1、1,补充,利息理论基础,补2,参考资料 王晓军等.保险精算学，中国人民大学出版社，1995年。 杨全成主编：保险精算技术，复旦大学出版社，2006年。 范兴华、邹公明，保险精算通论，清华大学出版社，2007年。,补3,利息理论要点,利息的度量 利息问题求解的原则 年金 收益率 分期偿还表与偿债基金,4,第一节,利息的度量,补5,第一节汉英名词对照,积累值（终值） 现实值 实际利率 单利 复利 名义利率 贴现率 利息效力,Accumulated value Present value Effective annual rate Simple interest Compound interest
2、Nominal interest Discount rate Force of interest,补6,一、利息的定义,定义： 利息产生在资金的所有者和使用者不统一的场合，它的实际是资金的使用者付给资金所有者的租金，用以补偿所有者在资金租借期内不能支配该笔资金而蒙受的损失。 影响利息大小的三要素： 本金(K) 利率(i) 时期长度(t),补7,二、利息的度量,单位积累函数总额积累函数贴现函数第n期利息,0,t,1- K-Ka(t)-1,t1,t2,特别的， a(0)=1 ,A(0)K,补8,利息度量一计息时刻不同,期末计息利率 第N期实际利率期初计息贴现率（预付利率） 第N期实际贴现率,补9,
3、例1.1 实际利率/贴现率,某人存1000元进入银行，第1年末存款余额为1020元，第2年存款余额为1050元，求分别等于多少？,补10,例1.1答案,A(2),A(2),A(1),补11,利息度量二积累方式不同,线形积累 单利单贴现,指数积累 复利复贴现,补12,单复利计息之间的相关关系,单利的实际利率逐期递减，复利的实际利率保持恒定。 单贴现的实际利率逐期递增，复贴现的实际利率保持恒定。时，相同单复利场合，单利计息比复利计息产生更大的积累值。所以短期业务一般单利计息。时，相同单复利场合，复利计息比单利计息产生更大的积累值。所以长期业务一般复利计息。,补13,例1.2,某人存5000元进入银
4、行，若银行分别以2%的单利计息、复利计息、单贴现计息、复贴现计息，问此人第5年末分别能得到多少积累值？,补14,例1.2答案,补15,利息的度量三利息转换频率不同,实际利率：以一年为一个利息转换期，该利率记为实际利率，记为 。 名义利率：在一年里有m个利息转换期，假如每一期的利率为j，记 为 这一年的名义利率， 。 利息力：假如连续计息，那么在任意时刻t的瞬间利率叫作利息力，记为 。 实际贴现率和名义贴现率的定义与实际利率、名义利率类似。,补16,实际利率与实际贴现率关系,要记住,贴现因子,折现函数,补17,名义利率,名义利率,补18,名义贴现率,名义贴现率,补19,例1.3,1.确定500元
5、以季度转换8%年利率投资5年的积累值。 2.如以6%年利，按半年为期预付及转换，到第6年末支付1000元，求其现时值。 3.确定季度转换的名义利率，使其等于月度转换6%名义贴现率。,补20,例1.3答案,1.2.3.,补21,利息强度（利息效力）,定义：瞬间时刻利率强度,记 住,利息力是资本连续获得利息的强度；利率是说明资本在期末获得利息的强度；贴现率说明资本在期初获得利息的强度。,补22,用导数定义来分析利息力的本质,补23,用导数定义来分析利息力的本质,如果每个计息期间的实际利率都为i，则利息力也为常数，有,补24,将定义,变形如下：,将上式两端从0到n进行积分得：,一些相应的等价公式,补
6、25,一些相应的等价公式,一般公式（单位本金在时刻t时的积累值）,补26,一些相应的等价公式,恒定利息效力场合（记住！）,补27,例1.4,确定1000元按如下利息效力投资10年的积累值 1.2.,补28,例1.4答案,补29,三、变利息,什么是变利息？ 常见的变利息情况 连续变化场合：函数利息力离散变化场合：,补30,例1.5,1.如果 ，试确定1在n年末的积累值。 2.如果实际利率在头5年为5%，随之5年为4.5%，最后5年为4%，试确定1000元在15年末的积累值。 3.假定一笔资金头3年以半年度转换年利率6%计息，随之2年以季度转换8%的年贴现率计息，若5年后积累值为1000元，问这笔
7、资金初始投资额应该为多少？,补31,例1.5答案,32,第二节,利息问题求解原则,补33,一、利息问题求解四要素,原始投资本金 投资时期长度 利率及计息方式 期初/期末计息：利率/贴现率 积累方式：单利计息、复利计息 利息转换时期：实际利率、名义利率、利息效力 本金在投资期末的积累值,补34,二、利息问题求解原则,本质：任何一个有关利息问题的求解本质都是对四要素知三求一的问题 工具：现金流图方法：建立现金流分析方程（求值方程） 原则：在任意时间参照点，求值方程等号两边现时值相等。,补35,例1.6：求本金,某人为了能在第7年末得到1万元款项，他愿意在第一年末付出1千元，第3年末付出4千元，第8
