1、激光原理习题解答第二章习题解答1 试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限次，而且两次往返即自行闭合.证明如下：（共焦腔的定义两个反射镜的焦点重合的共轴球面腔为共焦腔。共焦腔分为实共焦腔和虚共焦腔。公共焦点在腔内的共焦腔是实共焦腔，反之是虚共焦腔。两个反射镜曲率相等的共焦腔称为对称共焦腔，可以证明，对称共焦腔是实双凹腔。 ）根据以上一系列定义，我们取具对称共焦腔为例来证明。设两个凹镜的曲率半径分别是 和 ，腔长为 ，根据对称共焦腔特点可知：1R2LLR21因此，一次往返转换矩阵为 2111212RLRLRDCBAT把条件 带入到转换矩阵 T，得到：LR2110DCBA
2、T共轴球面腔的稳定判别式子 12DA如果 或者 ，则谐振腔是临界腔，是否是稳定腔要根据情况来21A定。本题中 ，因此可以断定是介稳腔（临界腔） ，下面证明对称共焦腔在近轴光线条件下属于稳定腔。经过两个往返的转换矩阵式 ，2T10坐标转换公式为： 112rr其中等式左边的坐标和角度为经过两次往返后的坐标，通过上边的式子可以看出，光线经过两次往返后回到光线的出发点，即形成了封闭，因此得到近轴光线经过两次往返形成闭合，对称共焦腔是稳定腔。2 试求平凹、双凹、凹凸共轴球面腔的稳定条件。解答如下：共轴球面腔的 ，如果满足212121RLDA，则腔是稳定腔，反之为非稳腔,两者之间存在临界腔，临界腔是否是1
3、21DA稳定腔，要具体分析。下面我们就根据以上的内容来分别求稳定条件。对于平凹共轴球面腔， ( )221212RLRLA 1所以，如果 ，则是稳定腔。因为 和 均大于零，所以不等式的后半部12RL分一定成立，因此，只要满足 ，就能满足稳定腔的条件，因此， 就是平凹2 12RL腔的稳定条件。类似的分析可以知道，凸凹腔的稳定条件是： ,且 。LR210L21双凹腔的稳定条件是： ， （第一种情况）12， 且 （第二种情况）LL21（对称双凹腔）21R求解完毕。3 激光腔的谐振腔由一曲率半径为 1M 的凸和曲率半径为 2M 的凹面镜构成，工作物质长度为 0.5M，其折射率为 1.52，求腔长 在什么
4、范围内谐振腔是稳定的。1L解答如下：设腔长为 ，腔的光学长度为 ，已知 ，1LIMR1， ， ， ，MR25.052.根据 ，代入已知的凸凹镜的曲率半径，得到：21211RDA22 LMLL因为含有工作物质，已经不是无源腔，因此，这里 L 应该是光程的大小（或者说是利用光线在均匀介质里传播矩阵） 。即 ，代入上式，得到：52.101201LL 2112 5.052.012 LLDA要达到稳定腔的条件，必须是 ，按照这个条件，得到腔的几何长度为：DA，单位是米。17.2.1L解答完毕。5 有一方形孔径共焦腔氦氖激光器，腔长 L=30CM，方形孔径边长为d=2a=0.12CM，=632.8nm ，
5、镜的反射率为 r1=1，r 2=0.96，其他损耗以每程 0.003 估计。此激光器能否做单模运转？如果想在共焦镜面附近加一个方形小孔光阑来选择 TEM00 模，小孔的边长应为多大？试根据图 2.5.5 作一大略的估计。氦氖激光器增益由公式估算，其中的 l 是放电管长度。dlelg41030分析：如果其他损耗包括了衍射损耗，则只考虑反射损耗及其他损耗的和是否小于激光器的增益系数，增益大于损耗，则可产生激光振荡。如果其他损耗不包括衍射损耗，并且菲涅尔数小于一，则还要考虑衍射损耗，衍射损耗的大小可以根据书中的公式 00=10.9*10-4.94N 来确定，其中的 N 是菲涅尔数。解答：根据 ，可以
6、知道单程增益 g0L=ln(1+0.0003L/d)=0.0723dlelg41030由于反射不完全引起的损耗可以用公式 2.1.24 或者 2.1.25 来衡量根据 2.1.24 得到：r-0.5lnr 1r2=0.0204根据题意，总的损耗为反射损+其他损耗，因此单程总损耗系数为=0.0204+0.0003g 0L如果考虑到衍射损耗，则还要根据菲涅尔数来确定衍射损系数：此方形共焦腔氦氖激光器的菲涅尔数为：N=a 2/(L )=7.6，菲涅尔数大于一很多倍，因此可以不考虑衍射损耗的影响。通过以上分析可以断定，此谐振腔可以产生激光振荡。又根据氦氖激光器的多普勒展宽达到 1.6GHZ，而纵模及横
