1、第二章 平面体系的机动分析,（平面体系的几何组成分析 ）,几何构造分析的几个概念 几何不变体系的组成规律 平面杆件体系的计算自由度,本章主要内容,本章从几何构造的角度来讨论结构。结构能否承受各种可能的荷载，取决于其几何构造的合理性。结构本身应是几何稳固的，并保持其几何形状不变，才能承受荷载。反之，如果结构体系是几何不稳固的，不能保持其几何形状不变，则其不能承受任意荷载。因此，从几何构造的角度看，结构应有合理的几何构造，应是一个几何形状不变的体系。 平面体系的几何组成分析：研究杆件间的连接装置应怎样布置，才能使它们可保持几何形状和位置的结构，以承担结构荷载。,(1)判断能否作为结构；(2)设计新
2、型合理的结构；(3)确定是否是超静定结构，选择相应的计算方法；确定结构的基本部分和附属部分，选择合理的计算顺序。,平面体系机动分析的目的,2-1 概 述,几何不变体系在任意荷载作用下，几何形状及位置均 保持不变的体系。（不考虑材料的变形）,几何可变体系 在一般荷载作用下，几何形状及位置将发生改变的体系。（不考虑材料的变形）,结构,机构,平面体系的几何组成分析判定平面体系是否几何可变，对于几何不变体系，区分体系内部是否有多余约束。,2-2 平面体系的计算自由度W,自由度-确定物体位置所需要的独立坐标（x、y、z）数目,自由度数 n=2,平面内一点,或者体系运动时所具有的独立运动方式数目,一、平面
3、体系的自由度S,刚 片,定义：在平面内可以看成是几何形状不变的物体。,一根杆件（一根梁、一个柱）、地基基础或体系中已经肯定为几何不变的某个部分都可看作一个平面刚片。,刚片形状可以任意替换,每个自由刚片有 多少个 自由度呢？,n=3,平面刚体刚片,刚片 自由度数,几何不变体系的自由度一定等于零 S=0,几何可变体系的自由度一定大于零S0,二、联系（约束）,体系有自由度（S0），就不能承受荷载，因此就应想办法减少其自由度。当对体系添加了某些装置后，限制了体系的某些方向的运动，使体系原有的自由度数减少，就说这些装置是加在体系上的约束。约束，指限制运动的装置。能减少一个自由度的装置就称为一个约束。,(
4、1)链杆：,增加一根链杆可以减少一个自由度，相当于一个约束。,常见的约束 ：,两端用铰与其它物体相连的杆。 链杆可以是直杆、折杆、曲杆。,n=3,n=2,每个单链杆 能使体系减少 多少个 自由度呢？,每个单铰 能使体系减少 多少个自由度 呢？,（2）单铰：连接两个刚片的铰。,两个不共线的链杆相当于一个单铰。,常见的单铰形式：,组合刚片的自由度数 n=4,每一自由刚片3个自由度 两个自由刚片共有6个自由度,一个单铰相当于两根链杆【一根链杆=一个联系（约束）】,增加一个单铰可以减少两个自由度，相当于二个约束。,联结两刚片的两根不共线（相交或者平行）的链杆相当于一个单铰即瞬铰。虚铰的铰心在两根链杆（
5、延长线）的交点上。,2，3,（3）虚铰（瞬铰）,如左图所示，刚片和地基用两根链杆联结，刚片将绕O点发生相对转动，O为虚铰。转动后两链杆又形成新的交点，故交点O称为此瞬时的相对转动中心，简称为瞬心。交点O的作用与一个单铰的作用相同，但与前述的单铰（位置固定不变）又有所不同，所以称为虚铰。,.,C,O,D,A,B,虚铰-瞬铰,(a),(b),(c),两平行链杆构成一交点在无穷远的虚铰，其作用相当于无穷远处的一个实铰的作用。,两刚片用两链杆联接,组合刚片的自由度数 n=4,1个虚铰可以使体系减少2个自由度,.,C,O,D,A,B,无穷铰,虚铰-瞬铰,小结:单铰,1个连接n个刚片的复铰= (n-1)个
6、单铰,n=5,复铰 等于多少个 单铰？,(4)复铰：,连接两个刚片以上的铰。,(5)刚结点（固定端）,W=6,W=3,一个单刚结点可减少三个自由度相当于三个约束。,W=3,W=0,根据能否减少体系自由度，约束可分为：必要约束：能减少体系自由度的约束。 多余约束：不减少体系自由度的约束。,多余约束不改变体系的自由度，但将影响结构的受力 与变形。,约束的分类,注意：,注意：多余约束与非多余约束是相对的，多余约束一般不是唯一指定的,m-刚片数（不包括地基）h-单铰数r-支座链杆数,三、体系的计算自由度W：,等于体系内刚片总自由度数减总约束数,W = 3m-(2h+r),计算自由度W：,完全由两端铰结
