1、高三文科数学培优资料1一、考点剖析考点一 点、直线、圆的位置关系问题【内容解读】点与直线的位置关系有：点在直线上、直线外两种位置关系，点在直线外时，经常考查点到直线的距离问题；点与圆的位置关系有：点在圆外、圆上、圆外三种；直线与圆的位置关系有：直线与圆相离、相切、相交三点，经常用圆心到直线之间的距离与圆的半径比较来确定位置位置关系；圆与圆的位置关系有：两圆外离、外切、相交、内切、内含五种，一般用两点之间的距离公式求两圆之间的距离，再与两圆的半径之和或差比较。【命题规律】本节内容一般以选择题或填空题为主，难度不大，属容易题。例、原点到直线 052yx的距离为（ ）A1 B 3 C2 D 5点评：
2、本题直接应用点到直线的公式可求解，属容易题。例、圆心为 ()， 且与直线 4xy相切的圆的方程是 点评：直线与圆的位置关系问题是经常考查的内容，对于相切问题，经常采用点到直线的距离公式求解。例、圆 O1：x 2y 22x0 和圆 O2：x 2y 24y0 的位置关系是 ( )(A)相离 (B)相交 (C)外切 (D)内切点评：两圆的位置关系有五种，通常是求两圆心之间的距离，再与两圆的半径之和或之差来比较，确定位置关系考点二 直线、圆的方程问题【内容解读】直线方程的解析式有点斜式、斜截式、两点式、.截距式、一般式五种形式，各有特点，根据具体问题，选择不同的解析式来方便求解。圆的方程有标准式一般式
3、两种；直线与圆的方程问题，经常与其它知识相结合，如直线与圆相切，直线与直线平行、垂直等问题。【命题规律】直线与圆的方程问题多以选择题与填空题形式出现，属容易题。例 1、经过圆 02yx的圆心 C，且与直线 x+y0 垂直的直线方程是（ ）A 0yx B. 1 C. 1yx D. 01yx点评：两直线垂直，斜率之积为，利用待定系数法求直线方程，简单、方便。例 2、若圆 C的半径为 1，圆心在第一象限，且与直线 430和 轴相切，则该圆的标准方程是（ ）A227(3)xyB22()(1)xyC22(1)()1D23高三文科数学培优资料2点评：圆与 x 轴相切，则圆心的纵坐标与半径的值相等，注意用数
4、形结合，画出草图来帮助理解。考点三 曲线（轨迹）方程的求法【内容解读】轨迹问题在高考中多以解答题出现，属中档题。求轨迹问题基本步骤为“建（建立坐标）设（设相关点）限（注意限制条件）代（根据等量关系代入）化（化简计算）”，在解轨迹问题的出发点有二，一是找出约束动点变动的几何条件，二是找出影响动点变动的因素。具体方法有：直接法、定义法、几何法、“点代入法”、“参数法”等。例 1、与两圆 和 都外切的圆的圆心在 （ ）21xy28120xy（A） 一个椭圆上 （B）双曲线的一支上 （C）一条抛物线上 （D）一个圆上例 2、 过抛物线 的焦点 作直线 交抛物线于 两点，则弦 的中点 的轨迹方24Fl,
5、ABM程是 例 3、已知圆 方程为： .过圆 上一动点 作平行于 轴的直线 ，设 与 轴2xyCMxmy的交点为 ，若向量 ，求动点 的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线.NOQMNQ例 4、已知点 (8,0)P和圆 C： 04122 yxyx，（1）求经过点 P 被圆 C 截得的线段最长的直线 l的方程；（2）过 P 点向圆 C 引割线，求被此圆截得的弦的中点的轨迹。点评：合理应用平面几何知识，这是快速解答本题的关键所在。要求掌握好平面几何的知识，如勾股定理，垂径定理等初中学过的知识要能充分应用。考点四 有关圆锥曲线的定义的问题【内容解读】圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义是经常考查的内容，除了在
6、大题中考查轨高三文科数学培优资料3迹时用到外，经常在选择题、填空题中也有出现。【命题规律】填空题、选择题中出现，属中等偏易题。例 1、设 p是椭圆2156xy上的点若 12F， 是椭圆的两个焦点，则 12PF等于（ ）A4 B5 C8 D10 点评：本题很简单，直接利用椭圆的定义即可求解，属容易题。例 2、已知点 P 在抛物线 y2 = 4x 上，那么点 P 到点 Q（2，1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点 P 的坐标为（ ）A. （ 41，1） B. （ 41，1） C. （1，2） D. （1，2）点评：点 P 到焦点的距离，利用抛物线的定义，转化为点 P 到准线之间
7、的距离，体现数学上的转化与化归的思想，在数学问题中，经常考查这种数学思想方法。考点五 圆锥曲线的几何性质【内容解读】圆锥曲线的几何性质包括椭圆的对称性、顶点坐标、离心率，双曲线的对称性、顶点坐标、离心率和近近线，抛物线的对称性、顶点坐标、离心率和准线方程等内容，离心率公式一样：ec/a，范围不一样，椭圆的离心率在（0,1）之间，双曲线的离心率在（1，）之间，抛物线的离心率为 1，例 1、双曲线210xy的焦距为（ ）A. 3 B. 4 C. 3 D. 4 3例 2、在正ABC 中，DAB，EAC，向量 BCDE21，则以 B，C 为焦点，且过 D，E 的双曲线的离心率为 （ ）A 35B 13
