1、第一章、量子力学基础,11 光与实物粒子的波粒二象性,12 量子力学的五条基本假定,13 箱中运动的粒子,1.宏观物体，运动速度光速C，满足经典Newton 运动规律： =ma 或 m=F/a,2.微观粒子：原子、分子、质子、中子、电子等,满足量子力学规律。特点为：,量子性,即能量，动量，角动量,是不连续的，量子化的；,统计性，微观粒子的运动行为满足统计规律。,11 光与实物粒子的波粒二象性,一、黑体辐射和能量量子化,二、光电效应和光的粒子性,三、光的波粒二象性,四、实物粒子的波粒二象性,五、测不准关系,19世纪末到20世纪初是一个重要时期，物理学中出现了一些新的实验现象是用经典物理学无法解释
2、的，其中三个著名实验对新理论的建立起到了重要作用，这三个实验是黑体辐射、光电效应、原子光谱。,一、黑体辐射和能量量子化,或：一种能够全部吸收照射到它上面的各种波长辐射的物体。,黑体辐射：当对黑体加热时，又能辐射出各种波长的电磁波。,黑体：能够全部吸收外来电磁波的物体。,R 2000k,1500k1000k 图1 黑体在不同温度下辐射的能量分布曲线,黑体辐射的频率分布函数R(,T) 有一极大值，此极大值随着温度的 升高而向高频方向移动。,实验 现象：,许多物理学家都试图用经典物理学理论来解释这一实验现象并进行了理论计算，,得到的函数为：,与实验比较，在低温区接近实验曲线，但R（ ，T）随 的增加
3、而增加，在高温区与实验显著不符。,许多用经典理论来解释这一实验的尝试都失败了。,1900年，Planck假定：,黑体中带电粒子是以不同的频率做简正振动，其中具有频率为的振子，它们吸收和辐射能量是不连续的，而是以一个 与成正比的“能量子”为基本单位,即=h.,式中h为比例因子，称为普朗克常数,1. 具有频率为的振子吸收和放出能量只能是h的整数倍，即 E=n h。,2. 振子的每一个可能的能量状态之间的差值也必须是h的整数倍。,用这一假定， Planck从理论上推导了黑体辐射频率分布函数，,计算结果与实验完全一致。与实验曲线对比得到Planck常数为:,此后，在1900年至1926年之间，人们逐渐
4、地把能量量子化的概念推广到所有微观体系，不仅能量是量子化的，许多其他物理量也是量子化的。,Planck这个假定及其结论对科学家的思想观念产生了巨大的影响，Planck这个假定称为能量量子化假定，标志着量子化理论的诞生。,二、光电效应和光的粒子性,光电效应：光照射到金属表面上，使金属 发射出电子的现象。,或：金属表面的电子吸收了光的能量而脱 出金属表面的现象。,这种因光的作用而脱出金属表面的电子称为光电子，由此形成的电流称为光电流。,当光照射到金属表面时，会发射出电子，通过检测光电子的动能Ek，得到如下实验现象：,（1）光照射到金属表面上，能否产生光电子取决于入射光的频率是否超过一定数值0 ；,
5、（2）只要入射光的频率 超过一定阈值（ 0 ），即使弱光照射，也能立刻出现自由电子，即发射电子与入射光的强度无关；,（3）发射电子的动能与入射光的频率呈线性关系，即 E k= h( - 0 ),解释:按经典力学光波的能量公式 E = ca0/8,（1）E是单位时间内通过一点附近单位面积的能量；,（2）振幅a0可取不同的连续值，故辐射能量E也应该是连续变化的；,（3)光波的能量只与振幅有关,与频率无关。,而光电效应中发射电子必须超过阈值频率0 。显然发射电子不是通过能量的连续积累而产生的。因此这种行为是非经典的，经典物理是无法解释的。,解释：1905年，Einstein在Planck的启发下，提
6、出了光子学说，其内容如下：,（1）光是一束粒子流，每一种频率的光的能量都有一个最小单位，称为光子，光子的能量与光子的频率成正比，即 E=h ;,（2）光子具有质量 m= h/c2 ;,（3）光子具有一定的动量 p=mc=h/ ;,（4）光强度取决于单位体积内光子的数目；,（5）光子与电子碰撞时，服从能量守恒与动量守恒定律。,根据Einstein光子学说，对光电效应可作如下解释：,（1）金属中的电子存在束缚能，由功函w0= h0表示，当入射光将其能量h传递给电子，克服其功函w0，只要h h0 电子便可逸出金属表面，故w0= h0规定了阈值00 。,（2）能量传递决定于光子与电子的碰撞，而不是通过
