1、信息光学,广州大学物理与电子工程学院 Email：,主讲：黄峰,信息光学-傅里叶光学,信号与系统的基本分析方法 通信理论、傅里叶分析与现代光学的结合 光学信息处理与全息学的基础,数学基础 二维线性系统分析 标量衍射的角谱理论 光学成像系统的传递函数 光全息术 光学信息处理,教材和参考书,教材 梁瑞生、吕晓旭主编：信息光学（第二版） 电子工业出版社，2008 参考书1.吕乃光编,傅里叶光学. 机械工业出版社, 19872.苏显渝 李继陶编：信息光学科学出版社，1999 2. J.W.Goodman, Introduction to Fourier Optics 中译本: 美顾德曼著, 傅里叶光学
2、导论, 科学出版社, 1968,第一讲 数学基础,一维阶跃函数,二维阶跃函数,1.2.1 阶跃函数,(1.2.1),(1.2.2),代表：开关, 无穷大半平面屏,1.2.2 矩形（rect）函数,二维矩形函数,一维矩形函数,(1.2.3),(1.2.4),代表：快门; 单缝, 矩孔,区域限定,矩形函数和阶跃函数的关系,(1.2.5),矩形函数示意图:,1.2.3 符号函数,(1.2.6),一维符号函数,(1.2.7),二维符号函数,代表：“p”相移器、反相器,符号函数与阶跃函数的关系,(1.2.8),符号函数示意图,相互关系：,Proof:,1.2.4 斜坡函数,(1.2.9),斜坡函数的定义
3、,(1.2.10),二维斜坡函数,斜坡函数与阶跃函数的关系,(1.2.11),斜坡函数示意图,一维三角状（tri或 ）函数,1.2.5 三角状（tri或）函数,二维三角函数,(1.2.12),(1.2.13),一维三角函数,二维三角函数,1.2.6 sinc函数,二维sinc函数,一维sinc函数,(1.2.14),(1.2.15),二维sinc2函数,(1.2.16),特点: 最大值：sinc(0)=1；lim sinc(x)=0x,曲线下面积: S=1，偶函数 0点位置:x=n (n=1, 2, 3)等间隔 两个一级0点之间的主瓣宽度=2,Sinc函数的重要性: 数学上,sinc函数和re
4、ct函数互为傅里叶变换 物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数,sinc2函数示意图,1.2.7 高斯函数,二维高斯函数的定义,一维高斯函数的定义,(1.2.17),(1.2.18),可代表单模激光束的光强分布,特殊函数Gaus 函数,高斯函数示意图,1.2.8 圆柱（circ）函数,直角坐标系中，圆柱（circ）函数,极坐标系中，圆柱（circ）函数,(1.2.19),圆柱函数示意图,circ函数是不可分离变量的二元函数 描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率,补充： 复指数函数 Complex exponential functio
5、n,Aexp(jq)=Acosq +jAsinq,推广到二维： Aexpj 2p (fxx+fyy),函数 变型,平移 (原点移至x0),折叠 与f(x)关于y轴 镜像对称,取反 与f(x)关于x轴 镜像对称,倍乘 y方向幅度变化,比例缩放 a1, 在x方向展宽a倍 a1, 在x方向压缩a倍,函数变型（例）,求 f(-2x+4),解： f(-2x+4)= f-2(x-2)，包含折叠、压缩、平移,函数变型（练习）,先折叠， 偶函数折叠后不变,解： f(-x/2+p/4)= f- (x- p/2)/2，包含折叠、扩展、平移,再扩展, 最后平移,求 f (-x/2+p/4),1、已知函数 f(x)=
6、rect(x+2)+rect(x-2)求下列函数:(1) f(x-1)(2) f(x)sgn(x),课堂练习(要求写在作业本上),2、画出下列函数的图形(1) (2),(1.2.20a),(1.2.20b),一维冲激 函数的定义,二维冲激 函数的定义,或,(1.2.21),1.2.9 冲激函数 函数,特殊函数冲激函数,可描述: 单位质量质点的密度, 单位电量点电荷的电荷密度, 单位光通量点光源的发光度, 单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率 等等.,(1.2.22),证明思路:二者对检验函数在积分中的作用相同.(练习),推论: d (x)是偶函数,(3) 比例变换性质 scaling,与普通函数缩放
7、性质的区别: 普通函数:因子a不影响函数的高度,但影响其宽度 d-函数:因子a不影响函数的宽度,但影响其高度,(2) d 函数是偶函数,）,练习：计算 sinc(x)d (x) 2. sinc(x)d (x-0.5) 3. sinc(x)d (x-1) 4. (3x+5) d (x+3),1.2.9.3 冲激（）函数与阶跃函数的关系,冲激函数是阶跃函数的导数，,（1.2.29）,（1.2.30）,阶跃函数是冲激函数的积分：,1.2.10 梳状函数,一维梳状函数的定义: comb(x)=,(1.2.31),Comb(x)定义为一系列间隔为a的函数所组成的周期函数,二维梳状函数的定义: comb(
