1、近 世 代 数 (Abstract Algebra),主讲教师 ： 蔡 炳 苓,（河北师范大学数学与信息科学学院),第7-9节 理想 最大理想 同态,第三章 环与域,定义 若环,的非空子集,关于环,的加法与乘法也做成环，称,为,的子环，,判定,记作,例,定义 设,为环,为,的非空子集.,满足:,则称,的一个理想.,如果,为,由定义可知,理想一定是子环.,与,本身都是,理想称为平凡理想（零理想与单位理想）.,的理想.这两个,的不等于它自身的理想(如果有的话),的真理想.,除环只有零理想与单位理想.,定理,称为,一般的，一个环除平凡理想外还会有其他理想，例如,例,试求,的所有理想.,的全部子群为：
2、,为,的理想.,的全部理想为,解,由此知,可见：Z的子加群，子环与理想是一致的. 同样地，模n的剩余类加群也是如此.,定义 设,为环,为,的理想.,分别称为理想,的和与交.,集合,定理6 (1)环,的两个理想,的和,与交,都是,的理想;,(2)环,的任意有限多个理想的和,还是理想.,的任意多个理想的交还是理想.,环,证明,(1),是,的理想.,（2）,是,的理想.,定义,设,为环, 称环,中所有,的理想的交为由,生成的主理想,即,包含,记作,是,中包含,的最小理想.,为有单位元的交换环时,因此 整数环,的每个理想都是主理想.,为有单位元的环时,为交换环时,定义,设,为环,则,为,的理想,称为,
3、生成的理想, 记作,由,例 假设Zx是整数环上一元多项式环，则（2,x）不是一个主理想.(见教材112页),设,为环，,为,的理想.则,是,的加群意义下的不变子群:,（2）,（3）,（1）,为,在,中的一个陪集:,（4）,的加法:,则,关于如上所定义的运算构成加群.,对加群,再规定乘法:,则,关于如上所定义的运算构成环.,定义：称环,为商环，也称为环,的模理想,的剩余类环.,，负元：,零元：,为交换环,则,也是交换环.,有单位元,则,也有单位元,且,如果,如果,注：,例1,设,为大于1的正整数,则,为,的理想,从而考虑商环,即商环,就是模,的剩余类环.,定理1,（,定义2 设,为环,的同态,称
4、集合,为同态,的核.,）,定理2（环同态基本定理）设,为环,的同态满射,则,定理3 子环与理想在同态满射之下的象是子环与理想；子环与理想在同态满射之下的逆象是子环与理想,一个环R 的一个不等于R的理想 I,除了R 同I自己以外，,没有包含 I 的理想.,定义：,叫做,一个最大理想，假如,例： 求整数环的所有最大理想.,所有理想：,是最大理想,是素数.,引理1：假定 IR 是环 R 的理想，剩余类,I是最大理想.,环R/I只有平凡理想,引理2：如果一个有单位元的交换环R,只有平凡理想，,那么R一定是一个域.,（教材117页）,定理4：假定R是一个有单位元的交换环，,I是最大理想。,I是R的一个理想，则,R/I是一个域,定理5：,是域,是素数.,例,在,中,如果,则,是怎样,都是零,则,解 (1) 如果,的主理想?,(2) 如果,不全为零.设,为,大公因数,则存在,使得,从而,又因,都是,的倍数,即,所以,从而,的最,