8、C D 13例 3、已知双曲线29(0)ymx的一个顶点到它的一条渐近线的距离为 5，则 m( )A1 B2 C3 D4点评：本题主要考查双曲线的渐近线方程，点到直线的距离公式问题。考点六 直线与圆锥曲线位置关系问题【内容解读】能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题；能够把研究直线与圆锥曲线位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；会利用直线与圆锥曲线方程所组成的方程组消去一个变量后，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数的关系及判别式解决问题；能够利用数形结合法，迅速判断某直线与圆锥曲线的位置关系，但要高三文科数学培优资料4注意曲线上的点的纯粹性；涉及弦长问题时
9、，利用弦长公式及韦达定理求解，涉及弦的中点及中点弦的问题，利用点差法较为简便。【命题规律】直线与圆锥曲线位置关系涉及函数与方程，数形结合，分类讨论、化归等数学思想方法，命题主要意图是考查运算能力，逻辑揄能力。例、已知以 1(20)F， ， 2()， 为焦点的椭圆与直线 340xy有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为（ ）（A） 3（B） 6（C） 27（D） 2点评：直线与圆锥曲线只有一个交点时，经常采用联立方程组，消去一个未知数后，变成一元二次方程，由判别式来求解，但要注意，有时要考虑二次项的系数为 0 的特殊情况。例 2、已知直线 与抛物线 相切，则 10xy2yax_.例 3、椭圆 的一条
10、弦被 平分,那么这条弦所在的直线方程是( )2694A( ) ( ) ( ) ( )A0xyB10xyC280xyD20xy例 4、 直线 y = x 2 与抛物线 y2 = 2x 相交与点 A、 B，求证： OA OB例 5、 在抛物线 上到直线 距离最短的点的坐标是_24（A） （B） （C） （D）1,21, 49,23例 6、已知双曲线 的右焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 的直线与双21(0,)xyab 60o曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（ ）（A） （B） （C） （D）(1,2(,2)2,)(2,)考点六 圆锥曲线的综合问题熟悉解析几何与平面向量、数
11、列、不等式、导数等内容相结合 ，适应探索（存在）性、最值、定值等题型的解法。例 1、设动点 到定点 的距离比它到 轴的距离大 1，记点 的轨迹为曲(,)0PxyF(,1)xP高三文科数学培优资料5线 。（1）求点 的轨迹方程；CP（2）设圆 过 ，且圆心 在曲线 上， 是圆 在 轴上截得的弦，试MA(0,2)MCEGMx探究当 运动时，弦长 是否为定值？为什么？EG例 2、如图，F 是椭圆的右焦点，以 F 为圆心的圆过原点 O 和椭圆的右顶点，设 P 是椭圆的动点，P 到两焦点距离之和等于 4.（）求椭圆和圆的标准方程；（）设直线 l的方程为 4,xPMl，垂足为 M，是否存在点P，使得 为等
12、腰三角形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.例 3、 已知动圆过定点 (0,2)N，且与定直线 :2Ly相切.高三文科数学培优资料6（I）求动圆圆心的轨迹 C的方程；（II）若 A、 B是轨迹 C 上的两不同动点，且 ANB. 分别以 A、 B为切点作轨迹C 的切线，设其交点 Q，证明 AN为定值.二、方法总结与高考预测（一）方法总结1求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的 a，b，p 等.要充分认识椭圆中参数 a，b，c，e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关. 2涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用定义.3直线与圆锥曲线的位置关系问
13、题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求解或证明.4对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.5与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.（二）广东课标高考三年来风格特点（1）表现形式上是多曲线综合；（2）圆锥曲线重在定义、标准方程和几何性质；（3）核心是直线和圆的位置关系；（4）方法上强调：数形结合的思想方法、方程思想、待定系数法；（5）能力上要求：图形探究能力、逆向探究能力、运算求解能力、阅读理解能力.三、复习