7、模间隔根据计算可知很小，在一个大的展宽范围内可以后很多具有不同模式的光波振荡，因此不采取技术措施不可能得到基模振荡。为了得到基模振荡，可以在腔内加入光阑，达到基模振荡的作用。在腔镜上，基模光斑半径为： cmLos 21046.因此，可以在镜面上放置边长为 2 0s的光阑。解答完毕。6 试求出方形镜共焦腔面上 模的节线位置，这些节线是等距分布吗？30TEM解答如下：方形镜共焦腔自再现模满足的积分方程式为 , dyxeyxeLiyxaLikmnikmnmn经过博伊德戈登变换，在通过厄密-高斯近似，可以用厄密- 高斯函数表示镜面上场的函数 Lyxcnmnmn eHxLCyx 22, LyxLyx e
8、xLC22 218, 33003030 使 就可以求出节线的位置。由上式得到：,30yx，这些节线是等距的。l2,321解答完毕。7 求圆形镜共焦腔 和 模在镜面上光斑的节线位置。20TEM02解答如下：圆形镜共焦腔场函数在拉盖尔高斯近似下，可以写成如下的形式（这个场对应于 ，两个三角merLCr srsnmsmnmn inco, 200 mnTEM函数因子可以任意选择，但是当 m 为零时，只能选余弦，否则整个式子将为零）对于 ：20TEM2sic, 202020rsserr并且 ，代入上式，得到120sL，我们取余弦项，根据题中所要求的结2sinco, 200220rseCr果，我们取 ，就
9、能求出镜面上节线的位置。既, 200220 srs43,cos21对于 ，可以做类似的分析。02TEM 202002020202, ss rsrss eLCeLrCr ，代入上式并使光波场为零，得到402201sssL 02, 2400202 srsss erCr 显然，只要 即满足上式140220sssrL最后镜面上节线圆的半径分别为： ssrr 0201 1,解答完毕。8 今有一球面腔，两个曲率半径分别是 R1=1.5M，R 2=-1M，L=80CM，试证明该腔是稳定腔，求出它的等价共焦腔的参数，在图中画出等价共焦腔的具体位置。解：共轴球面腔稳定判别的公式是 ，这个公式具有普适性（教材 3
10、6 页DA中间文字部分） ，对于简单共轴球面腔，可以利用上边式子的变换形式 判断稳102g定性，其中 。iiRLg1题中 ，5811 10822RLg，在稳定腔的判别范围内，所以是稳定腔。093.21g任意一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价，一个一般稳定球面腔唯一对应一个共焦腔，他们的行波场是相同的。等价共焦腔的参数包括：以等价共焦腔的腔中心为坐标原点，从坐标原点到一般稳定球面两个腔镜面的坐标 和 ，再加上它的共焦腔的镜面焦距 ，这三个参数就能完全1Z2 F确定等价共焦腔。根据公式（激光原理 p66-2.8.4）得到：MRLZ 18.0.5.1802121 MRLZ 62.018.5.0212
11、 235.018.5.221122 LF因此 M485.0等价共焦腔示意图略。9 某二氧化碳激光器采用平-凹腔，L=50CM，R=2M，2a=1CM ，波长 =10.6m，试计算镜面上的光斑半径、束腰半径及两个镜面上的损耗。解：此二氧化碳激光器是稳定腔，其中平面镜的曲率半径可以看作是无穷大。根据公式（激光原理 p67-2.8.6 或 2.8.7）得到： MgLgss 664/1214/12101 102.3.1087. ss 664/1224/12202 97.8.5. 其中第一个腰斑半径对应平面镜。上式中 是这个平凹腔的等价共焦腔镜面LS0上的腰斑半径，并且根据一般稳定球面腔与等价共焦腔的性
12、质，他们具有同一个束腰。根据共焦腔束腰光斑半径与镜面上光斑半径的关系可知： MS193.4.68720作为稳定腔，损耗主要是衍射损，衍射损耗与镜面上的菲涅尔数有关，在损耗不大的情况下，是倒数关系。即： N1根据公式（激光原理 p69-2.8.18 或 2.8.19）分别求出两个镜面的菲涅尔数626421 105.10.6.35sefa426421 83.997.8.sefN根据衍射损耗定义，可以分别求出：，710.6ef 5210.efN解答完毕。10 证明在所有菲涅尔数 相同而曲率半径 R 不同的对称稳定球面腔中，共焦LaN2腔的衍射损耗最低。这里 L 表示腔长，a 是镜面的半径。证明：在对