8、年末付出X元，如果以6%的年利率复利计息，问X=？,补36,例1.6答案,以第7年末为时间参照点，有以第8年末为时间参照点，有以其他时刻为时间参照点（同学们自己练习）,补37,例1.7：求利率,（1）某人现在投资4000元，3年后积累到5700元，问季度计息的名义利率等于多少？ （2）某人现在投资3000元，2年后再投资6000元，这两笔钱在4年末积累到15000元，问实际利率=？,补38,例1.7答案,（1）（2）,补39,例1.8：求时间,假定 分别为12%、6%、2%，问在这三种不同的利率场合复利计息，本金翻倍分别需要几年？,补40,例1.8精确答案,补41,例1.9近似答案,补42,例
9、1.10：求积累值,某人现在投资1000元，第3年末再投资2000元，第5年末再投资2000元。其中前4年以半年度转换名义利率5%复利计息，后三年以恒定利息力3%计息，问到第7年末此人可获得多少积累值？,补43,例1.10答案,44,第三节,确定年金,补45,第三节汉英名词对照,年金 支付期 延付年金 初付年金 永久年金 变额年金 递增年金 递减年金,Annuity Payment period Annuity-immediate Annuity-due perpetuity Varying annuity Increasing annuity Decreasing annuity,补46,一
10、、年金的定义与分类,定义 按一定的时间间隔支付的一系列付款称为年金。原始含义是限于一年支付一次的付款，现已推广到任意间隔长度的系列付款。 分类 基本年金 等时间间隔付款 付款频率与利息转换（即结算）频率一致 每次付款金额恒定 一般年金 不满足基本年金三个约束条件的年金即为一般年金。,补47,二、基本年金,基本年金 等时间间隔付款 付款频率与利息转换频率一致 每次付款金额恒定 分类 付款时刻不同：初付年金/延付年金 付款期限不同：有限年金/永久年金,补48,基本年金图示,0 1 2 3 - n n+1 n+2-,1 1 1 - 1 0 0-,1 1 1 - 1 0 0 0-,1 1 - 1 1
11、1-,1 1 1 - 1 1 1-,延付永久年金,初付永久年金,延付年金,初付年金,补49,基本年金公式推导,n期期末付款的年金现值,n期期初付款的年金现值,补50,延期确定年金,期末支付,期初支付,补51,例1.11,一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年转换9%，求此项年金的现时值。,补52,例1.12,某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问： （1）他每月等额还款额等于多少？ （2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱？,补53,例1.12答案,（1）（2）,补54,例1.13,假定
12、现在起立即开始每6个月付款200直到满4年，随后再每6个月付款100直到从现在起满10年，若求这些付款的现时值。,补55,例1.13答案,方法一：方法二：,补56,例1.14,有一企业想在一学校设立一永久奖学金，假如每年发出5万元奖金，问在年实际利率为20%的情况下，该奖学金基金的本金至少为多少？,补57,例1.15永久年金,A留下一笔100000元的遗产。这笔财产头10年的利息付给受益人B，第2个10年的利息付给受益人C，此后的利息都付给慈善机构D。每年利息在年末支付，若此项财产的年实际利率为7%，试确定B，C，D在此笔财产中各占多少份额？,补58,例1.15答案,补59,基本年金公式总结,
13、补60,未知时间问题,年金问题四要素 年金、利率、支付时期（次数）、积累值（现时值） 关注最后一次付款问题 在最后一次正规付款之后，下一个付款期做一次较小付款（drop payment） 在最后一次正规付款的同时做一次附加付款（balloon payment）,补61,例1.16,有一笔1000元的投资用于每年年末付100元，时间尽可能长。如果这笔基金的年实际利率为5%，试确定可以作多少次正规付款以及确定较小付款的金额，其中假定较小付款是： （1）在最后一次正规付款的日期支付。 （2）在最后一次正规付款以后一年支付 （3）按精算公式，在最后一次付款后的一年中间支付。（精算时刻）,补62,例1.
