1、1 第二章 圆锥曲线与方程 学习目标 1.理解曲线方程的概念，掌握求曲线方程的常用方法.2.掌握椭圆、双曲线、抛 物线的定义及其应用，会用定义法求标准方程.3.掌握椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及 其求法.4.掌握椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，会利用几何性质解决相关问题.5.掌握简 单的直线与圆锥曲线位置关系问题的解决方法 知识点一 三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质 椭圆 双曲线 抛物线 定义 平面内与两个 定点F 1 ，F 2 的 距离的和等于 常数(大于 |F 1 F 2 |)的点的 轨迹 平面内与两个定点 F 1 ，F 2 的距离的差的 绝对值等于常数(小 于|F 1 F 2 |
2、)的点的轨 迹 平面内与一个定点F和 一条定直线l(lF)距 离相等的点的轨迹 标准方程 1 x2 a2 y2 b2 (ab0) 1 x2 a2 y2 b2 (a0，b0) y 2 2px (p0) 关系式 a 2 b 2 c 2 a 2 b 2 c 2 图形 封闭图形 无限延展，有渐近 线 无限延展，没有渐近线 对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴 一条对称轴 顶点 四个 两个 一个 离心率 01 准线方程 x p 2 决定形状的因素 e决定扁平程度 e决定开口大小 2p决定开口大小 知识点二 待定系数法求圆锥曲线标准方程 1椭圆、双曲线的标准方程 求椭圆、双曲线的标准方程包括“定
3、位”和“定量”两方面，一般先确定焦点的位置，再确 定参数当焦点位置不确定时，要分情况讨论也可将椭圆方程设为 Ax 2 By 2 1(A0，B0，AB)，其中当 时，焦点在x轴上，当 0，b0)共渐近线的双曲线方程可设为 (0)； x2 a2 y2 b2 x2 a2 y2 b2 已知所求双曲线为等轴双曲线，其方程可设为x 2 y 2 (0) 2抛物线的标准方程 求抛物线的标准方程时，先确定抛物线的方程类型，再由条件求出参数p的大小当焦点位 置不确定时，要分情况讨论，也可将方程设为y 2 2px(p0)或x 2 2py(p0)，然后建立 方程求出参数p的值 知识点三 直线与圆锥曲线有关的问题 1直
4、线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解 的个数来确定，通常消去方程组中变量y(或x)得到关于变量x(或y)的一元二次方程，考虑 该一元二次方程的判别式，则有：0直线与圆锥曲线相交于两点；0直线与圆 锥曲线相切于一点；0)的焦点为F，点P在C上且其横坐标为1，以F为 圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切 (1)求p 的值； (2)设l 与x轴交点为E，过点E作一条直线与抛物线C交于A，B两点，求线段AB的垂直 平分线在x轴上的截距的取值范围 1下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是( ) Ay 与y 2 x x B. 1与lg(y1)lg(x2) y1
5、x24 Cx 2 y 2 1与|y| 1x2 Dylg x 2 与y2lg x 2中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆 的方程是( ) A. 1 B. 1 x2 81 y2 72 x2 81 y2 9 C. 1 D. 1 x2 81 y2 25 x2 81 y2 36 3设椭圆 1(m0，n0)的右焦点与抛物线y 2 8x的焦点相同，离心率为 ，则此椭 x2 m2 y2 n2 1 2 圆的方程为( ) A. 1 B. 1 x2 12 y2 16 x2 16 y2 12 C. 1 D. 1 x2 48 y2 64 x2 64 y2 48 4点P(8，1)
6、平分双曲线x 2 4y 2 4的一条弦，则这条弦所在直线的方程是 _ 5直线 yx3与曲线 1交点的个数为_ y2 9 x|x| 4 1离心率的几种求法 (1)定义法：由椭圆(双曲线)的标准方程可知，不论椭圆(双曲线)的焦点在x轴上还是在y 轴上都有关系式a 2 b 2 c 2 (a 2 b 2 c 2 )以及e ，已知其中的任意两个参数，可以求其他 c a 的参数，这是基本且常用的方法 (2)方程法：建立参数a与c之间的齐次关系式，从而求出离心率，这是求离心率十分重要 的方法 (3)几何法：与过焦点的三角形有关的离心率问题，根据平面几何性质、椭圆(双曲线)的几 何性质和定义，建立参数之间的关
7、系 2圆锥曲线中的有关最值问题 在解决与圆锥曲线有关的最值问题时，通常的处理策略 (1)若具备定义的最值问题，可用定义将其转化为几何问题来处理 (2)一般问题可由条件建立目标函数，然后利用函数求最值的方法进行求解如利用二次函 数在闭区间上最值的求法，利用函数的单调性，亦可利用均值不等式等求解 提醒：完成作业 第二章 章末复习课5 答案精析 题型探究 例1 8 26 解析 如图，设点B为椭圆的左焦点，点M(2，1)在椭圆内，那么 |BM|AM|AC|AB|AC|2a， 所以|AM|AC|2a|BM|， 而a4， |BM| ， 2321 26 所以(|AM|AC|) 最小值 8 . 26 跟踪训练
8、1 D 例2 5 跟踪训练2 C 例3 解 假设在x轴上存在点M(m，0)，使 为常数 MA MB 设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 ) 当直线AB与x轴不垂直时，直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为yk(x1)，将 yk(x1)代入椭圆方程x 2 3y 2 5，消去y整理，得(3k 2 1)x 2 6k 2 x3k 2 50. 则Error! 所以 (x 1 m)(x 2 m)y 1 y 2 MA MB (x 1 m)(x 2 m)k 2 (x 1 1)(x 2 1) (k 2 1)x 1 x 2 (k 2 m)(x 1 x 2 )k 2 m 2 . 将上式整理，得 m 2
9、 MA MB 6m1k25 3k21 m 2 2m 1 3 3k212m 14 3 3k216 m 2 2m . 1 3 6m14 33k21 注意到 是与k无关的常数， MA MB 从而有6m140，解得m ， 7 3 此时 . MA MB 4 9 当直线AB与x轴垂直时， 此时点A，B的坐标分别为A(1， )， 2 3 3 B(1， )， 2 3 3 当m 时，亦有 . 7 3 MA MB 4 9 综上，在x轴上存在定点M( ，0)， 7 3 使 为常数 MA MB 跟踪训练3 解 (1)因为以F为圆心、|FP|为半径的圆与C的准线l相切， 所以圆的半径为p，即|FP|p， 所以FPx轴，
10、又点P的横坐标为1， 所以焦点F的坐标为(1，0)，从而p2. (2)由(1)知抛物线C的方程为y 2 4x， 设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )， 线段AB 的垂直平分线与x轴的交点D(x 0 ，0)， 则由|DA|DB|，y 4x 1 ，y 4x 2 ， 2 1 2 2 得(x 1 x 0 ) 2 y (x 2 x 0 ) 2 y ， 2 1 2 2 化简得x 0 2， x1x2 2 设直线AB的方程为xmy1，代入抛物线C的方程， 得y 2 4my40，由0得m 2 1， 由根与系数的关系得y 1 y 2 4m， 所以x 1 x 2 m(y 1 y 2 )24m 2 2， 代入得x 0 2m 2 13， 故线段AB的垂直平分线在x轴上的截距的取值范围是(3，) 当堂训练 1C 2.A 3.B 7 42xy150 5.3
