数列中的应用例 4已知等差数列 的公差 ,对任意 都有 ,函数 (1)求证:对任意 ,函数 的图象过一定点(2)若 ,函数 f(x)与 x 轴的一个交点为 ( ),且 ,求数列 的通项公式(3)在(2)的条件下,求 分析:函数 f(x)的图象过一

    10、定点,可运用等差数列的性质进行论证;后一问中可运用根与系数的特点进行求解解:(1) 为等差数列,故 ,故 必是方程 的一个根,即方程 均有一个相同的根为1故函数 f(x)过一定点(1,0)(2)方程 的两根为 与 有 ,故 ,(3) ,故 点评:数列综合题往往和函数、方程、不等式相结合,以数列为载体,利用函数性质研究数列与方程,或以数列为载体,利用方程为工具去研究相关函数或数列的性质题型三 函数与方程思想在不等式中的应用例 5设 abc,且 abc=0,抛物线 被 x 轴截得的弦长为 l,求证: 分析:由于弦长 l 是与 a,b,c 有关的变量,若能建立 的表达式,那么结论相当于确定该函数的值

    11、域为了确定函数 的值域,需要解决好三个问题:一是求出变量 l 关于 a,b,c 的解析式;二是将这个多元函数通过集中变量、消元或变量代换转化为一元函数;三是需要确定这个一元函数的定义域证明:,且 从而 故抛物线 与 x 轴有两个不同的交点,即方程 必有两个不相等的实数根,由韦达定理得 可见, 是 的二次函数由 及 ,得 ,解得 在 上是减函数,即 点评:应用函数与方程思想处理不等式问题,关键在于构造一个适当的函数和用好方程理论,弄清函数、方程及不等式的内在联系,树立相互转化的观点例 6已知函数 f(x)=6x6x 2,设函数 g1(x)=f(x), g2(x)=fg 1(x), g3(x)=f

    12、g 2(x),g n(x)=fg n1 (x),(1)求证:如果存在一个实数 x0,满足 g1(x0)=x0,那么对一切 nN,g n(x0)=x0 都成立;(2)若实数 x0 满足 gn(x0)=x0,则称 x0 为稳定不动点,试求出所有这些稳定不动点;(3)设区间 A=(,0),对于任意 xA,有 g1(x)=f(x)=a0,g 2(x)=fg 1(x)=f(0)0,且 n2时,gn(x)0试问是否存在区间 B(AB ),对于区间内任意实数 x,只要 n2,都有 gn(x)0(1)证明:当 n=1 时,g 1(x0)=x0 显然成立;设 n=k 时,有 gk(x0)=x0(kN)成立,则

    13、gk1 (x0)=fg k(x0)=f(x 0)=g1(x0)=x0即 n=k1 时,命题成立 .对一切 nN,若 g1(x0)=x0,则 gn(x0)=x0(2)解:由(1)知,稳定不动点 x0 只需满足 f(x0)=x0由 f(x0)=x0,得 6x06x 02=x0,x 0=0 或 x0= 稳定不动点为 0 和 .(3)解:f(x) 0,得 6x6x 20 x0 或 x1.g n(x) 0 fg n1 (x)0 gn1 (x)0 或 gn1 (x)1要使一切 nN,n2,都有 gn(x)0,必须有 g1(x)0 或 g1(x)1.由 g1(x) 0 6x6x 2 0 x0 或 x1由 g

    14、1(x) 0 6x6x 2 1 故对于区间( )和(1,)内的任意实数 x,只要 n2,nN,都有 gn(x)0题型四 函数与方程思想在三角函数中的应用例 7已知函数 f(x)=x2(m1)xm(m R)(1)若 tanA,tanB 是方程 f(x)4=0 的两个实根,A、B 是锐角三角形 ABC 的两个内角.求证:m5;(2)对任意实数 ,恒有 f(2cos)0 ,证明 m3;(3)在(2)的条件下,若函数 f(sin)的最大值是 8,求 m分析:利用一元二次方程的韦达定理、二次函数在区间上的最值的求法,三角函数的值域进行求解解题时要深挖题意,做到题意条件都明确,隐性条件注意列列式要周到,不