13、称共焦腔中， 212Rf11 今有一平面镜和一个曲率半径为 R=1M 的凹面镜，问：应该如何构成一个平凹稳定腔以获得最小的基模远场发散角，画出光束发散角与腔长的关系。解答：我们知道，远场发散角不仅和模式（频率）有关，还和腔的结构有关。根据公式2.6.14 得到： ，如果平面镜和凹面镜构成的谐振腔所对应的等价共焦腔焦距最f20大，则可以获得最小的基模光束发散角。 mfRLRLf 25.0ax21122 代入发散角公式，就得到最小发散角为： 425.020f发散角与腔长的关系式： lf10解答完毕。13 某二氧化碳激光器材永平凹腔，凹面镜的 R=2M，腔长 L=1M，试给出它所产生的高斯光束的束腰
14、腰斑半径的大小和位置，该高斯光束的焦参数和基模发散角。解答： MLRLF12112 84.6.300radF30107.12.解答完毕。14 某高斯光束束腰光斑半径为 1.14MM，波长 =10.6M。求与束腰相距 30 厘米、100 厘米、1000 米远处的光斑半径及相应的曲率半径。解答：根据公式（激光原理 p71-2.9.4, 2.9.6）2002011zfzz把不同距离的数据代入，得到：， ，Mcm45.3CMm97.2Mm97.210曲率半径 01zzR与不同距离对应的曲率半径为：， ，cm79.03m15.mR10解答完毕。15 若已知某高斯光束的束腰半径为 0.3 毫米，波长为 6
15、32.8 纳米。求束腰处的 q 参数值，与束腰距离 30 厘米处的 q 参数值，与束腰相距无限远处的 q 值。解答：束腰处的 q 参数值实际上就是书中的公交参量（激光原理 p73-2.9.12）：iif68.4200根据公式（激光原理 p75-2.10.8），可以得到 30 厘米和无穷远处的 q 参数值分别为zq0iq68.43030无穷远处的参数值为无穷大。解答完毕。16 某高斯光束束腰半径为 1.2 毫米，波长为 10.6 微米。现在用焦距 F=2cm 的锗透镜聚焦，当束腰与透镜距离分别为 10 米，1 米，10 厘米和 0 时，求焦斑大小和位置，并分析结果。解答：根据公式（激光原理 p7
16、8-2.10.17 和 2.10.18）当束腰与透镜距离 10 米时MlF4.2020 同理可得到：解答完毕17 二氧化碳激光器输出波长为 10.6 微米的激光，束腰半径为 3 毫米，用一个焦距为2 厘米的凸透镜聚焦，求欲得到焦斑半径为 20 微米及 2.5 微米时，透镜应该放在什么位置。解答：根据公式（激光原理 p78-2.10.18）20220lF上式中束腰到透镜的距离 l 就是我们要求的参数，其他各个参数都为已知，代入题中给出的数据，并对上式进行变换，得到 2020l当焦斑等于 20 微米时， （透镜距束腰的距离）Ml395.1当焦斑等于 2.5 微米时， 87此提要验证18 如图 2.
17、2 所示，入射光波厂为 10.6 微米，求 及 。03l解答：经过第一个透镜后的焦斑参数为： 202120lF20211 ll经过第二个透镜后的焦参数为： 20220lF20213 ll2ll解方程可以求出题中所求。19 某高斯光束束腰腰斑半径为 1.2 毫米，波长为 10.6 微米。现在用一个望远镜将其准直。主镜用曲率半径为 1 米的镀金反射镜，口径为 20 厘米；副镜为一个焦距为 2.5 厘米，口径为 1.5 厘米的锗透镜；高斯光束束腰与透镜相距 1 米，如图所示。求该望远镜系统对高斯光束的准直倍率。解答：根据公式（激光原理 p84-2.11.19），其中 ，为望远镜主镜与副镜的焦202
18、11lMfl 12FM距比。题中的反射镜，相当于透镜，且曲率半径的一半就是透镜的焦距。已知： ， ， ， ，2.06.C5.21 CMR502Ca5.12，M0l1（经过验证，光斑在第一个透镜表面形成的光斑半径小于透镜镜面尺寸，衍射效应很小，因此可以用准直倍率公式）代入准直倍率公式得到： 97.501120220 lFlM解答完毕。20 激光器的谐振腔有两个相同的凹面镜组成，它出射波长为 的基模高斯光束，今给定功率计，卷尺以及半径为 a 的小孔光阑，试叙述测量该高斯光束焦参数 f 的实验原理及步骤。设计如下：首先明确焦参数的构成元素为腰斑半径 ，波长 及 参数，根据提供的数据，激0光器的波长为
