1、1 32.1 直线的方向向量与平面的法向量 学习目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量的意义.2.会用待定系数法求平面的法 向量 知识点一 直线的方向向量 直线l上的向量e(e0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量 知识点二 平面的法向量 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n垂直于平面，记 作n，此时，我们把向量n叫做平面的法向量 思考 1平面的法向量有无数个，它们之间有何关系？ 答案 相互平行 2一条直线的方向向量和平面法向量是否惟一？是否相等？ 答案 不惟一，它们相互平行，但不一定相等 题型一 直线的方向向量及其应用 例1 设直线l 1 的方向向量为a(
2、1,2，2)，直线l 2 的方向向量为b(2,3，m)，若 l 1 l 2 ，则m_. 答案 2 解析 由题意，得ab，所以ab(1,2，2)(2,3，m)262m42m0， 所以m2. 反思与感悟 若l 1 l 2 ，则l 1 与l 2 的方向向量垂直；若l 1 l 2 ，则l 1 与l 2 的方向向量平 行 跟踪训练1 若直线l 1 ，l 2 的方向向量分别是a(1，3，1)，b(8,2,2)，则l 1 与 l 2 的位置关系是_ 答案 垂直 解析 因为ab(1，3，1)(8,2,2)8620，所以ab，从而l 1 l 2 . 题型二 求平面的法向量 例2 如图所示，在四棱锥SABCD中，
3、底面是直角梯形，2 ABC90，SA底面ABCD，且SAABBC1，AD ，建立适当的空间直角坐标系， 1 2 求平面SCD与平面SBA的一个法向量 解 如图，以A为原点，以 ， ， 分别为x，y，z轴的正方向 AD AB AS 建立空间直角坐标系， 则A(0,0,0)，D( ，0,0)， 1 2 C(1,1,0)，S(0,0,1)， 则 ( ，1,0)， DC 1 2 ( ，0,1) DS 1 2 易知向量 ( ，0,0)是平面SAB的一个法向量 AD 1 2 设n(x，y，z)为平面SDC的法向量， 则Error!即Error! 取x2，则y1，z1， 平面SDC的一个法向量为(2，1,1
4、) 反思与感悟 求平面法向量的方法与步骤： (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如 ， ； AC AB (2)设平面的法向量为n(x，y，z)； (3)联立方程组Error!并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系时，设定一个坐标为常数(常数不 能为0)便可得到平面的一个法向量 跟踪训练2 已知A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量 解 设平面ABC的法向量为n(x，y，z)， 由题意知 (1,1,0)， (1,0，1) AB BC n ，n ，Error! AB BC 解得Error!令 x1，则yz1. 平面
5、ABC的一个法向量为n(1,1,1) 题型三 证明平面的法向量 例3 在正方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 中，E，F分别是BB 1 ，CD的中点 求证： 是平面ADE的法向量 D1F 3 证明 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD 1 分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则 D(0,0,0)，D 1 (0,0,1)，A(1,0,0)，E(1,1， )，F(0，0)， 1 2 1 2 所以 (1,0,0)， (0，1)， AD D1F 1 2 (0,1， )， AE 1 2 所以 (1,0,0)(0，1)0， AD D1F 1 2 (0,1， )(0，1)
6、0， AE D1F 1 2 1 2 所以 ， ，又ADAEA， AD D1F AE D1F 所以 平面ADE， D1F 从而 是平面ADE的法向量 D1F 反思与感悟 用向量法证明线面垂直的实质仍然是用向量的数量积证明线线垂直，因此， 其思想方法与证明线线垂直相同，区别在于必须证明两个线线垂直 跟踪训练3 已知正方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 的棱长为1，在BC、DD 1 上是否存在点E、F，使 是平面ABF的法向量？若存在，证明你的结论，并求出点E、F满足的条件；若不存在， B1E 请说明理由 解 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,1)，B(1,1,1)， B 1 (1
7、,1,0)， 设F(0,0，h)，E(m,1,1)， 则 (0,1,0)， (m1,0,1)， (1,0,1h) AB B1E FA 0，ABB 1 E.若 是平面ABF的法向量， AB B1E B1E 则 m11hmh0，hm.即E、F满足D 1 FCE时， 是平面ABF的法 B1E FA B1E 向量 故存在，且E、F满足D 1 FCE.4 利用向量法判断直线与平面平行 例4 已知u是平面的一个法向量，a是直线l的一个方向向量，若u(3,1,2)， a(2,2,2)，则l与的位置关系是_ 错解 因为ua(3,1,2)(2,2,2) 3(2)12220， 所以ua，所以l. 错因分析 错误的
8、根本原因是忽视了直线与平面平行和向量与平面平行的区别实际上， 本例中由向量ua可得l或l. 正解 因为ua(3,1,2)(2,2,2) 3(2)12220. 所以ua，所以l或l. 答案 l或l 1已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l 1 、l 2 的方向向量若l 1 l 2 ，则 x_，y_. 答案 6 15 2 解析 由l 1 l 2 得， ，解得x6，y . 2 3 4 x 5 y 15 2 2在正方体ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 的所有棱、面对角线、体对角线所对应的向量中，是平面 A 1 B 1 CD的法向量的是_ 答案 或 或 或 AD1 C1B D1A BC
9、1 3若a(1,2,3)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是 _ (0,1,2) (3,6,9) (1，2,3) (3,6,8) 答案 解析 向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线 4若直线l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为(1，2)，则 1 2 m_. 答案 85 解析 l，平面的法向量为(1，2)， 1 2 (2，m,1)(1，2)0. 1 2 2 m20.m8. 1 2 5在直三棱柱ABCA 1 B 1 C 1 中，以下向量可以作为平面ABC法向量的是_(填序号) ； ； ； . AB AA1 B1B A1C1 答案 解析 AA 1 平面ABC，B
10、1 B平面ABC， 与 可以作为平面ABC的法向量 AA1 B1B 1.直线的方向向量的应用 利用方向向量可以确定空间中的直线若有直线l，点A为直线上的点，向量a是l的方 向向量，在直线l上取 a，则对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使 t ， AB AP AB 这样，点A和向量a不仅可以确定直线l的位置还可以具体地表示出直线l上的任意点 2平面的法向量的求法 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解， 一般步骤如下： (1)设出平面的法向量为n(x，y，z) (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a(a 1 ，b 1 ，c 1 )，b(a 2 ，b 2 ，c 2 ) (3)根据法向量的定义建立关于x、y、z的方程组Error! (4)解方程组，取其中的一组解，即得法向量
