1、1 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量 学习目标 1.理解斜线和平面所成的角的定义，体会夹角定义的唯一性、合理性.2.会求 直线与平面的夹角.3.掌握二面角的概念，二面角的平面角的定义，会找一些简单图形 中的二面角的平面角.4.掌握求二面角的基本方法、步骤 知识点一 直线与平面所成的角 思考 斜线和平面所成的角具有什么性质？ 梳理 (1)直线与平面所成的角 (2)最小角定理 知识点二 二面角及理解 思考 如何找二面角的平面角？2 梳理 (1)二面角的概念 二面角的定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平 面从一条直线出发的_所组成的图形叫做二面角如
2、图所示，其中，直线l 叫做二面角的_，每个半平面叫做二面角的_，如图中的，. 二面角的记法：棱为l，两个面分别为，的二面角，记作l.如图， A，B，二面角也可以记作AlB，也可记作 2 l. 二面角的平面角：在二面角l的棱上任取一点O，在两半平面内分别作射线 OAl，OBl，则AOB叫做二面角l的平面角，如图所示由等角定理知，这 个平面角与点O在l上的位置无关 直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角 二面角的范围是0，180(2)用向量夹角来确定二面角性质及其度量的方法 如图，分别在二面角l的面，内，并沿，延伸的方向，作向量 n 1 l，n 2 l，则n 1 ，n 2 等于该二面角的平面角
3、 如图，设m 1 ，m 2 ，则角m 1 ，m 2 与该二面角大小相等或互补 类型一 求直线与平面的夹角 例1 已知正三棱柱ABCA 1 B 1 C 1 的底面边长为a，侧棱长为 a，求AC 1 与侧面ABB 1 A 1 所成 2 的角 反思与感悟 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角 坐标系，再用向量的有关知识求解线面角方法二给出了用向量法求线面角的常用方法， 即先求平面法向量与斜线夹角，再进行换算 跟踪训练1 如图所示，已知直角梯形ABCD，其中ABBC2AD，AS平面3 ABCD，ADBC，ABBC，且ASAB.求直线SC与底面ABCD的夹角的余弦值 类型二
4、 求二面角 例2 在底面为平行四边形的四棱锥PABCD中，ABAC，PA平面ABCD，且PAAB，E 是PD的中点，求平面EAC与平面ABCD的夹角 反思与感悟 (1)当空间直角坐标系容易建立(有特殊的位置关系)时，用向量法求解二面角 无需作出二面角的平面角只需求出平面的法向量，经过简单的运算即可求出，有时不易 判断两法向量的夹角的大小就是二面角的大小(相等或互补)，但我们可以根据图形观察得 到结论，因为二面角是钝二面角还是锐二面角一般是明显的(2)注意法向量的方向：一进 一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角 跟踪训练2 若PA平面ABC，ACBC，PAAC1，BC
5、 ，求锐二面角APBC的余 2 弦值 1在三棱柱ABCA 1 B 1 C 1 中，底面是棱长为1的正三角形，侧棱AA 1 底面ABC，点D在棱 BB 1 上，且BD1，若AD与平面AA 1 C 1 C所成的角为，则sin 的值是( ) A. B. C. D. 3 2 2 2 10 4 6 4 2已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为 _ 3正四面体ABCD中棱AB与底面BCD所成角的余弦值为_ 4已知点A(1，0，0)，B(0，2，0)，C(0，0，3)，则平面ABC与平面xOy所成锐二面角 的余弦值为_4 1线面角可以利用定义在直角三角形中解决 2
6、线面角的向量求法：设直线的方向向量为a，平面的法向量为n，直线与平面所成的角 为，则sin |cosa，n| . |an| |a|n| 提醒：完成作业 第三章 3.2.33.2.45 答案精析 问题导学 知识点一 思考 斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线所成角中最小的 角，且cos cos 1 cos 2 .(如图) 梳理 (1)90 0 射影 (2)cos cos 1 cos 2射影 最小的角 知识点二 思考 (1)定义法 由二面角的平面角的定义可知平面角的顶点可根据具体题目选择棱上一个特殊点，求解用 到的是解三角形的有关知识 (2)垂面法 作(找)一个与棱垂直的平面