14、16答案,补63,变利率年金问题,类型一：时期利率(第K个时期利率为 ),补64,变利率年金问题,类型二：付款利率（第K次付款的年金始终以利率 计息）,补65,例1.17:,某人每年年初存进银行1000元,前4年的年利率为6%,后6年由于通货膨胀率,年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.,补66,例1.17答案,补67,例1.18:,某人每年年初存进银行1000元,前4次存款的年利率为6%,后6次付款的年利率升到10%,计算第10年年末时存款的积累值.,补68,例1.18答案,补69,三、一般年金,一般年金 利率在支付期发生变化 付款频率与利息转换频率不一致 每次付款金额不恒定 分
15、类 支付频率不同于计息频率的年金 支付频率小于计息频率的年金 支付频率大于计息频率的年金 变额年金,补70,支付频率不同于计息频率年金,分类 支付频率小于利息转换频率 支付频率大于利息转换频率 方法（记住！） 通过名义利率转换，求出与支付频率相同的实际利率。 年金的代数分析，即换算出与计息频率相同的相应的年金。,补71,支付频率小于计息频率年金,0,k,2k,nk,计息,支付,1,1,1,补72,例1.19:,某人每年年初在银行存款2000元,假如每季度末计息一次的年名义利率为12%,计算5年后该储户的存款积累值.,补73,例1.19答案,方法一:利率转换法方法二:年金转换法,补74,例1.2
16、0：永久年金,有一永久年金每隔k年末付款1元，问在年实际利率为i的情况下，该永久年金的现时值。,补75,支付频率大于利息转换频率,0,第m次每次支付,第2m次每次支付,第nm次每次支付,计息,支付,1,2,n,例如每年支付m次,掌握,补76,年金分析方法,方法一：利率转换法,年金转换法（重点）,vn,vn,补77,例1.21,某购房贷款8万元,每月初还款一次,分10年还清,每次等额偿还,贷款年实际利率为10.98%,计算每次还款额.,补78,例1.21答案,方法一:方法二:,补79,例1.22：永久年金,一笔年金为每6个月付1元，一直不断付下去，且第一笔付款为立即支付，问欲使该年金的现时值为1
17、0元，问年度实际利率应为多少？,补80,例1.22答案,补81,年金关系（掌握）,补82,一般年金代数公式,补83,连续年金（后面用到）,定义:付款频率无穷大的年金叫连续年金. 公式:,补84,恒定利息效力场合（后面有用）,补85,例1.23,确定利息效力使,补86,变额年金（掌握）,等差年金（） 递增年金 递减年金 等比年金,补87,等差年金,一般形式现时值积累值,0,1,2,n,P,P+Q,P+(n-1)Q,补88,特殊等差年金,补89,例1.24,从首次付款1开始,以后每次付款递增1,只增加到m,然后保持付款额不变的n年期期末付年金,可以表示成 计算,补90,例1.24答案,补91,例1
18、.25,有一项延付年金，其付款额从1开始每年增加1直至n，然后每年减少1直至1，试求其现时值。,补92,例1.25答案,补93,等比年金,0,1,2,n,1,1+k,补94,例1.26:,某期末付永久年金首付款额为5000元,以后每期付款额是前一期的1.05倍,当利率为0.08时,计算该永久年金的现时值.,补95,例1.26答案,96,第四节,收益率,补97,第四节中英文单词对照,贴现资金流 收益率 再投资率 时间加权利率币值加权利率,Discounted cash flow yield rate Reinvestment rate Time-weighted rates of interes
19、t Dollar-weighted rates of interest,补98,贴现资金流分析,例1.27：现金流动表按利率 投资返回的净现时值,补99,不同利率水平下的净现时值,补100,收益率的概念,使得投资返回净现时值等于零时的利率称为收益率。也称为“内返回率”用线形插值法求得上例中收益率为22.65% 收益率投资方希望收益率越高越好，借贷方希望收益率越低越好。,补101,收益率的唯一性,例1.28：某人立即付款100元，并在第2年末付132元，以换回第1年末返回230元，求这笔业务的收益率。 解答：,补102,收益率的唯一性,由于收益率是高次方程的解，所以它的值很可能不是唯一的。 De
