1、1 大题规范练(八) “20题、21题”24分练 (时间：30分钟 分值：24分) 解答题(本大题共2小题，共24分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 20已知函数f(x)ln(mx)x1，g(x)(x1)e x mx，m0. (1)若f(x)的最大值为0，求m的值； (2)求证：g(x)有且仅有一个极值点x 0 ，且 ln(m1)x 0 m. 1 2 【导学号：04024244】 解：(1)由m0，得f(x)的定义域为(0，) f(x) 1 .当x1时，f(x)0； 1 x 1x x 当00，f(x)单调递增； 当x1时，f(x)1时，h(x)0，h(x)单调递增 故当x1时，h(x)
2、取得最小值h(1)e 1 m0. 当x0，所以 h(x)有且仅有一个零点x 0 ，且x 0 (1，m) 由(1)知ln xx1，又m0， 所以 ln(m1) . 1 2 ( 0， 1 2 m ) 而h h(ln ) ( 1 2 lnm1 ) m1 ln m ( 1)m m1 m1 m1 m1 1 0， m1 则x 0 ln(m1)， 1 2 故h(x)有且仅有一个零点x 0 ，且 ln(m1)x 0 m， 1 2 即g(x)有且仅有一个极值点x 0 ，且 ln(m1)x 0 m. 1 22 21已知圆C：(x1) 2 y 2 20，点B(1,0)，点A是圆C上的动点，线段AB的垂直平分 线与线
3、段AC交于点P. (1)求动点P的轨迹C 1 的方程； (2)设M ，N为抛物线C 2 ：yx 2 上的一动点，过点N作抛物线C 2 的切线交曲线 ( 0， 1 5 ) C 1 于P，Q两点，求MPQ面积的最大值. 【导学号：04024245】 解：(1)由已知可得，点P满足|PB|PC|AC|2 2|BC|， 5 动点P的轨迹C 1 是一个焦点在x轴上的椭圆，其中2a2 ，2c2， 5 动点P的轨迹C 1 的方程为 1. x2 5 y2 4 (2)设N(t，t 2 )，则直线PQ的方程为yt 2 2t(xt)， 整理，得y2txt 2 .设P(x 1 ，y 1 )，Q(x 2 ，y 2 ) 联立Error!消去y整理得，(420t 2 )x 2 20t 3 x5t 4 200， 有Error! |PQ| |x 1 x 2 | 14t2 ， 14t2 80420t2t4 420t2 又点M到直线PQ的距离d ， 1 5 t2 14t2 S MPQ |PQ|d ， 1 2 5 10 t2102104 5 10 104 130 5 当t 2 10时，MPQ的面积的最大值为 . 130 5
