1、1 第1讲 三角函数问题 题型1 三角函数的图象问题 (对应学生用书第1页) 核心知识储备 1 “五点法”作图 用五点法画yAsin(x)在一个周期内的简图时，一般先列表，后描点，连线， 其中所列表如下： x 2 3 2 2 x 0 2 3 2 2 Asin(x) 0 A 0 A 0 2图象变换 典题试解寻法 【典题 1】 (考查三角函数图象的平移变换) (2017全国卷)已知曲线C 1 ：ycos x，C 2 ：ysin ，则下面 ( 2x 2 3 ) 结论正确的是( ) A把C 1 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲 线向右平移 个单位长度，得到曲线C 2 62 B把
2、C 1 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平 移 个单位长度，得到曲线C 2 12 C把C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 1 2 个单位长度，得到曲线C 2 6 D把C 1 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 1 2 个单位长度，得到曲线C 2 12 思路分析 异名三角函数 同名三角函数 诱导公式得结论 图象的伸缩和平移变换解析 因为ysin cos cos ，所以曲线 ( 2x 2 3 ) ( 2x 2 3 2 ) ( 2x 6 ) C 1 ：ycos x上各点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标
3、不变，得到曲线ycos 2x， 1 2 再把得到的曲线ycos 2x向左平移 个单位长度，得到曲线ycos 12 2 cos .故选D. ( x 12 ) ( 2x 6 ) 答案 D 【典题 2】 (考查已知三角函数的图象求解析式)(2017洛阳模拟)函数f(x) 2sin(x) 的部分图象如图11所示，已知图象经过点A(0,1)， ( 0，0 2 ) B ，则f(x)_. ( 3 ，1 ) 【导学号：07804000】 图11 思路分析 由图象得周期T，利用T 得由特殊点A(0,1)得关于的三 2 角方程利用的范围确定的值f(x)3 解析 由已知得 ，T ，又T ，3. T 2 3 2 3
4、2 f(0)1，sin ，又0 ， ， 1 2 2 6 f(x)2sin (经检验满足题意) ( 3x 6 ) 答案 2sin ( 3x 6 ) 类题通法 1当原函数与所要变换得到的目标函数的名称不同时，首先要将函数名称统一， 将ysin x0的图象变换成ysinx的图象时，只需进行平移 变换，应把x变换成 ，根据 确定平移量的大小，根据 的符号 ( x ) | | 确定平移的方向. 2函数yAsinx的解析式的确定 A由最值确定，A ； 最大值最小值 2 由周期确定； 3由图象上的特殊点确定. 通常利用峰点、谷点或零点列出关于的方程，结合的范围解得的值，所列 方程如下： 峰点：x 2k；谷点
5、：x 2k.,利用零点时，要区分该 2 2 零点是升零点，还是降零点. 升零点图象上升时与x轴的交点：x2k； 降零点图象下降时与x轴的交点：x2k.以上kZ 对点即时训练 1已知函数f(x)sin 2 (x) (0)的最小正周期为 ，若将其图象沿x轴向右平移 1 2 2 a(a0)个单位，所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为( ) A B 4 3 4 C D 2 8 D 依题意得f(x) cos 2x，最小正周期 1cos 2x 2 1 2 1 2 T ，2，所以f(x) cos 4x，将f(x) cos 4x的图象向右平移 2 2 2 1 2 1 24 a个单位后得到函数g(x) co
6、s4(xa)的图象又函数g(x)的图象关于原点 1 2 对称 因此有g(0) cos 4a0,4ak ，kZ，即a ，kZ，因此正实 1 2 2 k 4 8 数a的最小值是 ，选D. 8 2函数f(x)Asin(x)(A，为常数，A0，0,0)的图象如图 12所示，则f 的值为_ ( 3 ) 图12 1 根据图象可知，A2， ，所以周期T， 2. 3T 4 11 12 6 2 T 又函数过点 ， ( 6 ，2 ) 所以有sin 1，而0， ( 2 6 ) 所以 ，则f(x)2sin ， 6 ( 2x 6 ) 因此f 2sin 1. ( 3 ) ( 2 3 6 ) 题型强化集训 (见专题限时集训
