1、1,第 二 讲,平面力系的合成与平衡,研究刚体在简单力系作用下的简化方法与平衡规律。汇交力系 力偶系,2,2.1 汇交力系的合成与平衡,作用在物体上的力的作用线都汇交于一点时，则称这些力组成的力系为汇交力系。,分类：平面汇交力系；空间汇交力系,对于刚体：共点力系,简化方法：几何法；解析法,3,一、几何法力多边形法,1、两个力组成的汇交力系的简化,力的平行四边形法则,力三角形法,FRF1F2,4,2、多个力组成的汇交力系的简化,力多边形法,FRF1F2 Fn,汇交力系的简化结果是一个力，即汇交力系对刚体的作用与汇交力系的合力等效。,Fn-1,5,二、解析法投影法,1、一次投影法,2、二次投影法,
2、F = Xi + Yj + Zk,F = Xi + Yj + Zk,6,Fi = Fix i + Fiy j + Fiz k,FR= FRx i + FRyj + FRz k,根据几何法：,FRF1F2 Fn Fi Fix i Fiy j Fiz k,FRx Fix FRy Fiy FRz Fiz,合力投影定理：合力在某一坐标轴上的投影等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。,7,汇交力系平衡,FR Fi = 0,一、几何形式,第一个矢量的首与最后一个矢量的尾重合。力多边形封闭,二、解析形式,Fix 0 Fiy 0 Fiz 0,8,例1、两根直径均为D的圆钢，每根重量P=2kN，搁置在槽内，如图
3、所示。如忽略圆钢与槽之间的摩擦，求A、B、C三处的约束力。,1、分析,9,解：,10,解：1、研究对象受力分析,2、几何计算,例2、三角支架由三根无质量杆AB、AC、AD用球铰A连接而成，并用球铰固定在地面上。A下挂一重物W500N，a=2m，b=3m，c=1.5m，h=2.5。求各杆所受的力。,E,11,3、各力在xy平面上的投影为：,4、由平衡条件得：,5、联立求解,（压力）,E,12,1、根据问题性质，选取合适的研究对象,2、取分离体，画受力图。分析所有的主动力和约束力，综合应用：约束的性质；平衡条件；作用力与反作用力。 3、平衡条件求力。,13,思考： 试确定杆对均质圆柱体及地面对杆的
4、作用力方向。,14,Q,B,RB,A,15,2.2 力矩、平面力偶系的简化与平衡,力转动效应：滑轮、杠杆、拧螺丝、关门窗等,一、力对点之矩,定义：力F的大小与O点到力作用线距离h的乘积，称为力F对O点之矩。MO(F)=Fh 。O点称为矩心。,16,力矩作用面,空间力系问题：,空间力对点之矩的三要素：,1、在力矩作用面内，力矩的大小Fh=Frsin 2、在力矩作用面内，力矩的转向 3、力矩作用面。（矢量方向由右手螺旋法则确定）,MO(F)= r F,17,二、力偶与力偶的性质,1、力偶,定义：大小相等，方向相反，作用线平行但不在同一条直线上的两个力组成的力系。力偶作用面；力偶臂d,平衡力系？,刚
5、体平移？,攻 丝,18,2、力偶的性质,性质1：力偶没有合力。力偶不能简化为一个合力，或者说不能与一个力等效。（投影为0）,性质2：力偶对任一点之矩与矩心位置无关，且恒等于力偶矩矢量M，因此，力偶矩矢量是力偶对物体转动效应的度量。,方向,模：,19,性质3：只要保持力偶矩矢量M的大小和方向不变，力偶在其作用面内任意移动，或同时改变力和力偶臂的大小，力偶对刚体的作用效应不变。,20,此外，只要保证力偶矩矢量的大小和方向不变，力偶可以从一个平面移到另一个平行平面，它对刚体的作用效应不变。,力偶矩相等的力偶等效； 力偶矩矢量对刚体是自由矢量,以上结论对变形体不适用,21,三、力偶系的简化与平衡条件,
6、作用在刚体上的两个或两个以上的力偶组成力偶系。,平面力偶系 空间力偶系,力偶系简化的结果是合力偶,22,n个力偶组成的力偶系的简化：,几何法：矢量多角形法,解析法：投影法,23,平面力偶系的简化：,力偶系的平衡条件：,或,平面力偶系的平衡条件：,24,例1：梁AB长为l，AD为杆，A、B、D处为铰，平面结构，作用力偶，矩为m，不计自重，求A、B端的约束力。,解：分析受力,RBRA m-RAlcos450,RBRA1.414m/l,25,例2：立方体由A1A2和B1B2两直杆悬挂立方体上作用两力偶(F1，F1 )和(F2，F2 )，CD/A2E，不计立方体自重，球铰链光滑，求立方体在如图位置平衡
7、时F1与F2的关系及两杆所受的力。,解：根据A1A2和B1B2两杆为二力杆且力偶系必由力偶平衡可知，两杆所受的力必沿杆的方向且指向相反。,26,F2,D,C,E,x,y,o,A2,B2,FA,FB,M1 M2,27,F2,D,C,E,x,y,o,A1,A2,B1,B2,思考：若将F1，F1 改为如图方向，则立方体是否能平衡？若能平衡，条件是什么？,作业： 2-2 , 2-8, 3-10,28,各力的作用线分布在同一平面内的任意力系，称为平面任意力系。,2.3 平面一般力系的合成与平衡,29,实例,30,平移后：,注意：1.逆定理；2.变形体不适用；3.空间内平移,MO,31,力向一点平移的结果