    15、遗漏(1)证明:f(x)4=0 即 x2(m 1)xm4=0 依题意:又 A、B 锐角为三角形内两内角, ABtan(AB)0,即 m5(2)证明:f(x)=(x1)(x m) ,又1cos1,12 cos3,恒有 f(2cos)0即 1x3时,恒有 f(x)0即(x1)(xm)0,mx 但 xmax=3,mx max=3(3)解:f(sin)=sin 2(m1)sinm= ,且 2,当 sin=1 时,f(sin) 有最大值 8即 1(m1)m=8 ,m=3点评:在解答过程中,第(1) 问中易漏掉 0和 tan(AB)0,第(2) 问中如何保证 f(x)在1,3上恒小于等于零为关键题型五 函

    16、数与方程思想在解析几何中的应用例 8给定抛物线 ,F 是 C 的焦点,过点 F 的直线 l 与 C 相交于 A,B 两点.(1)设 l 的斜率为 1,求 与 的夹角的大小;(2)设 ,若 ,求 l 在 y 轴上的截距的变化范围.解:(1)C 的焦点为 F(1,0),直线 l 的斜率为 1,所以 l 的方程为 将 代入方程 ,并整理得设 则有所以 夹角的大小为(2)由题设 得即 由得 , 联立、解得 ,依题意有 又 F(1,0),得直线 l 方程为当 时,l 在 y 轴上的截距为设 ,可知 在4,9 上是递减的,(或用导数 ,证明 是减函数)直线 l 在 y 轴上截距的变化范围为点评:不少解析几

    17、何问题,其中某些元素处于运动变化之中,存在着相互联系、相互制约的量,它们之间往往构成函数关系;对于直线和曲线交点问题,经常要转化为方程问题,用方程的理论加以解决例 9直线 和双曲线 的左支交于 A、B 两点,直线 l 过点 P(2,0)和线段 AB 的中点M,求 l 在 y 轴上的截距 b 的取值范围分析:b 的变化是由于 k 的变化而引起的,即对于 k 的任一确定的值,b 有确定的值与之对应,因此 b 是 k 的函数,本题即为求这个函数的值域解:由 消去 y,得 ( )因为直线 m 与双曲线的左支有两个交点,所以方程( )有两个不相等的负实数根所以 解得 设 ,则由 三点共线,得出 设 ,则

    18、 在 上为减函数,且 ,或 ,或 点评:根据函数的思想建立 b 与 k 的函数关系,根据方程的思想,运用二次方程的理论具体求出 b 的表达式,是解此题的两个关键问题不少解析几何问题,其中某些元素处于运动变化之中,存在着相互联系、相互制约的量,它们之间往往构成函数关系;对于直线和曲线交点问题,经常要转化为方程问题,用方程的理论加以解决题型六 函数与方程思想在立体几何中的应用例 10如图,已知 面 , 于 D, (1)令 , ,试把 表示为 x 的函数,并求其最大值;(2)在直线 PA 上是否存在一点 Q,使 成立?分析:(1)为寻求 与 x 的关系,首先可以将 转化为 (2)由正切函数的单调性可

    19、知:点 Q 的存在性等价于:是否存在点 Q 使得 解:(1) 面 , 于 D, 为 在面 上的射影 ,即 即 的最大值为 ,等号当且仅当 时取得(2) 令 ,解得: ,与 交集非空满足条件的点 Q 存在点评:本题将立体几何与代数融为一体,不仅要求有一定的空间想象力,而且,做好问题的转化是解决此题的关键题型七 函数与方程思想在实际问题中的应用例 11某工厂 2005 年生产利润逐月增加,且每月增加的利润相同,但由于厂方正在改造建设,一月份投入的建设资金恰与一月份的利润相等,随着投入资金的逐月增加,且每月增加投入的百分率相同,到十二月份投入的建设资金又恰与十二月份生产利润相同,问全年总利润 W 与全年总投入资金 N 的大小关系是( )AWN BWN,故选 A点评:函数的图象是函数的方程思想中的重要的手段,有时运用图象解题可以使人耳目一新的感觉,可以使解题过程简单优美

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