7、光波强度的积累。不管强光、弱光(光子密度大小)每次碰撞传递的能量都是h ，都能产生自由电子。,（3）当 0时，光子在与电子碰撞后消失。根据能量守恒定律，光子的能量h一部分用于克服功函，其余部分转变为电子动能，,由此可见，电子动能与入射光的频率存在线性关系，斜率等于Planck常数，截距为金属的w0,光电效应证明了光的粒子性。,黑体辐射和光电效应有力地说明了光波在与物质作用的辐射与吸收过程中表现出光的粒子性质，称为光量子，光量子在辐射过程中产生，在吸收过程中湮灭。,即 Ek= h -h0 = h( - 0 )=(1/2)mv2,三、光的波粒二象性,关于光的本质，历史上(1680-1690)曾有以
8、物理学界的大师Neweon为代表的微粒说和以Huyghens 为代表的波动说展开的争论。当时只能够检测出光的反射和折射，围绕实验现象的解释：,微粒学说认为： 光是直线传播的粒子流，粒子具有不同的颜色，则光有不同的颜色。粒子流在传播过程中，遇到障碍物能弹回来，故具有反射和折射。, 波动学说认为：光是一种波，在介质中传播时具有不同的波长和频率，故具有不同的颜色，波在传播过程中遇到障碍物能够产生反射和折射。,随着测试手段的提高，检测出光的衍射现象。粒子说在解释光的衍射时遇到了困难,波动说获胜。,到了十九世纪，Maxwell发展了波动说，建立了电磁波理论，使波动说更加完善。,直到光电效应的实验现象的出
9、现，波动说无法解释，才使波动说的统治地位产生动摇。,为了解释光电效应，Einstein在光子学说中又提出微粒说，但与Newton的微粒说本质上是不同的。光子学说与波动说并不矛盾。,只有把光看成是由光子组成的光束才能理解光电效应；,而只有把光看成是波才能解释光的衍射和干涉现象。,光表现出波粒二象性，即在一些场合光的行为像粒子，在另一些场合光的行为像波。,Einstein光子学说得到的两个公式E=h，p=h/ 把光的波动性和粒子性成功的联系起来，等式左边的E和p是标志光的粒子性的能量和动量，右边的和标志着光的波动性的频率和波长，联系的桥梁是Planck常数。,四、实物粒子的波粒二象性,1. De
10、Broglie的假设 2. 电子衍射实验 3. 统计解释,1. De Broglie的假设,实物粒子：静止质量m0的微观粒子，如原子、分子、中子、质子、电子均称实物粒子。,1924年德国物理学家di-Broglie提出，波粒二象性不仅是光的属性，而是普遍存在于微观世界中。,他认为联系光的波动性和粒子性的Einstein关系式E=h，p=h/对实物粒子仍然适用。意味着粒子运动具有波动性。,实物粒子所具有的波动性称为di-Broglie波。 di-Broglie波的波长：=h/p=h/mv, di-Broglie波关系式。,公式形式上与Einstein关系式一样，但是一个新的假设， di-Brog
11、lie波与光波不同。,P=h/ p (1)光子的=c/ =c/ c是光子的传播速度，E=pc 也是光子的运动速度 E （2）实物粒子=v/E=h v是De-Broglie波的光子 传播速度，不是粒子运动速度vP=h/ v = 2v p (3)光子p=mc =v/ E=pc p2/2m，E=p2/2m (4) 实物粒子 E p = mvE=h E= p2/2m pv实物粒子,2. 电子衍射实验,De-Broglie关于实物波的假设，在1927年被Tomson的电子衍射实验证实。,实验现象：当一束54ev的电子垂直射到镍单晶表面上时，在与入射光束成=500角的方向上反射出最多的电子数。,这个现象类
12、似于x射线在单晶上反射时产生的衍射，对于x射线的衍射图象，其入射波长和衍射角 有如下关系 2dsin=n 式中 =(- )/2,d是Ni单晶面间距，由x光测得d=91pm, 对于一级衍射n=1,因此可由公式 2dsin=n 求得 =291sin650=2910.91=166pm (实验值),De Brolie 公式计算：由 P=h/ 得 =h/P, = h/ P=6.626 10-34/3.969 10-24= 1.669 10-10m=166.9pm (理论值),测试结果与计算结果是一致的，说明理论正确。,1927年Tomson使用了能量较大的电子束穿透金属薄膜(如金、铝、铂等)，得到了类似