8、揭示了力对刚体作用的两种运动效应。,非自由刚体（钳工攻丝）,32,3.2 平面力系的简化,33,主矩，,主矢，,平面力系简化的结果,平面一般力系向作用面内任一点简化，一般可以得到一个力和一个力偶。,实际计算主矢和主矩时，通常是采用解析的方法。,34,FRx, FRy、 Xi, Yi与Xi , Yi分别表示主矢FR 、 Fi和Fi在x，y轴上的投影，则根据合力投影定理有：,主矢的大小与方向余弦：,为主矢FR与x轴的夹角,35,简化结果可能出现的几种情况,FR =0, MO=0, 平衡;,FR 0, MO=0, 合力;,FR=0, MO 0, 合力偶;,FR 0, MO 0。,合力：FR,36,合
9、力矩定理,平面任意力系的合力对任一点之矩等于各分力对同一点之矩的代数和。,计算力对点之矩；确定合力作用线。,37,合力矩定理计算力对点之矩,A,B,C,F,a,b,38,39,分布载荷 的简化,A,y,B,x,q(x),dx,x,a,b,合力矩定理确定合力作用线,40,均布载荷,41,固定端约束,42,平面一般力系平衡的必要和充分条件：,ABC不共线,2.5 平面一般力系的平衡方程及应用,43,例1,NA= NC= P；NB=2P,搁在槽中的圆钢,44,例2,线分布载荷（分布载荷）q，求底部约束力。,XA= qh; YA=W; mA=qh2/2,45,例3,46,1. 正确画受力图，注意主动力
10、系的等效简化。,2. 选用最合适的平衡条件。,平面力系的平衡问题解题要点,3. 巧选矩心，投影轴，尽量避免联立方程。常选多个未知力交点为矩心；与多个未知力相垂直的轴为投影轴。,47,例4,塔式起重机。W=500KN ; P=250KN ; e=1.5m ; l=10m ; b=3m ; a=3m ; 求平衡锤Q取值范围。,Qmin=361KN ; Qmax=375KN,48,在工程实际问题中，我们往往遇到由若干刚体通过适当的约束相互连接而组成的系统，这种系统称为刚体系统。,静定与静不定,2.6 静定与超静定问题及物系平衡,49,不同力系的平衡方程个数,空间,平面,一般,汇交,力偶,二力,1,5
11、0,未知约束力的数目等于独立的平衡方程的数目，则应用全部独立平衡方程就可以求得全部未知量，这样的问题称为静定问题。若未知约束力的数目多于独立的平衡方程的数目，则应用全部独立平衡方程无法求出全部未知量，这样的问题称为静不定问题。,刚体的静定性,51,刚体系统的静定性,根据每个构件的平衡方程和约束反力的总数来确定。,52,当整个刚体系统处于平衡时，其中各个部分也都处于平衡。,n1二力或平面力偶系 n2平面汇交力系 n3平面任意力系,独立平衡方程个数：Ne= n1 +2 n2 +3 n3,53,设各个刚体上的未知约束力总数为Nr,Nr =Ne 静定结构Nr Ne 静不定结构Nr Ne 运动机构,n=
12、Nr - Ne n度静不定结构,54,如：,Nr = 5 Ne = 6,Nr = 6 Ne = 6,Nr = 7 Ne = 6,(a) 运动机构,(b) 静定结构,(c) 静不定结构,p,m,p,p,c,c,c,A,B,A,B,A,B,55,思考：试判断下列系统是否静定？,(a),(a) Nr = 3+2 = 5 Ne = 3 1 = 4; 一度静不定,56,刚体系统的平衡问题解题要点,1、灵活选研究对象，原则就是尽量使计算过程简单，尽量避免联立方程。,57,2、要注意分清外力与内力。内力与外力是相对的，内力成对出现，内力不需要画出。,58,3、要严格根据约束的性质确定约束力的方向，使整体和部
13、分都满足平衡条件。,59,例一,曲柄连杆滑块机构，已知Q ，求m , FAB 。,60,例二,求A, C约束力。,YC=qa/4； XA=0； YA=7qa/4； mA=3qa-m,61,钢结构屋顶桁架,62,静力分析的基本方法,1. 节点法 依次选铰接点为研究对象，求各杆内力。,2. 截面法 假想将桁架截开，研究其中 一 部分平衡，求出被截杆内力。,63,2m,A,H,G,B,C,D,E,F,2m4,10,10,20,20,20KN,解：先研究整体，求出A、B支座反力。XA= 0、YA= 40KN、 YB= 40KN。考察节点C，易知SDC = 0,例1. 试求图示屋架中各杆的内力,64,由
14、于对称，只考虑左半边。依次研究节点A，D，F，受力如图。,A,40,10,SAD,SAC,D,20,SDF,SDE,SAD,F,20,SFH = SDF,SDF,SFE,65,分别列出X= 0， Y = 0的平衡方程，依次求出诸杆内力如图。,2m,A,H,G,B,C,D,E,F,2m4,10,10,20,20,60,60,67.1,44.7,22.4,20,0,20KN,66,注意：零杆 内力为零的杆，考察桁架中的节点平衡，如下三种情形存在零杆。,1,2,S1 = S2 = 0,2,S3 = 0,1,3,2,1,S1 = 0,P,67,截面法,每次截出的未知力一般不超过三个,68,a,a,a,a,a,1,2,p,D,A,B,C,n,例2. 试求图示桁架中1、2杆内力,69,解：先对整体 mA = 0，求得YB =1.5p,a,a,a,a,a,1,2,p,D,A,B,C,YA,XA,YB,再作n-n截面,70,研究右半部分，受力如图,p,S1,S2,S3,S4,S5,D,C,YB,71,思考：判断下列系统是否静定？,