19、已知，我们不可能直接测量腔内的腰斑半径（因为是对称腔，束腰在腔内） ，只能通过技术手段测量发射出来的光波场的腰斑半径，然后利用这里的 z 是由激光器腔中心到光功率计的距离，用卷尺可以测量。21fzfz光功率计放置在紧贴小孔光阑的后面，沿着光场横向移动，测量出 。把测量的z和 z 代入公式，可以求出焦参数。设计完毕（以上只是在理论上的分析，实际中的测量要复杂得多，实验室测量中会用透镜扩束及平面镜反射出射光，增加距离进而增加测量精度）21 二氧化碳激光谐振腔由两个凹面镜构成，两个镜面的曲率半径分别是 1 米和两米，光腔长度为 0.5 米。问：如何选择高斯光束腰斑的大小和位置，才能使它构成该谐振腔的
20、自再现光束。解答：高斯光束的自再现条件是（激光原理 p84-2.12.1 及 2.12.2）：0lqc根据公式（激光原理 p78-2.10.17 及 2.10.18）20220lF经过曲率半径为 1 米的反射镜后，为了保证自再现条件成立，腔内的束腰半径应该与经过反射镜的高斯光束的束腰相同，因此得到：12021lF同理，经过第二个反射镜面也可以得到：2202l3Ll21根据以上三个式子可以求出 ， ，1l0， ，Ml375.01l25.0M63.解答完毕。22 （1）用焦距为 F 的薄透镜对波长为 、束腰半径为 的高斯光束进行变换，并0使变换后的高斯光束的束腰半径 （此称为高斯光束的聚焦） ，在
21、 和0fF两种情况下，如何选择薄透镜到该高斯光束束腰的距离？（2）在聚焦)(0fF过程中，如果薄透镜到高斯光束束腰的距离不变，如何选择透镜的焦距 F？解答：（1） 根据 可知2020220 flFlF，即1220 fl022fl通过运算可得到：或者 （舍去）2fFl2fFl（2） 参考激光原理p81-2. 一定时， 随焦距变化的情况。023 试用自变换公式的定义式 （激光原理 p84-2.12.2） ，利用 q 参数来推0qlc导出自变换条件式 2012llF证明：设高斯光束腰斑的 q 参数为 ，腰斑到透镜的距离为 ，透镜前表面和200ifl后表面的 q 参数分别为 、 ，经过透镜后的焦斑处
22、q 参数用 表示，焦斑到透镜的距12 c离是 = ，透镜的焦距为 F。cl根据 q 参数变换，可以求出前表面、后表面、及焦斑处的 q 参数，分别是：透镜前表面： l01透镜后表面： Fq12焦斑的位置： ccl把经过变换的 代入到焦斑位置的 q 参数公式，并根据自再现的条件，得12qF到：由此可以推导出lqifllqc ccc0120122012llF证明完毕。24 试证明在一般稳定腔中，其高斯模在腔镜面处的两个等相位面的曲率半径必分别等于各镜面的曲率半径。证明：设一般稳定腔的曲率半径分别是 、 ，腔长为 ，坐标取在这个稳定腔的等价共1R2L焦腔中心上，并且坐标原点到镜面的距离分别是 和 ，等
23、价共焦腔的焦距为 。1z2 f根据25 试从式 和 导出 ，其中的21RlLl12RlLl012CBl， ，并证明对双凸腔21RLB21C42解答：略26 试计算 ， ， ， 的虚共焦腔的 和M1L25.0CMa5.1a12单 程.若想保持 不变并从凹面镜 端单端输出，应如何选择 ？反之，若想往 返a 2a保持 不变并从凸面镜 输出， 如何选择？在这两种情况下， 和 各为多大？2a21 单 程往 返解答：虚共焦腔的特点： 激光原理 p91,962112121221RmMagLR激光原理 p97-2.1511,2.15.1221往 返单 程根据 ，%505.0212单 程单 程mRLM同理： 7
24、2往 返单端输出：如果要从虚共焦非稳定腔的凸面镜单端输出平面波，并使腔内振荡光束全部通过激活物质，则凹面镜和凸透镜的选区要满足： ， ，其中的 a 分别代表01aM02（按角标顺序）工作物质的半径、凹面镜半径、凸面镜半径1 实施意义上的单面输出（从凸面镜端输出）：按照图（激光原理 p96-图 2.15.2a）为了保证从凸面镜到凹面镜不发生能连损失，则根据图要满足：因为凸面镜的尺寸不变，所以在曲率半径给定的条件下，凹面镜1212aR的半径应该为： CMa21212 从凹面镜端输出，只要保证有虚焦点发出的光到达凹面镜后的反射光（平行光）正好在凸面镜的限度范围内，则可保证从凹面镜单端输出。因此，此时只要满足 即可，因此21aCMa5.2这两种情况下的单程和往返损耗略。解答完毕。