20、scartes符号定理 收益率的最大重数小于等于资金流的符号改变次数。 收益率唯一性的判定定理二 整个投资期间未动用投资余额始终为正。,补103,未动用投资余额,补104,收益率唯一性判别（D氏符号判别）,例1.27,例1.28,补105,再投资率,本金的再投资问题 例1.29：有两个投资方案可供我们选择 A方案：实际利率为10%，为期5年 B方案：实际利率为8%，为期10年我们应该选择哪项投资？,补106,例1.29 资金积累过程,补107,例1.29答案,如果A五年后的再投资率6.036%,选择A。 否则选择B。,补108,利息的再投资问题（一）,例1.30: 某人一次性投资10万元进基金
21、A。该基金每年年末按7%的年实际利率返还利息，假如利息可按5%实际利率再投资，问10年后这10万元的积累金额等于多少？,补109,0,1,2,10,例1.30的积累过程,-,利息再投资帐户,基金帐户,补110,例1.31答案,补111,利息的再投资问题（二）,例1.32（例1.31续） 假如此人在10年期内每年年初都投资1万元进基金A，本金按7%年实际利率计息，而利息可按5%实际利率再投资，那么第10年末该这10万本金的积累金额又等于多少？,补112,0,1,2,10,例1.32的积累过程,-,基金帐户,利息再投资帐户,补113,基金收益率计算,基本符号 A=初始资金 B=期末资金 I=投资期
22、内利息 Ct= t时期的净投入（可正可负） C=在b时刻投资1元，经过a时期的积累，产生的利息,补114,币值加权方法,补115,时间加权方法,原理,补116,基本公式,补117,例1.32,某投资基金 1月1日，投资100000元 5月1日，该笔资金额增加到112000元,并再投资30000元 11月1日，该笔资金额降低为125000元，并抽回投资42000元。 次年1月1日，该资金总额为100000元。 请分别用币值加权的方法和时间加权的方法计算这一年该投资基金的年收益率。,补118,例1.32答案,补119,币值加权和时间加权的比较,都是计算单位时期投资收益率的方法 币值加权方法重点考察
23、的是整个初始本金经过一个单位时期综合投资之后的实际受益率。 时间加权方法得到的是在这种市场条件下能达到的理论收益率。它可以作为考察投资正确与否的某个指标。,120,第五节,分期支付与偿债基金,补121,第五节中英文单词对照,分期偿还方法 分期偿还表 偿债基金 偿债基金表,Amortization method Amortization schedule Sinking fund Sinking fund schedule,补122,债务偿还方式,分期偿还： 借款人在贷款期内，按一定的时间间隔，分期偿还贷款的本金和利息。 偿债基金： 借款人每期向贷款人支付贷款利息，并且按期另存一笔款项，建立一个
24、基金，在贷款期满时这一基金恰好等于贷款本金，一次偿付给贷款者。,补123,分期偿还,常见分期偿还类型 等额分期偿还 不等额分期偿还 递增分期偿还 递减分期偿还,分期偿还五要素 时期 每次还款额 每次偿还利息 每次偿还本金 未偿还贷款余额,补124,分期偿还表（等额贷款为例）,补125,例1.33,某借款人每月末还款一次，每次等额还款3171.52元，共分15年还清贷款。每年计息12次的年名义利率为5.04%。计算（1）第12次还款中本金部分和利息部分各为多少？（2）若此人在第18次还款后一次性偿还剩余贷款，问他需要一次性偿还多少钱？前18次共偿还了多少利息？,补126,例1.33答案,补127
25、,偿债基金,常见偿债基金类型 等额偿债基金 不等额偿债基金,偿债基金六要素 时期 每期偿还利息 每次存入偿债基金金额 每期偿债基金所得利息 偿债基金积累额 未偿还贷款余额,补128,偿债基金表（贷款利率i，偿债基金利率j，贷款1元）,补129,偿债基金利息本金分析,对偿债基金而言，第次付款的实际支付利息为：第次付款的实际偿还本金为：,补130,例1.34,A曾借款1万元,实际利率为10%.A积累一笔实际利率为8%的偿债基金一偿还这笔贷款.在第10年末偿债基金余额为5000元,在第11年末A支付总额为1500元,问 1500中又多少是当前支付给贷款的利息? 1500中有多少进入偿债基金? 1500中又多少应被认为是利息? 1500中有多少应被视为本金? 第11年末的偿债基金余额为多少?,补131,例1.34答案,补132,例1.35,(1)一位借款人向贷款人借L元贷款,在10年内以每年年末付款来偿还这一实际利率为5%的贷款,其付款方式为:第一年付款200元,第二年付190元,如此递减至第10年末付110元.求贷款金额L. (2)假如该借款人贷款年限与付款方式与(1)相同,但采用偿债基金形式还清贷款.在还款期内该借款人向贷款人每年支付实际利率为6%的利息,并以实际利率为5%的偿债基金以偿还贷款金额,求贷款金额L.,补133,例1.35答案,
