1、空间角 -异面直线所成的角,石河子高级中学 王芳,一、概念,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,a,b,O是空间中的任意一点,点o常取在两条异面直线中的一条上,o,o,o,o,o,一、概念,直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a、b，并使a/a，b/b，我们把直线a和b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。,二、数学思想、方法、步骤：,解决空间角的问题涉及的数学思想主要是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角，进而转化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。,2.方法：
2、,3.步骤：,求异面直线所成的角：,作（找）, 证, 点, 算,1.数学思想：,A1,A,B,B1,C,D,C1,D1,F,E,解：如图，取AB的中点G ，,O,（证）,（点）,（算）,（作）,例1:如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是BB1 、CD中点。求AE与D1F所成的角。,例2：长方体ABCD-A1B1C1D1，AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线A1C1与BD1所成角的余弦值。,取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，,如图，连B1D1与A1C1 交于O1，,于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的角（或其补角）,O1,M,解：,为什么？
3、,解法二：,方法归纳：,补形法,把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、长方体等，其目的在于易于发现两条异面直线的关系。,解法二：,在A1C1E中，,由余弦定理得,A1C1与BD1所成角的余弦值为,如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面,连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，,BC1的长方体B1F，,直三棱柱ABCA1B1C1 中角ACB900， D，F分别是A1B1与A1C1的中点。若BCCACC1，求BD与AF这两条异面直线所成的角。,A,A1,C,B,B1,C1,F,D,分析：恰当的平移是将异面直线所成的角转化为平面中的角的关键。,例3,思
4、路一：取BC中点G， 连结FG，则角AFG （或其补角）为异面 直线所成的角；解三 角形AFG可得。,A,B,C,A1,B1,C1,D,F,G,B,思路二、延展平面 BAA1B1，使A1EDA1， 则将BD平移到AE， 角EAF（或其补角 ） 即为BD与AF所成的角。,A,A1,C,B1,F,D,E,C1,练习1如图，正三棱锥SA BC的侧棱与底面边长相等，如果E、F分别为SC、 A B的中点，SABC,那么异面直线EF与SA所成角等于（ ） A90 B60 C45 D30,解：取AC的中点G，连接EG、FG， EG/SA， GEF是异面直线EF与SA所成角，又FG/BC，SABC， EGF=
5、90，EGF是直角三角形，又EG=SA，FG=BC， EG=FG，EGF是等腰直角三角形， GEF=45，选C.,正方体ABCD- A1B1C1D1中,AC、BD交于O,则OB1与A1C1所成的角的度数为,练习2,900,练习3. 在正方体AC1中，E、G分别是AA1和 CC1的中点， F在AB上，且C1EEF， 则EF与GD所成的角的大小为（ ） (A) 30 (B) 45 (C) 60(D) 90,D,M,EB1是EC1在平面AB1 内的射影,EB1 EF DGAMEB1 EF DG,定角一般方法有：,（1）平移法（常用方法）,小结：,1、求异面直线所成的角是把空间角转化为平面 角，体现了化归的数学思想。,2、用余弦定理求异面直线所成角时，要注意角的 范围：,（1） 当 cos 0 时，所成角为 ,（2） 当 cos 0 时，所成角为 ,（3） 当 cos = 0 时，所成角为,3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识解决。,90o,（2）补形法,化归的一般步骤是：,定角,求角,说明：异面直线所成角的范围是（0， ，在把异面直线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要注意。,谢谢！,