13、x射线衍射的环纹。,3. 统计解释,（1）实验发现用较强的电子流可以在较短时间内得到衍射照片。,但用很弱的电子流让电子先后一个一个地到达底片，只要时间足够长，也能得到同样的衍射图形。,这说明电子衍射不是电子之间相互作用的结果，而是电子运动本身所固有的规律性。,电子衍射实验证实了DeBroglie假设，粒子具有波动性，粒子性与波动性统一于一体，称为实物粒子二象性。,（2）一个粒子不能形成波，当一个粒子通过晶体到达底片时，出现的是一个衍射点，而不是强度很弱的衍射图象，但从大量微观粒子的衍射图像可揭示出微观粒子运动的波性，其分布具有几率性。,（3）对于一个粒子的行为而言，通过晶体后，粒子所到达的地方
14、是不可预测的，但是衍射强度大的地方，粒子出现的几率大，而强度小的地方，粒子出现的机会就少，由此可见，电子的波动性确实是与粒子行为的统计性联系在一起的。,五、测不准关系,X和Px分别为x和p的不确定范围。具有波动性的粒子，不能同时具有确定的坐标和动量，当它的某个坐标确定的越精确，其相应的动量就越不确定，反之亦然。,在经典力学中，质点的运动总存在一个确定的可以预测的轨迹，因此我们可以同时确定其坐标和动量（或速度），并以此来描述它的运动状态。,而实物粒子的运动具有波动性，所以它没有确定的轨迹，也就意味着它不能同时具有确定的坐标和动量，这称为测不准原理，也叫海森堡测不准原理，表达式为 XPX h 。,
15、作业：42页 2，3，4，5，6，, 量子力学的五条基本假定,一、波函数和微观粒子的状态 二、力学量和算符 三、本征函数、本征值和本征方程 四、Schrodinger方程 五、态叠加原理,量子力学包含若干假定，从这些假定出发，可推导出一些重要结论，用以解释和预测许多实验事实。经过近一个世纪实践的考验，证明作为量子力学理论基础的那些基本假定是正确的。,量子力学是描述微观粒子运动规律的科学，电子和其它微观粒子不仅表现出粒子性，而且表现出波动性，它们不服从经典力学的规律，因为经典力学是总结宏观物体的运动规律而建立的。,微观体系的主要特点是量子化和运动的波性，量子化学的基本原理是根据微观粒子的波动性，
16、经过许多科学家的大量工作总结出来的。,一、波函数和微观粒子的状态,实物粒子波长 =h/p，频率 =E/h代入则有: (x)= Acos2(xp/h-Et/h),假定：对于一个微观体系，它的状态和有关情况可以用波函数(xyzt)表示， 是体系中所有粒子坐标的函数，也是时间的函数。,例如：对于一个含有两个粒子的体系(xyzt)= (x1y1z1,x2y2z2,t),的形式可由光波推演而得，若波长为，频率为，沿方向传播的球面波: (x)=Acos2(x/-t),波函数的性质 (x,y,z,t)=(r,t),1. 波函数(r,t) 是描写微观状态运动的一个函数，满足量子力学的统计规律，波函数的平方代表
17、几率密度。,（1）几率密度：某一时刻t，在空间某一点单位体积内发现粒子的几率。,W = dw/d = k(r,t)2 =(r,t)2 k：是归一化系数,(r,t)：描写微观粒子的已归一化波函数,(r,t)：描写微观粒子的未归一化波函数,(r,t)2：几率密度(r,t)2：与几率密度成正比,（2）几率：某一时刻t，在空间某一点附近的d体积内发现粒子的几率。dw = k(r,t)2 d d = dxdydz,（3）一个粒子在整个空间的几率为1 dw = k(r,t)2 d = 1,2. 波函数 (r,t)前边乘以任意数C，并不改变其描述的状态。,3.一般是复数形式，=f+ig (f和g是坐标的实函
18、数 ), 的共轭复数定义为* =f-ig。,为了求*只需在中出现 i的地方用-i代替即可。由于* =(f+ig)(f-ig)=f2-g2， 因此 * 是实数而且是正值，有时用2代替* 。,4. 波函数(r,t)必须满足三个标准化条件。,(1) (r,t)必须是单值函数某时刻t，空间任意一点d，波函数(r.t)只能是唯一确定的值。,(3)(r.t)必须是有限的函数只有(r.t)是有限的波函数，才能满足： * d=C 即C* d = 1 当 q 0 即 lim = 0q,(2) (r.t)必须是连续的。因为Schrodinger方程是二阶微分方程，只有(r.t)和(r.t)（一阶导数）都是连续函数
19、才能满足Schrodinger方程。,二、力学量和算符,假定：微观体系的每一个可观测力学量(如能量 、动量、角动量、坐标、时间等)都与一个线性厄米算符相对应。,算符是一种运算符号，它是一种能把函数u变成另一个函数v的运算符号。,一、量子力学规定的算符化规则,1.坐标qi和时间t的算符即是本身,2.动量算符:,3.任意力学量的算符,(1)首先写出该力学量的经典表示式;,即写成坐标qi,动量p和时间t的函数M=M(qi，p，t),(2)然后将qi、p、t的算符代入相应的函数中,就得到任一力学量的算符,例1 Hamilton算符 :,(1) E经典表达式,（2）算符化,拉普拉斯算符,（3）球坐标的表