7、，与两面的交线就构成了平面角 (3)三垂线定理(或逆定理)作平面角，这种方法最为重要，其作法与三垂线定理(或逆定理) 的应用步骤一致 梳理 (1)两个半平面 棱 面 题型探究 例1 解 建立如图所示的空间直角坐标系， 则A(0，0，0)，B(0，a，0)， A 1 (0，0， a)， 2 C 1 ， ( 3 2 a， a 2 ， 2a ) 方法一 取A 1 B 1 的中点M， 则M(0， a)，连接AM，MC 1 ， a 2 2 有 ( a，0，0)， (0，a，0)， MC1 3 2 AB 6 (0，0， a) AA1 2 0， 0， MC1 AB MC1 AA1 ， ， MC1 AB MC
8、1 AA1 则MC 1 AB，MC 1 AA 1 . 又ABAA 1 A， MC 1 平面ABB 1 A 1 . C 1 AM是AC 1 与侧面ABB 1 A 1 所成的角 由于 ， AC1 ( 3 2 a， a 2 ， 2a ) (0， a)， AM a 2 2 0 2a 2 ， AC1 AM a2 4 9a2 4 | | a， AC1 3a2 4 a2 4 2a2 3 | | a， AM a2 4 2a2 3 2 cos ， . AC1 AM 9a2 4 3a 3a 2 3 2 ， 0，180， AC1 AM ， 30， AC1 AM 又直线与平面所成的角在0，90范围内， AC 1 与侧
9、面ABB 1 A 1 所成的角为30. 方法二 (0，a，0)， (0，0， a)， AB AA1 2 . AC1 ( 3 2 a， a 2 ， 2a ) 设侧面ABB 1 A 1 的法向量为n(，y，z)， n 0且n 0. AB AA1 ay0且 az0. 2 yz0.故n(，0，0)7 cos ，n ， AC1 nAC1 |n|AC1 | 2| |cos ，n| . AC1 1 2 又直线与平面所成的角在0，90范围内， AC 1 与侧面ABB 1 A 1 所成的角为30. 跟踪训练1 解 由题设条件知，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AS所在直线为x轴， y轴，z轴，建立空间直角坐
10、标系(如图所示). 设AB1，则A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(1，1，0)，D ，S(0，0，1)， ( 1 2 ，0，0 ) (0，0，1)， AS (1，1，1) CS 显然 是底面的法向量，它与已知向量 的夹角90， AS CS 故有sin cos ， AS CS |AS |CS | 1 1 3 3 3 0，90， cos . 1sin2 6 3 例2 解 方法一 如图，以A为原点，分别以AC，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系 设PAABa，ACb，连接BD与AC交于点O，取AD中点F，连接EF，EO，FO，则 C(b，0，0)，B(0，a，0)8 ，
11、BA CD D(b，a，0)，P(0，0，a)， E ，O ， ( b 2 ， a 2 ， a 2 ) ( b 2 ，0，0 ) ， (b，0，0) OE ( 0， a 2 ， a 2 ) AC 0， OE AC ， ， 0. OE AC OF 1 2 BA ( 0， a 2 ，0 ) OF AC . OF AC EOF等于平面EAC与平面ABCD的夹角(或补角) cos ， . OE OF OE OF |OE |OF | 2 2 平面EAC与平面ABCD的夹角为45. 方法二 建系如方法一， PA平面ABCD， (0，0，a)为平面ABCD的法向量， AP ， (b，0，0) AE ( b
12、2 ， a 2 ， a 2 ) AC 设平面AEC的法向量为m(x，y，z) 由Error! 得Error! x0，yz.取m(0，1，1)， cosm， . AP mAP |m|AP | a 2a 2 2 平面EAC与平面ABCD的夹角为45. 跟踪训练2 解 如图所示建立空间直角坐标系，9 则A(0，0，0)，B( ，1，0)， 2 C(0，1，0)，P(0，0，1)， 故 (0，0，1)， ( ，1，0)， ( ，0，0)， (0，1，1)， AP AB 2 CB 2 CP 设平面PAB的法向量为 m(x，y，z)， 则Error! Error! Error! 令x1，则y ，故m(1， ，0) 2 2 设平面PBC的法向量为n(x，y，z)， 则Error! Error! Error! 令y1，则z1， 故n(0，1，1)， cosm，n . mn |m|n| 3 3 锐二面角APBC的余弦值为 . 3 3 当堂训练 1D 2.45或135 3. 4. 3 3 2 7