8、x,y)= comb(x) comb(y),(1.2.32),例：间隔为t 的脉冲系列:,1.4.1 卷积 convolution 一、概念的引入,用宽度为 a 的狭缝，对平面上光强分布 f(x)=2+cos(2pf0x)扫描，在狭缝后用光电探测器记录。求输出光强分布。,1.4 卷积与相关,探测器输出的光功率分布,一、概念的引入 (II),设：物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x),像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果. 需用卷积运算来描述,物平面光轴上的单位脉冲在像平面产生的分布为h(x),像平面上的分布是物平面上各点产生的分布叠加以后的结果. 需用卷积运算来描述
9、,x,二、定义,若f(x)与h(x)有界且可积, 定义,*: 卷积符号,g(x)是f(x)与h(x)两个函数共同作用的结果.对于给定的x,第一个函数的贡献是f(x),则第二个函数的贡献是h(x- x).需要对任何可能的x求和.,g(x)称为函数f(x)与h(x)的卷积.,二维函数的卷积:,三、计算方法-借助几何作图,练习: 计算rect(x)*rect(x),1.用哑元t 画出函数f(t)和h(t);,2.将h(t)折叠成h(-t);,3.将h(-t)移位至给定的x, h-(t -x)= h(x -t);,4.二者相乘;,5. 乘积函数曲线下面积 的值即为g(x).,步骤:,三、计算方法-几何
10、作图法,练习: 计算rect(x) *rect(x),1.用哑元t画出 二个 rect(t),2.将rect(t)折叠后不变;,3.将一个rect(-t)移位至给定的x0, rect-(t -x0)= rect(x0 - t);,4.二者相乘;乘积曲线下面积的值 即为g(x0).,|x| 1; g(x) = 0 -1 x 0; g(x) = 1x+1/2-(-1/2)=1+x 0 x 1; g(x) = 11/2-( x-1/2)= 1- x,rect(x)*rect(x) = tri(x),回到前面的例题,探测器输出的光功率分布:,计算这个卷积:,f(x)=2+cos(2pf0x),四、卷积
11、的性质,1. 卷积满足交换律 Commutative Propertyf(x)*h(x) = h (x)* f (x),推论:卷积是线性运算 Linearitya1f1(x) + a2f2(x)*h(x) = a1f1(x)* h (x) + a2f2(x )* h(x),2. 卷积满足分配律 Distributive Property f1(x) + f2(x) * h(x) = f1(x)* h (x) + f2(x )* h(x),3.卷积满足结合律 Associative Property f1(x) * f2(x)*h(x) = f1(x)*f2(x)* h(x),4. 卷积的位移不
12、变性 Shift invariance若f(x)*h(x) = g(x), 则 f(x- x0) * h(x) = g(x - x0) 或 f(x) * h(x - x0) = g(x - x0),5. 卷积的缩放性质 Scaling若f(x)*h(x) = g(x), 则,五、包含脉冲函数的卷积,即任意函数与d(x) 卷积后不变,根据 1. d-函数是偶函数, 2. d-函数的筛选性质, 有:,任意函数与脉冲函数卷积的结果, 是将该函数平移到脉冲所在的位置.,f(x)*d(x - x0) = f (x - x0),f(x)与脉冲阵列的卷积可在每个脉冲位置产生f(x)的函数波形,用于描述各种重
13、复性的结构.,=,*,利用卷积的位移不变性可得:,作业,1. 利用梳状函数与矩形函数的卷积表示线光栅的透过率。假定缝宽为a，光栅常数为d. 2. 利用包含脉冲函数的卷积表示下图所示双圆孔屏的透过率。若在其中任一圆孔上嵌入p位相板，透过率怎样变化？,利用卷积性质求卷积的例子 3.用图解法求图示两个函数的卷积 f(x) * h(x),若要求写出解析运算式: f(x) = ? +? 写成 tri(x) 的平移式 h(x) = ? +? 写成d(x)的平移式 利用卷积的线性性质 利用d函数的卷积性质 利用卷积的平移性质,*,=,？,1.4.2相关 correlation 信息处理中的重要运算 一、互相
14、关 cross correlation,考虑两个复函数f(x)与h(x), 定义：,互相关是两个函数间存在相似性的量度.,二维互相关函数.,互相关 cross correlation与卷积的关系,由(1)式易见：,1. 当且仅当f*(-x)=f(x) f(x)是厄米的, 相关才和卷积相同. 一般情况下,相关运算与卷积运算的区别:f(x)要取复共轭 运算时f(x) 不需折叠,由(3)式直接推论得:,2. 互相关不满足交换律 Rfg(x)=f(x) g(x) g(x) f(x) = rgf (x) 相关计算要严格注意两个函数的顺序,以及哪个函数取复共轭.,二、自相关 auto-correlatio
15、n,复函数的自相关函数是厄米函数(实部为偶函数,虚部为奇函数) 实函数的自相关为实偶函数,当f(x)=g(x)时,互相关变为复函数f(x)的自相关, 定义为,二、自相关 auto-correlation 重要性质,由(3)式:,若f(x)是实偶函数, 则:rff (x)= f(x) * f(x) , 其自相关就是自卷积,对于非零复函数f(x),Rff (0)0 为实值 |Rff (x)| Rff (0),证明: 利用施瓦兹不等式P16,作业,1. 证明实函数f(x，y)的自相关是实的偶函数，即：Rff(x，y) = Rff(-x，-y)2.已知函数 f(x) = rect (x+2) + rect (x-2) 求函数f(x) 的自相关，并画出图形。,