20、示式,角动量算符：,角动量在Z轴分量算符：,二、线性算符,一个算符 作用到两个或两个以上函数的代数和上，等于该算符分别作用到各个函数上再加和，即：,则该算符 为线性算符。,三、厄米算符,若,则 为厄米算符。,根据厄米算符的定义，将 代入,例 证明 是否为厄米算符,左边：,右边：,等式两边相等，说明 是厄米算符。,2. 微观粒子可观测力学量所对应的算符都是线性厄米算符。,四、线性厄米算符及其代数运算,1. 算符既为线性算符又是厄米算符称为线性厄米算符。,（3）算符相乘：若u(x)=ABu(x) 则 D=AB,3算符运算,（1）算符相等：若u(x)=Bu(x) 则 A=B,（2）算符加减：若Cu(
21、x)=Au(x)Bu(x) 则 C=AB,算符加减满足交换律：即 =()(),例如：,（4）算符对易,若 AB-BA=A,B=0 则A、B对易，作用顺序可交换,若 AB-BA=A,B0 则A、B不对易，作用顺序不可交换,A,B称为泊松方括,交换：,不对易,五、常用算符的对易关系,x,y,z,1.坐标x y z之间对易 ,=0,2.坐标与动量分量 p,=0 p,=,3.动量算符之间对易 p,p=0,4.能量与角动量算符对易 H ,L2=0,5.角动量算符与分量对易 L,L2=0,三、本征函数、本征值和本征方程,假定：若某一力学量A的的算符 作用于某一状态后，等于一常数a乘以，即=a，则力学量A有
22、确定值,a是算符的本征值,是算符 的本征函数(或本征态)， =a称为本征方程。,实数与复数相等，只能是实数。,1. 属于厄米算符的本征函数所对应的本征值是实数。,证明：根据本征方程A=a,a是本征值，A是厄米算符，按着厄米算符定义,*Adx=A*dx,将 A=a，A*=a* 代入,a*dx = a*dx,因为 *dx=*dx,所以 a = a*,2属于同一厄米算符A的不同本征值am、an的本征涵数mn彼此正交。,mnd=o n m 正交mnd=1 n = m 归一化,证：已知 Am= amm , An=ann ,代入厄米算符定义公式,m*Andx=n A* m*dx,anm*ndx=amnm*
23、dx,(an- am)nm*dx=0,因为 an- am0,则 nm*dx=0,3.属于同一厄米算符A相同本征值an的不同本征函数1(x),2(x)n(x)的线性组合(x)=cii，仍然是这个厄米算符A属于相同本征值an的本征函数。,证明：,A(x)=cA1(x)+c2A2(x)cnAn(x),= c1an1(x)+c2an2(x)+cnann(x),= anc11(x)+c22(x)+cnn(x),= an(x),(x) = c11(x)+c22(x)+cnn(x),4.不同力学量和具有共同本征函数n(x)的条件是这两个力学量的算符和彼此对易，即 M,L=0,反之若两个力学量的算符和对易,
24、M,L=0,则它们必然存在共同的本征函数。,例：L2,Lz，则力学量L2和Lz具有共同的本征函数。,L2nlm(r)= ( +1) nlm (r) Lznlm (r)= m nlm (r),四、Schrodinger方程,假定：在量子力学中，决定微观体系运动状态的是Schrodinger方程,由于方程中算符部分中的坐标和时间是分离的,可用分离变量法进行分离变量。 设(r,t)=(r)(t)，代入上式，并除以(r)(t) 得,若上式成立，则方程两边恒等于常数E, 于是得到两个方程,1. 含时方程,2. 定态方程,或,定态：能量具有确定值的状态。定态是能量算符的本征态。,特点：定态的几率密度不随时间改变。,应用：讨论化学问题时均用定态方程。,不同体系的差别主要是位能部分不同。,例：对于箱中粒子,对于类氢离子,五、态叠加原理,假定：若1、 2、 i、 n未某一微观体系的可能状态，由它们线性组合也是该体系的可能状态,式中Ci是任意函数，数值的大小反应了i对的贡献。,设12n对应的本征值为a1 a2 an，当体系处于状态 ，,（和i均已经归一化）,1.本征态的力学量平均值,力学量平均值,若状态函数不是力学量A的算符 的本征态，当体系处于这个状态时，a，但可用积分计算其平均值,若已经归一化，则上式变为,2.非本征态的力学量平均值,