14、建议1加强直线和圆锥曲线的基础知识，初步掌握了解决直线与圆锥曲线有关问题的基本技能和基本方法。2由于直线与圆锥曲线是高考考查的重点内容，选择、填空题灵活多变，思维能力要求较高，解答题背景新颖、综合性强，代数推理能力要求高，因此有必要对直线与圆锥曲线的重点内容、高考的 热点问题作深入的研究。3在第一轮复习的基础上，再通过纵向深入，横向联系，进一步掌握解决直线与圆锥曲线问题的思想和方法，提高我们分析问题和解决问题的能力。四、练习巩固1.（2009 浙江文）已知椭圆高三文科数学培优资料721(0)xyab的左焦点为 F，右顶点为 A，点 B在椭圆上，且 Fx轴， 直线AB交 轴于点 P若 2AB，则
15、椭圆的离心率是（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m A 32 B C 13 D 12 2.（2009 江西卷文）设 1F和 2为双曲线2xyab( 0,)的两个焦点, 若 12F， ，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A 3 B 2 C 52 D33.（2009 辽宁卷文）已知圆 C 与直线 xy0 及 xy40 都相切，圆心在直线 xy0 上，则圆 C 的方程为（A） 22(1)()xy (B) 22(1)()(C) (D) xy4.（2009 陕西卷文）过原点且倾斜角为 60的直线被圆 学240所截得的弦长为科网（A） 3 （B）2 （C） （D）2 3 5.
16、（2009 宁夏海南卷文）已知圆 1： 2()x+ 2(1)y=1，圆 2C与圆 1关于直线10xy对称，则圆 2的方程为（A） 2()+ ()y=1 （B ） 2()x+ 2()y=1（C） x+ 2=1 （D） + =16.（2010 山东文数）已知圆 C 过点（1,0），且圆心在 x 轴的正半轴上，直线 l： 被该圆1yx所截得的弦长为 ，则圆 C 的标准方程为 .27.（2010 天津文数）已知圆 C 的圆心是直线 x-y+1=0 与 x 轴的交点，且圆 C 与直线 x+y+3=0 相切。则圆 C 的方程为 。8.（2010 全国卷 2 文数）已知抛物线 C：y 2=2px（p0）的准
17、线 l，过 M（1,0）且斜率为的直线与 l 相交于 A，与 C 的一个交点为 B，若 ，则 p=_高三文科数学培优资料89.（2010 重庆文数）已知过抛物线 24yx的焦点 F的直线交该抛物线于 A、 B两点， F，则 B_ .10.（2010 天津文数）已知双曲线21(0,)xyab的一条渐近线方程是 3yx，它的一个焦点与抛物线 26x的焦点相同。则双曲线的方程为 。三、解答题1.（2010 广东文数）21.（本小题满分 14 分）已知曲线 ，点 是曲线 上的点 .2nCyx： (,)0,)nnPyxnC(1,2)（1）试写出曲线 在点 处的切线 的方程，并求出 与 轴的交点 的坐标；
18、llynQ（2）若原点 到 的距离与线段 的长度之比取得最大值，试求试点 的坐标(0,)OnlnQP；(,nxy)（3）设 与 为两个给定的不同的正整数， 与 是满足（2）中条件的点 的坐标，mknxyn证明： 1()(1)2snnnxkymsk(1,)2. （2008 广东文数）20（本小题满分 14 分）高三文科数学培优资料9设 ，椭圆方程为 ，抛物线方程为 如图 6 所示，过点0b21xyb28()xyb作 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为 ，已知抛物线在点 的切线经()F， GG过椭圆的右焦点 1（1）求满足条件的椭圆方程和抛物线方程；（2）设 分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究
19、在抛物线上是否存在点 ，使得AB， P为直角三角形？若存在，请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点P的坐标）AyxO BGFF1图 63.（2009 广东文数）19.（本小题满分 14 分）已知椭圆 G 的中心在坐标原点 ,长轴在 轴上,离心率为 ,两个焦点分别为 和 ,椭圆 G 上x231F2一点到 和 的距离之和为 12.圆 : 的圆心为点 .1F2kC0142ykxy)(RkkA(1)求椭圆 G 的方程(2)求 的面积21Ak(3)问是否存在圆 包围椭圆 G?请说明理由.kC高三文科数学培优资料10AGEMoyxx2=4y参考答案 考点三 例 1. B 例 2. 例 3.