7、T 3 、T 5 、T 11 ) 题型2 三角函数的性质问题 (对应学生用书第2页) 核心知识储备 1三角函数的单调区间： ysin x的单调递增区间是 (kZ)，单调递减区间是 2k 2 ，2k 2 (kZ)；ycos x的单调递增区间是2k，2k 2k 2 ，2k 3 2 (kZ)，单调递减区间是2k，2k(kZ)；ytan x的单调递增区间是5 (kZ) ( k 2 ，k 2 ) 2三角函数的对称性 yAsin(x)，当k(kZ)时为奇函数；当k (kZ)时为偶函 2 数；对称轴方程可由xk (kZ)求得 2 yAcos(x)，当k (kZ)时为奇函数；当k(kZ)时为偶函 2 数；对称
8、轴方程可由xk(kZ)求得 yAtan(x)，当k(kZ)时为奇函数 3三角函数的最值 (1)yasin xbcos xc型函数的最值： 通过引入辅助角可将此类函数的最值问题转化为y sin(x)c a2b2 的最值问题，然后利用三角函数的图象和性质求解 ( 其中tan b a ) (2)yasin 2 xbsin xcos xccos 2 x型函数的最值：可利用降幂公式sin 2 x ，sin xcos x ，cos 2 x ，将yasin 2 xbsin xcos 1cos 2x 2 sin 2x 2 1cos 2x 2 xccos 2 x转化为yAsin 2xBcos 2xC，这样就可将
9、其转化为(1)的类型来求最 值 典题试解寻法 【典题 1】 (考查三角函数图象的对称性)将函数f(x)cos 2x的图象向右平移 个单位 4 后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质( ) A最大值为1，图象关于直线x 对称 2 B在 上单调递增，为奇函数 ( 0， 4 ) C在 上单调递增，为偶函数 ( 3 8 ， 8 ) D周期为，图象关于点 对称 ( 3 8 ，0 ) 解析 由题意可得将f(x)cos 2x的图象向右平移 个单位得到g(x)cos 4 cos sin 2x的图象，因为函数g(x)为奇函数，所以排除C， 2 ( x 4 ) ( 2 2x ) 又当x 时函数值为0，当x
10、时，函数值为 ，所以A和D中对称的说法不 2 3 8 2 26 正确，选B. 答案 B 【典题 2】 (考查三角函数的值域问题)(2017全国卷)函数f(x) sin 2 x cos x 的最大值是_ 3 3 4 ( x 0， 2 ) 解析 f(x)1cos 2 x cos x 1. 3 3 4 ( cos x 3 2 ) 2x ， 0， 2 cos x0,1， 当cos x 时，f(x)取得最大值，最大值为1. 3 2 答案 1 【典题 3】 (考查三角函数的定义域、周期性及单调性的判断)已知函数f(x)4tan xsin cos . ( 2 x ) ( x 3 ) 3 【导学号：07804
11、001】 (1)求f(x)的定义域与最小正周期； (2)讨论f(x)在区间 上的单调性 4 ， 4 解 (1)f(x)的定义域为Error!. f(x)4tan xcos xcos 4sin xcos ( x 3 ) 3 ( x 3 ) 3 4sin x 2sin xcos x2 sin 2 x ( 1 2 cos x 3 2 sin x ) 3 3 3 sin 2x (1cos 2x) sin 2x cos 2x2sin . 3 3 3 ( 2x 3 ) 所以f(x)的最小正周期T . 2 2 (2)令z2x ，则函数y2sin z的单调递增区间是 ， 3 2 2k， 2 2k kZ. 由
12、2k2x 2k，得 kx k，kZ. 2 3 2 12 5 12 设A ，BError!，易知 AB . 4 ， 4 12 ， 4 所以当x 时，f(x)在区间 上单调递增，在区间 4 ， 4 12 ， 4 7 上单调递减 4 ， 12 类题通法 函数yAsin(x)的性质及应用的求解思路 第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成yAsin(x) B的形式； 第二步：把“x”视为一个整体，借助复合函数性质求yAsin(x)B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题 对点即时训练 1已知函数f(x)sin(x2)2sin cos(x)(0，R)在 上 ( ， 3 2 ) 单调递减