7、的杆件所组成的体系,W=2j-b-r 其中： j-结点数b-链杆数r-支座链杆,铰结链杆体系-,对于铰结链杆体系也可将结点视为平面内的自由点，链杆视为联系（约束）。 铰结链杆体系计算自由度公式为：,应用上述公式时注意：,（1）复铰要换算成单铰。 一个复铰相当于（n-1)个单铰， 其中，n：复铰联接的杆件数。 如下图所示：,（2）铰支座、定向支座相当于两个链杆，固定端相当于三个链杆。,例1：求下列图示体系的计算自由度,W=38-(210+4)=0,AC CDB CE EF CF DF DG FG,3,2,3,1,1,有 几 个 刚 片？,有几个单铰？,例2：求下列图示体系的计算自由度,W=3 9
8、-(212+3)=0,按刚片计算,3,3,2,1,1,2,9根杆9个刚体,有几个单铰？,3根单链杆,另一种解法,W=2 6-12=0,按铰结体系计算,6个铰结点,12根单链杆,必要约束：除去约束后，体系的自由度将增加。,因为除去图中任意一根杆，体系都将有一个自由度，所以图中所有的杆都是必要的约束。,多余约束：除去约束后，体系的自由度并不改变。,下部正方形中任意一根杆，除去都不增加自由度，都可看作多余的约束。,图中上部四根杆和三根支座杆都是必要的约束。,缺少联系 几何可变,W=3 8-(210+3)=1,W=2 6-11=1,例3：求下列图示体系的计算自由度,W=0,体系 是否一定 几何不变呢？
9、,W=3 9-(212+3)=0,体系W 等于多少？ 可变吗？,3,2,2,1,1,3,有几个单铰？,例4：求下列图示体系的计算自由度,W=2 6-13=-10,W0,体系 是否一定 几何不变呢？,上部 具有多 余联系,W=3 10-(214+3)=-10,在计算自由度的式子中，部件可以是点，也可以是刚片。但刚片必须是内部没有多余约束的刚片，如果遇到内部有多余约束的刚片，则应把它变成内部无多余约束的刚片，而它的附加约束则在计算体系的约束总数时应当考虑进去。,无多余 约束的刚片,一个多余 约束的刚片,二个多余 约束的刚片,三个多余 约束的刚片,作业：,试求图示体系的自由度,A,B,C,W=0，有
10、一个多余约束的几何可变体系,W=0，无多余约束的几何不变体系,W=-1，有一个多余约束的几何不变体系,W=-1，有2个多余约束的几何可变体系,W=1，几何可变体系,求下列图示体系的计算自由度？,W=0，有一个多余约束的几何可变体系,W=0，无多余约束的几何不变体系,W=-1，有一个多余约束的几何不变体系,W=-1，有2个多余约束的几何可变体系,W=1，几何可变体系,S=1,S=0,S=1,S=0,S=1,求下列图示体系的计算自由度和自由度？,只有当体系上没有多余约束时，计算自由度才是体系的实际自由度。,从以上的分析可以看出以下两点：,第一点：计算自由度和体系几何属性的关系,3）w0,表明体系有
11、多余约束，但不一定就是几何不变体系。,1)w0，表明体系缺少足够的联系（约束），体系是几何可变的。,2）w=0，表明体系具有保证几何不变所需的最少约束数。如无多约 束，则为几何不变体系；如有多约束，则为几何可变体系。,重要结论：,W0是保证体系为几何不变的必要条件，而不是充分条件。,第二点：计算自由度W 和体系实际自由度S 的关系：,通过以上的分析总结可以看出：体系的计算自由度只能表明体系在维持几何不变方面所必须的约束数与实际的约束数之间的关系，并不一定代表体系的实际自由度。体系的实际自由度S、计算自由度W 和多余约束数n之间的关系为：,S=各刚片的自由度总和 - 非多余约束 S=各刚片的自由
12、度总和 - （全部约束数 - 多余约束数n） S=各刚片的自由度总和 - 全部约束数 + 多余约束数n 所以， S = W + n,注意：体系的实际自由度s、多余约束数n都不是负数，即:s0，n0。,从以上分析可知，当体系的自由度W0时，体系的几何属性还与约束的布置是否得当有关，约束应如何布置构成的体系为几何不变体系，这就是平面几何不变体系的组成规则。,2-3 几何不变体系的基本组成规则,一个三角形的三个边给定以后，三角形的形状是唯一的。故铰结三角形是一个几何形状不变的体。将铰结三角形中的每个链杆视为刚片，可得到由三个刚片组成几何不变体系的组成规则。,三刚片规则 二元体规则 两刚片规则,几何不
13、变体系的基本组成规则,三 铰 形 规 则,三个本身无多余约束的刚片，用不在一条直线上的三个铰两两相连（或者用六根链杆两两相连），则组成的体系是几何不变体系且无多余约束。,规则1 ：三刚片规则,无多余约束的几何不变体系,例如：三铰拱,大地、AC、BC为刚片;A、B、C为单铰,无多余约束几何不变,利用三刚片规则来判断下列体系的几何组成？,请问：下列体系能否用三刚片规则来解释？为什么？,在一个体系上，增加或去掉二元体，则体系的几何组成不变。,二元体：用两根不共线的链杆固定一个新点的装置,规则2 ：二元体规则,减二元体简化分析,加二元体组成结构,如何增、减二元体？,几何不变， 且无多余约束,几何可变，
