1、1 33.3 最大值与最小值 学习目标 1.理解函数最值的概念，了解其与函数极值的区别与联系.2.会求某闭区间上函 数的最值 知识点 函数的最大值与最小值 如图为yf(x)，xa，b的图象 思考1 观察a，b上函数yf(x)的图象，试找出它的极大值、极小值思考2 结合图象判断，函数yf(x)在区间a，b上是否存在最大值，最小值？若存在， 分别为多少？思考3 函数yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某极值吗？思考4 怎样确定函数f(x)在a，b上的最小值和最大值？梳理 (1)函数的最大(小)值的存在性 一般地，如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条_的曲线，那么它2 必有最大值与最小值
2、 (2)求函数yf(x)在闭区间a，b上的最值的步骤 求函数yf(x)在(a，b)内的_； 将函数yf(x)的_与_处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个 是_，最小的一个是_ 类型一 求函数的最值 命题角度1 不含参数的函数求最值 例1 求下列函数的最值： (1)f(x)2x 3 12x，x2,3； (2)f(x) xsin x，x0,2 1 2反思与感悟 求解函数在固定区间上的最值，需注意以下几点： (1)对函数进行准确求导，并检验f(x)0的根是否在给定区间内； (2)研究函数的单调性，正确确定极值和端点函数值； (3)比较极值与端点函数值大小，确定最值 跟踪训练1 求函数f(
3、x)e x (3x 2 )，x2,5的最值命题角度2 含参数的函数求最值 例2 已知a是实数，函数f(x)x 2 (xa)，求f(x)在区间0,2上的最大值3反思与感悟 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从而导致最值 的变化所以解决这类问题常需要分类讨论，并结合不等式的知识进行求解 跟踪训练2 在例2中，将区间0,2改为1,0，结果如何？类型二 由函数的最值求参数 例3 已知函数f(x)ax 3 6ax 2 b，x1,2的最大值为3，最小值为29，求a，b的 值反思与感悟 已知函数在某区间上的最值求参数的值(范围)是求函数最值的逆向思维，一般 先求导数，利用导数研究函数的
4、单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程(不等 式)解决问题其中注意分类讨论思想的应用 跟踪训练3 设f(x) x 3 x 2 2ax.当00时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x 1 (1,0) 0 (0,2) 2 f(x) 0 f(x) 7ab b 16ab 由表可知，当x0时，f(x)取得极大值b，也是函数f(x)在1,2上的最大值，f(0) b3. 又f(1)7a3， f(2)16a3f(1)， f(2)16a293，解得a2. 综上可得，a2，b3或a2， b29. 跟踪训练3 解 f(x)x 2 x2a， 令f(x)0，得两根x 1 ， 1 18a 2 x 2 . 1 18a 2 当x(，x 1 )，(x 2 ，)时， f(x)0， 所以f(x)在(，x 1 )，(x 2 ，)上单调递减，在(x 1 ，x 2 )上单调递增 当01. 故实数m的取值范围是(1，) 跟踪训练4 解 由2xln xx 2 ax3， 则a2ln xx . 3 x 设h(x)2ln x x(x0) 3 x 则h(x) ， x3x1 x2 令h(x)0，得x1， 当x(0,1)时，h(x)0，h(x)单调递增 h(x) min h(1)4. ah(x) min 4. a的取值范围是(，4 当堂训练 1 2. 3.6 4. 5.(7，) 1 2