13、，则的取值范围是( ) A(0,2 B ( 0， 1 2 C D 1 2 ，1 1 2 ， 5 4 C f(x)sin(x)2sin cos(x)cos sin(x)sin cos(x)sin x， 2kx 2k，kZ x 2 3 2 2 2k ，kZ，所以函数f(x)的单调递减区间为 ， 3 2 2k 2 2k ， 3 2 2k kZ，所以 ，kZ，由 ，可得 2 2k 3 2 3 2 2k 2 2k 2k，kZ，由 ，kZ，可得1 ，kZ，所以 1 2 3 2 3 2 2k 4k 3 2k1 ，kZ，又 ，所以 ，因为0，所以 1 2 4k 3 T 2 3 2 2 2 02，所以当k0时，
14、 1.故选C. 1 2 2已知函数f(x)Acos 2 (x)1 的最大值为3，f(x)的 ( A0，0，0 2 ) 图象与y轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f(1)f(2) f(2 016)( ) 【导学号：07804002】 A2 468 B3 501 C4 032 D5 739 C f(x) cos(2x2) 1.由相邻两条对称轴间的距离为2，知 2，得 A 2 A 2 T 28 T4 ， ，由f(x)的最大值为3，得A2.又f(x)的图象过点(0,2)， 2 2 4 cos 20，2k (kZ)，即 (kZ)，又 2 k 2 4 0 ， ，f(x)cos 2s
15、in 2.f(1)f(2) 2 4 ( 2 x 2 ) x 2 f(2 016)(12)(02)(12)(02)(12)(02) 22 0164 032. 题型强化集训 (见专题限时集训T 1 、T 4 、T 6 、T 7 、T 8 、T 12 、T 13 、T 14 ) 题型3 三角恒等变换 (对应学生用书第4页) 核心知识储备 1两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin()sin cos cos sin ； (2)cos()cos cos sin sin ； (3)tan() . tan tan 1 tan tan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 22sin cos ；
16、 (2)cos 2cos 2 sin 2 2cos 2 112sin 2 ； (3)tan 2 . 2tan 1tan2 3辅助角公式 asin xbcos x sin(x) . a2b2 ( 其中tan b a ) 典题试解寻法 【典题 1】 (考查给式求角问题)(2014全国卷)设 ， ，且tan ( 0， 2 ) ( 0， 2 ) ，则( ) 1sin cos A3 B2 2 2 C3 D2 2 2 解析 法一：(切化弦)由tan 得 ， 1sin cos sin cos 1sin cos 即sin cos cos cos sin ，9 sin()cos sin . ( 2 ) ， ，
17、( 0， 2 ) ( 0， 2 ) ， ， ( 2 ， 2 ) 2 ( 0， 2 ) 由sin()sin ，得 ， ( 2 ) 2 2 . 2 法二：(弦化切)tan 1sin cos 1cos ( 2 ) sin ( 2 ) 2cos2 ( 4 2 ) 2sin ( 4 2 ) cos ( 4 2 ) cot ( 4 2 ) tan 2 ( 4 2 ) tan ， ( 4 2 ) k ，kZ， ( 4 2 ) 22k ，kZ. 2 当k0时，满足2 ，故选B. 2 答案 B 【典题 2】 (考查给值求值问题)(2016江西八校联考)如图13，圆O与x轴的正半轴的 交点为A，点C，B在圆O上，
18、且点C位于第一象限，点B的坐标为 ， ( 12 13 ， 5 13 ) AOC，若|BC|1，则 cos 2 sin cos 的值为_. 3 2 2 2 3 2 【导学号：07804003】10 图13 解析 由题意可知|OB|BC|1，OBC为正三角形 由三角函数的定义可知，sinAOBsin ， ( 3 ) 5 13 cos 2 sin cos cos sin 3 2 2 2 3 2 31cos 2 sin 2 3 2 3 2 1 2 sin . ( 3 ) 5 13 答案 5 13 类题通法 解决三角函数式的化简求值要坚持“三看”原则：一看“角” ，通过看角之间的差别 与联系，把角进行合
19、理的拆分；二是“函数名称” ，是需进行“切化弦”还是“弦化切”等， 从而确定使用的公式；三看“结构特征” ，了解变式或化简的方向. 对点即时训练 1对于锐角，若sin ，则cos ( ) ( 12 ) 3 5 ( 2 3 ) A B 24 25 3 8 C D 2 8 24 25 D 由为锐角，且sin ，可得cos ，那么 ( 12 ) 3 5 ( 12 ) 4 5 cos cos cos cos sin sin ，于 ( 6 ) ( 12 ) 4 ( 12 ) 4 ( 12 ) 4 2 10 是cos 2cos 2 12 1 .故选D. ( 2 3 ) ( 6 ) ( 2 10 ) 224