14、 链杆通过铰,几何不变， 且有一个多余约束,两个本身无多余约束的刚片，用一个铰和一个不通过铰心的链杆相连，则组成的体系是几何不变体系且无多余约束。,规则3：两刚片规则,几何不变，且无多余约束,几何瞬变，但无多余约束,几何常变,几何常变,上述三个规则可归结为一个三角形法则。,规律 1 一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,规律 2 两个刚片用一个铰和一根链杆相联结，且它们不在一直线上，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。规律 4 两个刚片用三根链杆相连，且三链杆不平行也不交于同一点，则组成几何不变的整体，并且没有多余约束。,2两个刚片
15、之间的联结方式,无多余约束的几何不变体系,规律 3 三个刚片用三个铰(虚铰)两两相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。 规律 5 三个刚片用在一直线上的三个铰(虚铰)两两相连，则组成几何瞬变体系。,3三个刚片之间的联结方式,瞬变体系-原为几何可变，经微小位移后即转化为几何不变的体系。,瞬变体系,微小位移后，不能继续位移,不能平衡,问题：几何瞬变体能否作为结构？,特点：三铰共线,2-4 瞬变体系与常变体系,虽然经过微小位移以后变成几何不变体系，但体系会产生很大的内力，不能作为真实的结构。,瞬变体系的其它几种情况：, 三杆交于一点,2 常变体系, 三杆平行且等长,2-5
16、 平面体系机动分析时常用的简化方法,一、若某体系用简支梁式链杆与基础相连，则可以只分析该体系本身。当支座链杆数目多于3根时，必须将地基看做为一个刚片来进行分析。,（c）,无多余约束的几何不变体系。,二、加减二元体规则之增加二元体,无多余约束的几何不变体系。,增加二元体是体系的组装过程，应从一个基本刚片开始。,二、加减二元体规则之减少二元体,无多余约束的几何不变体系。,减去二元体是体系的拆除过程，应从体系的外边缘开始进行。,三、刚片的扩张：由一个基本刚片出发，按照基本规则进行扩张，得到一个新的刚片。,有一个多余约束的几何不变体系。,几何组成分析的步骤：（1）观察支座链杆类型与数目。若某体系用简支
17、梁式链杆与基础相连，则可以只分析该体系本身的几何属性；如果支座链杆数多于三根时，必须将地基看作为一个刚片来分析。 （2）找二元体。如有，可撤去或加上，使体系简化。 （3）找几何不变部分（一个铰接三角形或者一个T形杆等），应用几何不变体系的基本组成规则进行刚片扩张，逐步扩大不变部分直至整体。注意：虚铰的识别非直杆用直杆代替（以直代曲）找铰接三角形,【例】分析图示链杆体系的几何组成。,无多余约束的几何不变体系。,A,B,C,D,F,E,【例】分析图示体系的几何组成。,无多余约束的几何不变体系。,【例】分析图示体系的几何组成。,无多余约束的几何不变体系。,无多余约束的几何不变体系。,有一个多余约束的
18、几何不变体系。,【例】分析图示体系的几何组成。,A,B,C,D,F,E,G,H,无多余约束的几何不变体系。,A,B,C,D,F,E,G,无多余约束的几何不变体系。,【例】分析图示体系的几何组成。,A,B,C,1,3,2,4,无多余约束的几何不变体系。,试对下列图示体系作几何组成分析。,几何瞬变体系。,试分析图示体系的几何组成。,2-6 几何组成与静定性的关系,无多余 约束几何 不变。,如何求支 座反力?,有多余 约束几何 不变。,能否求全 部反力?,平 面 体 系,不可作结构,本章小结,分析示例,加、减二元体,去支座后再分析,无多几何不变,瞬变体系,加、减二元体,无多几何不变,无多几何不变体系,方法唯一吗？,如何变静定？,作业,平面体系的几何组成分析,2-1 几何不可变体系、几何可变体系及几何组成分析的目的,2-2 刚片、自由度和约束的概念,平面体系的计算自由度,2-4 瞬变体系与常变体系,三刚片规则,二刚片规则,2-5 几何组成分析时常用的简化方法,一、若某体系用简支梁式链杆与基础相连，则可以只分析该体系。,二、加减二元体规则,三、基本刚片的扩张,二元体规则,2-3 无多余约束几何不变体系的组成规则,2-7 结构的几何组成和静定性的关系,*2-6 三刚片体系中虚铰在无穷远处的情况,谢 谢,本章结束,
