1、1 32.2 函数的和、差、积、商的导数 学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综 合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数 知识点一 和、差的导数 已知f(x)x，g(x) . 1 x 思考1 f(x)，g(x)的导数分别是什么？思考2 试求Q(x)x ，H(x)x 的导数 1 x 1 x梳理 和、差的导数 f(x)g(x)f(x)g(x) 知识点二 积、商的导数 已知f(x)x 2 ，g(x)sin x，(x)3. 思考1 试求f(x)，g(x)，(x)思考2 求H(x)x 2 sin x，M(x) ，Q(x)3sin x的导数 sin x x2
2、2梳理 (1)积的导数 f(x)g(x)_； Cf(x)_. (2)商的导数 _(g(x)0) fx gx (3)注意：f(x)g(x)f(x)g(x)， . fx gx fx gx 类型一 导数运算法则的应用 例1 求下列函数的导数： (1)f(x) ax 3 bx 2 c；(2)f(x)xln x2 x ； 1 3 (3)f(x) ；(4)f(x)x 2 e x . x1 x1反思与感悟 (1)解答此类问题时常因导数的四则运算法则不熟而失分 (2)对一个函数求导时，要紧扣导数运算法则，联系基本初等函数的导数公式，当不易直接 应用导数公式时，应先对函数进行化简(恒等变换)，然后求导这样可以减
3、少运算量，优化 解题过程 (3)利用导数法则求导的原则是尽可能化为和、差，利用和、差的求导法则求导，尽量少用 积、商的求导法则求导 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)y ；(2)y ； 2x33x x1 x x x21 x233 (3)y(x1)(x3)(x5)；(4)yxsin x . 2 cos x类型二 导数运算法则的综合应用 命题角度1 利用导数求函数解析式 例2 (1)已知函数f(x) 2xf(1)，试比较f(e)与f(1)的大小关系； ln x x (2)设f(x)(axb)sin x(cxd)cos x，试确定常数a，b，c，d，使得f(x)xcos x.反思与感悟 (1)中
4、确定函数f(x)的解析式，需要求出f(1)，注意f(1)是常数(2)中 利用待定系数法可确定a，b，c，d的值完成(1)(2)问的前提是熟练应用导数的运算法 则 跟踪训练2 已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2e x f(1)3ln x，则 f(1)_. 命题角度2 与切线有关的问题 例3 已知函数f(x)ax 2 bx3(a0)，其导函数f(x)2x8. (1)求a，b的值； (2)设函数g(x)e x sin xf(x)，求曲线g(x)在x0处的切线方程4反思与感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素其他的 条件可以进行转化，从而转化为这三个要素
5、间的关系 (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，也是解题的关键，务必做到准 确 (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点 跟踪训练3 (1)设曲线y 在点( ，2)处的切线与直线xay10垂直，则 2cos x sin x 2 a_. (2)设函数f(x)g(x)x 2 ，曲线yg(x)在点(1，g(1)处的切线方程为y2x1，则曲 线yf(x)在点(1，f(1)处切线的斜率为_ 1函数 y( 1)( 1)的导数等于_ x x 2函数 y 的导数是_ cos x 1x 3曲线 y 在点(1，1)处的切线方程为_ x x2 4已知函数f(x)
6、的导函数为f(x)，若f(x)f( )sin xcos x，则f( ) 3 3 _. 5设曲线y 在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a_. x1 x1 求函数的导数要准确把函数分割为基本函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导数在 求导过程中，要仔细分析出函数解析式的结构特征，根据导数运算法则，联系基本函数的导 数公式对于不具备导数运算法则结构形式的要适当恒等变形，转化为较易求导的结构形式， 再求导数，进而解决一些切线斜率、瞬时速度等问题 提醒：完成作业 第3章 3.2 3.2.25 答案精析 问题导学 知识点一 思考1 f(x)1，g(x) . 1 x2 思考2 y(xx) (x
7、 ) 1 xx 1 x x ， x xxx 1 . y x 1 xxx 当x0时，1 1 . 1 xxx 1 x2 Q(x)1 . 1 x2 同理，H(x)1 . 1 x2 知识点二 思考1 f(x)2x，g(x)cos x， (x)0. 思考2 H(x)2xsin xx 2 cos x， M(x) sin xx2sin xx2 x22 ， x2cos x2xsin x x4 xcos x2sin x x3 Q(x)3cos x. 梳理 (1)f(x)g(x)f(x)g(x) Cf(x) (2) fxgxfxgx g2x 题型探究 例1 解 (1)f(x)( ax 3 bx 2 c) 1 3
8、( ax 3 )(bx 2 )cax 2 2bx. 1 3 (2)f(x)(xln x2 x ) (xln x)(2 x ) xln xx(ln x)2 x ln 26 ln x12 x ln 2. (3)方法一 f(x)( ) x1 x1 x1x1x1x1 x12 . x1x1 x12 2 x12 方法二 f(x) x1 x1 x12 x1 1 ， 2 x1 f(x)(1 )( ) 2 x1 2 x1 . 02x1 x12 2 x12 (4)f(x)(x 2 e x )(x 2 )e x x 2 (e x ) 2xe x x 2 e x e x (2xx 2 ) 跟踪训练1 解 (1)y2x
9、 3 2 3x 1 2 x 1 x 3 2 ， y3x 1 2 x 3 2 x 2 x 5 2 . 3 2 3 2 (2)方法一 y x21x23x21x23 x232 . 2xx232xx21 x232 4x x232 方法二 y x21 x23 x232 x23 1 ， 2 x23 y(1 )( ) 2 x23 2 x23 2x232x23 x232 . 4x x232 (3)方法一 y(x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(x5)(x1)(x3) (x1)(x3)(x5)(x1)(x3)(2x4)(x5)(x1)(x3)3x 2 18x23. 方法二 y(x1)(x3)(x5)(x 2
10、 4x3)(x5) x 3 9x 2 23x15，7 y(x 3 9x 2 23x15) 3x 2 18x23. (4)y(xsin x)( ) 2 cos x xsin xx(sin x) 2cos x2cos x cos x2 sin xxcos x . 2sin x cos2x 例2 解 (1)由题意得f(x) 2f(1)， 1ln x x2 令x1，得f(1) 2f(1)， 1ln 1 1 即f(1)1. 所以f(x) 2x， ln x x 得f(e) 2e 2e， ln e e 1 e f(1)2， 由f(e)f(1) 2e20， 1 e 得f(e)f(1) (2)由已知f(x)(a
11、xb)sin x(cxd)cos x (axb)sin x(cxd)cos x (axb)sin x(axb)(sin x)(cxd)cos x(cxd)(cos x) asin x(axb)cos xccos x(cxd)sin x (acxd)sin x(axbc)cos x. 又f(x)xcos x， Error!即Error! 解得ad1，bc0. 跟踪训练2 3 12e 例3 解 (1)因为f(x)ax 2 bx3(a0)， 所以f(x)2axb， 又f(x)2x8，所以a1，b8. (2)由(1)可知，g(x)e x sin xx 2 8x3， 所以g(x)e x sin xe x cos x2x8， 所以g(0)e 0 sin 0e 0 cos 02087，8 又g(0)3， 所以g(x)在x0处的切线方程为y37(x0)， 即7xy30. 跟踪训练3 (1)1 (2)4 当堂训练 11 2. cos xsin xxsin x 1x2 3y2x1 4. 5.2 3