20、 25 2已知tan ，tan ，且0 ， ，则2的值为 1 3 1 7 2 2 _ tan 2 ， 3 4 2tan 1tan2 3 4 又0 ，所以2 ，又 ， 2 ( 0， 2 ) 211 所以2(，0)，又tan ，则tan(2) 1 7 1， tan 2tan 1tan 2tan 3 4 1 7 1 3 28 故2 . 3 4 题型强化集训 (见专题限时集训T 2 、T 9 、T 10 ) 三年真题| 验收复习效果 (对应学生用书第4页) 1(2015全国卷)sin 20cos 10cos 160sin 10( ) A B. C D. 3 2 3 2 1 2 1 2 D sin 20
21、cos 10cos 160sin 10sin 20cos 10cos 20sin 10sin(2010)sin 30 ，故选D. 1 2 2(2016全国卷)若tan ，则cos 2 2sin 2( ) 3 4 A B C1 D 64 25 48 25 16 25 A 因为tan ，则cos 2 2sin 2 3 4 cos2 4sin cos sin2cos2 .故选A. 14tan tan21 14 3 4 ( 3 4 ) 21 64 25 3(2016全国卷)若将函数y2sin 2x的图象向左平移 个单位长度，则平 12 移后图象的对称轴为( ) 【导学号：07804004】 Ax (k
22、Z) k 2 6 Bx (kZ) k 2 6 Cx (kZ) k 2 1212 Dx (kZ) k 2 12 B 将函数y2sin 2x的图象向左平移 个单位长度，得到函数y2sin 12 2 2sin 的图象由2x kx (kZ)，得x (kZ)， ( x 12 ) ( 2x 6 ) 6 2 k 2 6 即平移后图象的对称轴为x (kZ) k 2 6 4(2017全国卷)设函数f(x)cos ，则下列结论错误的是( ) ( x 3 ) Af(x)的一个周期为2 Byf(x)的图象关于直线x 对称 8 3 Cf(x)的一个零点为x 6 Df(x)在 单调递减 ( 2 ， ) D A项，因为f(
23、x)cos 的周期为2k(kZ)，所以f(x)的一个周期为 ( x 3 ) 2，A项正确 B项，因为f(x)cos 图象的对称轴为直线xk (kZ)，所以yf(x)的 ( x 3 ) 3 图象关于直线x 对称，B项正确 8 3 C项，f(x)cos .令x k (kZ)，得xk ，当 ( x 4 3 ) 4 3 2 5 6 k1时，x ，所以f(x)的一个零点为x ，C项正确 6 6 D项，因为f(x)cos 的递减区间为 (kZ)，递增区 ( x 3 ) 2k 3 ，2k 2 3 间为Error!Error!(kZ)，所以 是减区间， 是增区间，D项错 ( 2 ， 2 3 ) 2 3 ， )
24、 误故选D. 5(2015全国卷)函数f(x)cos(x)的部分图象如图14所示，则f(x)的单调 递减区间为( ) 【导学号：07804005】13 图14 A. ，kZ ( k 1 4 ，k 3 4 ) B. ，kZ ( 2k 1 4 ，2k 3 4 ) C. ，kZ ( k 1 4 ，k 3 4 ) D. ，kZ ( 2k 1 4 ，2k 3 4 ) D 由图象知，最小正周期T2 2， ( 5 4 1 4 ) 2，. 2 由 2k，kZ，不妨取 ， 1 4 2 4 f(x)cos . ( x 4 ) 由2kx 2k，kZ，得2k x2k ，kZ，f(x)的单调递减区 4 1 4 3 4
25、间为 ，kZ.故选D. ( 2k 1 4 ，2k 3 4 ) 6(2016全国卷)已知函数f(x)sin(x) ， ( 0，| 2 ) x 为f(x)的零点，x 为yf(x)图象的对称轴，且f(x)在 4 4 上单调，则 的最大值为( ) ( 18 ， 5 36 ) A11 B9 C7 D5 B 因为f(x)sin(x)的一个零点为x ，x 为yf(x)图象的对称 4 4 轴，所以 k (k为奇数)又T ，所以k(k为奇数) T 4 2 2 又函数f(x)在 上单调， ( 18 ， 5 36 )14 所以 ，即12. 12 1 2 2 若11，又| ，则 ，此时，f(x)sin ，f(x)在 2 4 ( 11x 4 ) 上单调递增，在 上单调递减，不满足条件 ( 18 ， 3 44 ) ( 3 44 ， 5 36 ) 若9，又| ，则 ，此时，f(x)sin ，满足f(x)在 2 4 ( 9x 4 ) 上单调的条件故选B. ( 18 ， 5 36 )