20、 点的轨迹方程是 ，21yxQ21(0)46xy轨迹是一个焦点在 轴上的椭圆，除去短轴端点。 x例 4. 解：（1）化圆的方程为： 2512yx圆心坐标： (1,5)C 由题意可得直线 l经过圆 C 的圆心，由两点式方程得：081x化简得： 5940xy直线 l的方程是： 594xy （2）解：设中点 , MCMPM P是 Rt有：222C即： 28(1)(5)106xyxy化简得： 8722故中点 M 的轨迹是圆2yx在圆 C 内部的一段弧。考点六 例 1. 解：（1）依题意知，动点 到定点 的距离等于 到直线 的距PF(0,1)P1离，曲线 是以原点为顶点， 为焦点的抛物线C(,) 2p2
21、p 曲线 方程是 4xy（2）设圆的圆心为 ，圆 过 ，(,)MabA(0,2)圆的方程为 22xyab令 得： 0y24设圆与 轴的两交点分别为 ，x1(,0)x2,)PAxyCBM高三文科数学培优资料11方法 1：不妨设 ，由求根公式得12x，1246abx22416abx 2121又点 在抛物线 上， ，(,)Mab24xy24ab ，即 4126xEG当 运动时，弦长 为定值 4例 2 解：（）由已知可得 2,a2c22,13abac椭圆的标准方程为 143xy，圆的标准方程为 2()xy（）设 (,)P，则 (,),0MF ,xy在椭圆上2143xy2234x22222|(1)()(
22、)F|PMx |,|,2PFM（1）若 |则 |这与三角形两边之和大于第三边矛盾 |PF（2）若 |,则 223(4)1xx，解得 4或 7x |x 7 57y 3(,15)P综上可得存在两点 4315(,)， 31(,)使得PFM 为等腰三角形.高三文科数学培优资料12例 3. 解：（I）依题意，圆心的轨迹是以 (0,2)N为焦点， :2Ly为准线的抛物线上2 分因为抛物线焦点到准线距离等于 4 所以圆心的轨迹是 28xy（II）解法一：由已知 (0,2)N，12 12(,)(,).(,)(,),AxyBABxyx设 由 即 得故 12()2y将（1）式两边平方并把 21218, yyx代
23、入 得 （3）解（2）、（3）式得 2y，且有 .6821x8 分抛物线方程为 41,xyy求 导 得 所以过抛物线上 A、 B 两点的切线方程分别是 ,)()(42211xy 2,.88yx即 12112(,)(,)8xxQ解 出 两 条 切 线 的 交 点 的 坐 标 为11 分,)4,2( 2121 yxABNO所 以 0)81(4221x所以 为定值，其值为 0. 13 分解法二：由已知 N（0，2）1(,)(,).,AxyBANB设 由 知 三 点 共 线 ,直 线 与 轴 不 垂 直 :2.ykx设2,1.8ykx由 可 得 28160， 162x8 分高三文科数学培优资料13后面
24、解法和解法一相同四、练习巩固DBBDB 6. 7. 8.p=2 9. 2 10. 214xy2(1)xy解答题 1.高三文科数学培优资料142. 解：（1）由 得28()xyb218xb当 时， ， 点的坐标为yb4G(4)，4x|1x过点 的切线方程为 ，即 ，G(2)ybx2yxb令 得 ， 点的坐标为 ；0y2x1F(0)，高三文科数学培优资料15由椭圆方程得 点的坐标为 ，1F(0)b，即 ，2b因此所求的椭圆方程及抛物线方程分别为 和 21xy28(1)xy（2） 过 作 轴的垂线与抛物线只有一个交点 ，AxP以 为直角的 只有一个，PBRtBP同理以 为直角的 只有一个；A若以 为
25、直角，设 点的坐标为 ，则 坐标分别为218x， AB， (20)， ， ，由 得 ，22108ABx 42506关于 的一元二次方程有一解， 有二解，即以 为直角的 有二个；2 xAPBRtABP因此抛物线上共存在 4 个点使 为直角三角形ABP3. 【解析】（1）设椭圆 G 的方程为： （ ）半焦距为 c;21yab0ab则 , 解得 , 213ac63c223679c所求椭圆 G 的方程为： . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 2169xy(2 )点 的坐标为KA,121232FSV（3）若 ，由 可知点（6，0）在圆 外，0k6015kkf kC若 ，由 可知点（-6，0）在圆 外；2()不论 K 为何值圆 都不能包围椭圆 G.kC
