1、1 24.2 抛物线的几何性质(一) 学习目标 1.了解抛物线的范围、对称性、顶点、焦点、准线等几何性质.2.会利用抛物线 的性质解决一些简单的抛物线问题 知识点一 抛物线的几何性质 思考1 类比椭圆、双曲线的几何性质，结合图象，你能说出抛物线y 2 2px(p0)的范围、 对称性、顶点坐标吗？思考2 参数p对抛物线开口大小有何影响？梳理 标准方程 y 2 2px (p0) y 2 2px (p0) x 2 2py (p0) x 2 2py (p0) 图形 范围 对称轴 顶点 性质 离心率 e_ 知识点二 焦点弦 设过抛物线焦点的弦的端点为A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则
2、：2 y 2 2px(p0) ABx 1 x 2 p y 2 2px(p0) ABp(x 1 x 2 ) x 2 2py(p0) ABy 1 y 2 p x 2 2py(p0) ABp(y 1 y 2 ) 类型一 由抛物线的几何性质求标准方程 例1 已知抛物线的焦点F在x轴上，直线l过F且垂直于x轴，l与抛物线交于A，B两点， O为坐标原点，若OAB的面积等于4，求此抛物线的标准方程 引申探究 等腰直角三角形AOB内接于抛物线y 2 2px(p0)，O为抛物线的顶点，OAOB，则AOB的 面积是_反思与感悟 用待定系数法求抛物线标准方程的步骤 (1)定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴
3、上及开口方向 (2)设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程 (3)寻关系：根据条件列出关于p的方程 (4)得方程：解方程，将p代入所设方程为所求 跟踪训练1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，其上一点P到准线及对称轴 的距离分别为10和6，求抛物线的方程类型二 抛物线的焦点弦问题 例2 已知直线l经过抛物线y 2 6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点 (1)若直线l的倾斜角为60，求AB的值； (2)若AB9，求线段AB的中点M到准线的距离3 反思与感悟 (1)抛物线的焦半径 定义 抛物线的焦半径是指以抛物线上任意一点与抛物线焦点 为端点的线段 焦半径公式 P(x 0 ，y 0
4、)为抛物线上一点，F为焦点. 若抛物线y 2 2px(p0)，则PFx 0 ； p 2 若抛物线y 2 2px(p0)，则PF x 0 ； p 2 若抛物线x 2 2py(p0)，则PFy 0 ； p 2 若抛物线x 2 2py(p0)，则PF y 0 p 2 (2)过焦点的弦长的求解方法 设过抛物线y 2 2px(p0)焦点的弦的端点为A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则ABx 1 x 2 p.然后 利用弦所在直线方程与抛物线方程联立，消元，由根与系数的关系求出x 1 x 2 即可 跟踪训练2 已知抛物线方程为y 2 2px(p0)，过此抛物线焦点的直线与抛物线交于A，B
5、两点，且AB p，求AB所在直线的方程 5 2类型三 抛物线在实际生活中的应用 例3 河上有一抛物线形拱桥，当水面距拱桥顶5 m时，水面宽为8 m，一小船宽4 m、高2 m，载货后船露出水面的部分为0.75 m，问：水面上涨到与抛物线拱桥拱顶相距多少米时， 小船开始不能通航？4反思与感悟 涉及拱桥、隧道的问题，通常需建立适当的平面直角坐标系，利用抛物线的标 准方程进行求解 跟踪训练3 如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米 就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米若洪水到来时，水位从警戒线开始以每小时0.2 米的速度上升，再持续多少小时才能到拱桥顶？(平面直角坐标
6、系是以桥顶点为原点O)1抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点(5，2 )到焦点的距离是6，则 5 抛物线方程为_ 2顶点在坐标原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线的标准方程是 _ 3抛物线y 2 x上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为_ 4过抛物线y 2 4x的焦点作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的横坐标为 3，则AB_. 5对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： 焦点在y轴上； 焦点在x轴上； 抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； 抛物线的通径的长为5； 由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1) 符合抛物线方程为y 2 10x的条件是_(
7、要求填写合适条件的序号)5 1讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待 定系数法求抛物线的方程 2抛物线中的最值问题：注意抛物线上的点到焦点的距离与点到准线的距离的转化，其次 是平面几何知识的应用 提醒：完成作业 第2章 2.4 2.4.2(一)6 答案精析 问题导学 知识点一 思考1 范围x0，关于x轴对称，顶点坐标(0,0) 思考2 参数p(p0)对抛物线开口大小的影响，因为过抛物线的焦点F且垂直于对称轴的弦 的长度是2p，所以p越大，开口越大 梳理 x0，yR x0，yR xR，y0 xR，y0 x轴 y轴 (0,0) 1 题型探究 例1 解 由题意设
8、抛物线方程为y 2 2mx(m0)， 焦点坐标为F( ，0)直线l：x ， m 2 m 2 所以A，B两点的坐标为( ，m)，( ，m)， m 2 m 2 所以AB2|m|. 因为OAB的面积为4， 所以 | |2|m|4， 1 2 m 2 所以m2 . 2 所以抛物线的标准方程为y 2 4 x. 2 引申探究 4p 2 跟踪训练1 解 设抛物线的方程为y 2 2ax(a0)，点P(x 0 ，y 0 ) 因为点P到对称轴距离为6， 所以y 0 6. 因为点P到准线距离为10， 所以|x 0 |10. a 2 因为点P在抛物线上，所以362ax 0 ， 由，得Error!或Error!或Erro
9、r!或Error! 所以所求抛物线的方程为y 2 4x或y 2 36x. 例2 解 (1)因为直线l的倾斜角为60， 所以其斜率为ktan 60 . 3 又F ，所以直线l的方程为y . ( 3 2 ，0 ) 3 ( x 3 2 )7 联立Error! 消去y得x 2 5x 0. 9 4 设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )，则x 1 x 2 5. 而ABAFBFx 1 x 2 p 2 p 2 x 1 x 2 p，所以AB538. (2)设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )由抛物线定义知， ABAFBFx 1 x 2 x 1 x 2 px 1 x 2 3， p
10、2 p 2 所以x 1 x 2 6，所以线段AB的中点M的横坐标是3. 又准线方程是x ， 3 2 所以M到准线的距离等于3 . 3 2 9 2 跟踪训练2 解 如图所示， 抛物线y 2 2px(p0)的准线方程为x ， p 2 设A(x 1 ，y 1 )，B(x 2 ，y 2 )， A，B到准线的距离分别为d A ，d B . 由抛物线的定义知， AFd A x 1 ， p 2 BFd B x 2 ， p 2 于是ABx 1 x 2 p p， 5 2 x 1 x 2 p. 3 2 当x 1 x 2 时，AB2p0)由题意可知，点B(4，5)在抛物线上，故p ，得x 2 y.当 8 5 16
11、5 船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA，则A(2，y A )，由 2 2 y A ，得y A .又知船面露出水面的部分为0.75 m，所以 16 5 5 4 h|y A |0.752(m)所以水面上涨到与抛物线形拱桥拱顶相距2 m时，小船开始不能通 航 跟踪训练3 解 设所求抛物线的方程为yax 2 . 设D(5，b)，则B(10，b3) 把D、B 的坐标分别代入yax 2 ，得Error! 解得Error!y x 2 . 1 25 b1， 拱桥顶O到CD的距离为1， t 5小时 1 0.2 即再持续5小时到达拱桥顶 当堂训练 1y 2 4x 2.x 2 16y 3( ， ) 4.8 5. 1 8 2 4
