1、1 第二章 圆锥曲线与方程 学习目标 1.掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义及其应用，会用定义求标准方程.2.掌握椭 圆、双曲线、抛物线的标准方程及其求法.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利 用几何性质解决相关问题.4.掌握简单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法 知识点一 椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程、几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 平面内与两个定点 F 1 ，F 2 的距离的和等 于常数(大于F 1 F 2 )的 点的轨迹 平面内与两个定点 F 1 ，F 2 距离的差的绝 对值等于常数(小于 F 1 F 2 的正数)的点的轨 迹 平面内到一个定点F和 一条定直线l(F
2、不在l 上)的距离相等的点的 轨迹 标准 方程 1或 x2 a2 y2 b2 1 y2 a2 x2 b2 (ab0) 1或 x2 a2 y2 b2 1 y2 a2 x2 b2 (a0，b0) y 2 2px或y 2 2px 或x 2 2py或 x 2 2py (p0) 关系式 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 图形 封闭图形 无限延展，但有渐近 线y x或y x b a a b 无限延展，没有渐近线 变量 范围 |x|a，|y|b或 |y|a，|x|b |x|a或|y|a x0或x0或y0 或y0 对称中心为原点 无对称中心 对称性 两条对称轴 一条对称轴 顶点 四个 两个 一个
3、 离心率 e ，且01 c a e1 决定形状的 因素 e决定扁平程度 e决定开口大小 2p决定开口大小 知识点二 焦点三角形 1椭圆的焦点三角形 设P为椭圆 1(ab0)上任意一点(不在x轴上)，F 1 ，F 2 为焦点且F 1 PF 2 ，则 x2 a2 y2 b22 PF 1 F 2 为焦点三角形(如图) (1)焦点三角形的面积为Sb 2 tan . 2 (2)焦点三角形的周长为L2a2c. 2双曲线的焦点三角形 焦点三角形的面积为S . b2 tan 2 知识点三 求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤 1定形指的是二次曲线的
4、焦点位置与对称轴的位置 2定式根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在 哪个坐标轴上时，可设方程为mx 2 ny 2 1(m0，n0) 3定量由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大 小 知识点四 离心率 1定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是y轴 上都有关系式a 2 b 2 c 2 (a 2 b 2 c 2 )以及e ，已知其中的任意两个参数，可以求其他的 c a 参数，这是基本且常用的方法 2方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出其离心率，这是求离心率的十分 重要的思路及方法 3几何法：
5、求与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质以及椭圆(双曲线) 的定义、几何性质，建立参数之间的关系，通过画出图形，观察线段之间的关系，使问题更 形象、直观 知识点五 直线与圆锥曲线的位置关系 1直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲3 线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行 2直线与圆锥曲线的位置关系，涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知识， 形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题解决此类问题应注意数形 结合，以形辅数的方法；还要多结合圆锥曲线的定义，根与系数的关系以及“点差法”等 类型一 圆锥曲线的定义及应用 例1
6、 设F 1 ，F 2 为曲线C 1 ： 1的左，右两个焦点，P是曲线C 2 ： y 2 1与C 1 的 x2 6 y2 2 x2 3 一个交点，则PF 1 F 2 的面积为_ 反思与感悟 涉及椭圆、双曲线上的点与两个定点构成的三角形问题时，常用定义结合解三 角形的知识来解决 跟踪训练1 已知椭圆 y 2 1(m1)和双曲线 y 2 1(n0)有相同的焦点F 1 ，F 2 ，P是 x2 m x2 n 它们的一个交点，则F 1 PF 2 的形状是_ 类型二 圆锥曲线的性质及其应用 例2 (1)已知ab0，椭圆C 1 的方程为 1，双曲线C 2 的方程为 1，C 1 与 x2 a2 y2 b2 x2
7、 a2 y2 b2 C 2 的离心率之积为 ，则C 2 的渐近线的斜率为_ 3 2 (2)已知抛物线y 2 4x的准线与双曲线 y 2 1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若 x2 a2 FAB为直角三角形，则该双曲线的离心率是_ 反思与感悟 有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握 基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解 跟踪训练2 已知F 1 (c,0)，F 2 (c,0)为椭圆 1(ab0)的两个焦点，P为椭圆上一 x2 a2 y2 b2 点，且 c 2 ，则此椭圆离心率的取值范围是 PF1 PF2 _ 类型三 直线与圆锥曲线的位置关系 例3 已
8、知椭圆 1(ab0)上的点P到左，右两焦点F 1 ，F 2 的距离之和为2 ，离心 x2 a2 y2 b2 2 率为 . 2 24 (1)求椭圆的标准方程； (2)过右焦点F 2 的直线l交椭圆于A，B两点，若y轴上一点M(0， )满足MAMB，求直线 3 7 l的斜率k的值反思与感悟 解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法： (1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解 (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围 跟踪训练3 如图，焦距为2的椭圆E的两个顶点分别为A，B，且 与n( ，1)共 AB 2 线 (1)
9、求椭圆E的标准方程； (2)若直线ykxm与椭圆E有两个不同的交点P和Q，且原点O总在以PQ为直径的圆的 内部，求实数m的取值范围1已知 F 1 、F 2 是椭圆 1的左、右焦点，弦AB过F 1 ，若ABF 2 的周长为8，则 x2 k2 y2 k1 椭圆的离心率为_ 2设椭圆 1 (mn0)的右焦点与抛物线y 2 8x的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆 x2 m2 y2 n2 1 25 的方程为_ 3以抛物线y 2 4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为 _ 4若抛物线y 2 2x上的两点A、B到焦点的距离的和是5，则线段AB的中点P到y轴的距 离是_ 5过椭圆 1内一点
10、P(3,1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是_ x2 16 y2 4 在解决圆锥曲线问题时，待定系数法， “设而不求”思想，转化与化归思想是最常用的几种 思想方法， “设而不求”思想，在解决直线和圆锥曲线的位置关系问题中匠心独具，很好的 解决了计算的繁杂、琐碎问题 提醒：完成作业 第2章 章末复习课6 答案精析 题型探究 例1 2 跟踪训练1 直角三角形 例2 (1) (2) 2 2 6 跟踪训练2 3 3 ， 2 2 例3 解 (1)由题意知， PF 1 PF 2 2a2 ， 2 所以a . 2 又因为e ， c a 2 2 所以c 1， 2 2 2 所以b 2 a 2 c 2 211，
11、所以椭圆的标准方程为 y 2 1. x2 2 (2)已知椭圆的右焦点为F 2 (1,0)，直线斜率显然存在， 设直线的方程为yk(x1)， 两交点坐标分别为A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 ) 联立直线与椭圆的方程， 得Error! 化简得(12k 2 )x 2 4k 2 x2k 2 20， 所以x 1 x 2 ， 4k2 12k2 y 1 y 2 k(x 1 x 2 )2k . 2k 12k2 所以AB 的中点坐标为( ， ) 2k2 12k2 k 12k2 当k0时，AB的中垂线方程为y (x )， k 12k2 1 k 2k2 12k2 因为MAMB， 所以点M在AB的中垂
12、线上， 将点M的坐标代入直线方程，得7 ， 3 7 k 12k2 2k 12k2 即2 k 2 7k 0， 3 3 解得k 或k ； 3 3 6 当k0时，AB的中垂线方程为x0，满足题意 所以斜率k的取值为0， 或 . 3 3 6 跟踪训练3 解 (1)因为2c2， 所以c1. 又 (a，b)，且 n， AB AB 所以 ba，所以2b 2 b 2 1， 2 所以b 2 1，a 2 2. 所以椭圆E的标准方程为 y 2 1. x2 2 (2)设P(x 1 ，y 1 )，Q(x 2 ，y 2 )，把直线方程ykxm代入椭圆方程 y 2 1， x2 2 消去y，得(2k 2 1)x 2 4kmx
13、2m 2 20， 所以x 1 x 2 ，x 1 x 2 . 4km 2k21 2m22 2k21 16k 2 8m 2 80， 即m 2 2k 2 1.(*) 因为原点O总在以PQ为直径的圆的内部， 所以 0， OP OQ 即x 1 x 2 y 1 y 2 0. 又y 1 y 2 (kx 1 m)(kx 2 m) k 2 x 1 x 2 mk(x 1 x 2 )m 2 . m22k2 2k21 由 0， 2m22 2k21 m22k2 2k21 得m 2 k 2 . 2 3 2 3 依题意且满足(*)得，m 2 ， 2 3 故实数m的取值范围是( ， ) 6 3 6 38 当堂训练 1. 2. 1 3.x 2 1 1 2 x2 16 y2 12 y2 3 42 5.3x4y130
