1、位值原理二、数的进制我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一” 。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于 1 的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进制中只用两个数字 0 和1。二进制的计数单位分别是 1、2 1、2 2、2 3、，二进制数也可以写做展开式的形式，例如 100110 在二进制中表示为：(100110) 2=125+024+023+122+121+020。二进制的运算法则：“满二进一” 、 “借一当二” ，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数 n,我们有 n
2、0=1。n 进制：n 进制的运算法则是“逢 n 进一，借一当 n”，n 进制的四则混合运算和十进制一样，先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。进制间的转换：如右图所示。例题精讲模块一、位置原理【例 1】 某三位数 和它的反序数 的差被 99 除，商等于_与_的差；abccba【解析】 本题属于基础型题型。我们不妨设 abc。( - ）99=(100a+10b+c)-(100c+10b+a)99=(99a-99c)99=a-c；c【例 2】 (美国小学数学奥林匹克)把一个两位数的十位与个位上的数字加以交换，得到一个新的两位数如果原来的两位数和交换后的新的两位数的差是 45，
3、试求这样的两位数中最大的是多少？【解析】 设原来的两位数为 ，交换后的新的两位数为 ，根据题意，abba， ，原两位数最大时，十位数字至多为 9，(10)()9()45aba即 ， ，原来的两位数中最大的是 9494【例 3】 (第五届希望杯培训试题)有 3 个不同的数字，用它们组成 6 个不同的三位数，如果这 6 个三位数的和是 1554，那么这 3 个数字分别是多少？【解析】 设这六个不同的三位数为 ，,abccab因为 ， ，它们的和是： ，所10abc102()154abc以 ，由于这三个数字互不相同且均不为 0，所以这三个数中较小的两个5427数至少为 1，2，而 ，所以最大的数最大
4、为 4；又 ，所以最大的数大()41367于 ，所以最大的数为 4，其他两数分别是 1，23【巩固】 (迎春杯决赛)有三个数字能组成 6 个不同的三位数，这 6 个三位数的和是 2886，求所有这样的6 个三位数中最小的三位数【解析】 设三个数字分别为 a、b、c，那么 6 个不同的三位数的和为：2()102()102()2()abcabcabcabcabc所以 ，最小的三位数的百位数应为 1，十位数应尽可能地小，由于十位28613数与个位数之和一定，故个位数应尽可能地大，最大为 9，此时十位数为 ，所以所319有这样的 6 个三位数中最小的三位数为 9【例 4】 在两位自然数的十位与个位中间
5、插入 09 中的一个数码，这个两位数就变成了三位数，有些两位数中间插入某个数码后变成的三位数，恰好是原来两位数的 9 倍。求出所有这样的三位数。【解析】 因为原两位数与得到的三位数之和是原两位数的 10 倍，所以原两位数的个位数只能是 0 或 5。如果个位数是 0，那么无论插入什么数，得到的三位数至少是原两位数的 10 倍，所以个位数是5。设原两位数是 ，则 b=5，变成的三位数为 ab5，由题意有 100a10b5（10a5）ab9，化简得 ab4。变成的三位数只能是 405，315，225，135。【巩固】 一辆汽车进入高速公路时，入口处里程碑上是一个两位数，汽车匀速行使，一小时后看到里程
6、碑上的数是原来两位数字交换后的数。又经一小时后看到里程碑上的数是入口处两个数字中间多一个 0 的三位数，请问：再行多少小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。【解析】 设第一个 2 位数为 10a+b；第二个为 10b+a ；第三个为 100a+b ；由题意：(100a+b)-（10b+a）=( 10b+a)-（10a+b) ；化简可以推得 b=6a，0a,b9 ，得 a=1，b=6；即每小时走 61-16=45 ；（601-106)45=11；再行 11 小时，可看到里程碑上的数是前面这个三位数首末两个数字交换所得的三位数。【巩固】 将四位数的数字顺序重新排列后
7、，可以得到一些新的四位数现有一个四位数码互不相同，且没有 0 的四位数 ，它比新数中最大的小 3834，比新数中最小的大 4338求这个四位数M【解析】 设组成这个四位数的四个数码为 ， ， ， ( )，abcd91abcd则有 ，3848172abcd可得 ，9()0()90bc则 ， ， ， ， ，且 M 的四位数字分别为8ad2a1d438Mcb1、 、 、9，由于 的个位数字为 7，所以 ， 中有一个为 7，但 ，所以 不cb97c2bcc能为 7，故 ， ， 5c43859【例 5】 已知 .170,abcdababcd求【解析】 原式：1111a111b11cd1370，所以 a1
8、， 则 111b11cd13701111259，推知b2；进而推知 c3，d=4 所以 =1234。【巩固】 (2008 年清华附中考题)已知一个四位数加上它的各位数字之和后等于 2008，则所有这样的四位数之和为多少【解析】 设这样的四位数为 ，则 ，即 ，则abcd208abcd101208abcd或 21a若 ，则 ，得 ， ， ；0126323bcd若 ，则 ，由于 ，所以107bcd12917c，所以 ，故 为 9， ，则 为偶数，且10789b8b098c，故 ，由 为偶数知 ， ， ；920cc85d5abc所以，这样的四位数有 2003 和 1985 两个，其和为： 231【例
9、 6】 有一个两位数，如果把数码 3 加写在它的前面，则可得到一个三位数，如果把数码 3 加写在它的后面，则可得到一个三位数，如果在它前后各加写一个数码 3，则可得到一个四位数将这两个三位数和一个四位数相加等于 求原来的两位数60【解析】 设原来的两位数是 ，则得到的两个三位数分别为 和 ，四位数为 ，由题知abab3ab，即 ， ，故3360ab1330160ab219414【巩固】 如果把数码 5 加写在某自然数的右端，则该数增加 ，这里 A 表示一个看不清的数码，求1这个数和 A。【解析】 设这个数为 x，则 10x+5-x= ，化简得 9x= ，等号右边是 9 的倍数，试验可得1A06
10、AA=1，x=1234。【巩固】 某八位数形如 ，它与 3 的乘积形如 ，则七位数 应是多少？2abcdefg4abcdefgabcdefg【解析】 设 ，则 ， ，根据题意，有abcdefgx7210x10x，得 ，所以 721031046596857142模块二、数的进制【例 7】 _；222()() ；21010(） ） ） ） ；4710(3)(65) _；8888812)(34(65)(174) 若 ，则 _(03n【解析】 对于这种进位制计算，一般先将其转化成我们熟悉的十进制，再将结果转化成相应的进制： ；22210101010(1)()(5)(278)() 可转化成十进制来计算：
11、；221010102(0(10(9)(3)(92)(） ） ） ）如果对进制的知识较熟悉，可直接在二进制下对 进行除法计算，只是每次借位都） ）是 2，可得 ；22222(） ） ） ） ） ） 本题涉及到 3 个不同的进位制，应统一到一个进制下统一到十进制比较适宜：；3247101010301)(65(4)(675)()( 十进制中，两个数的和是整十整百整千的话，我们称为“互补数” ，凑出“互补数”的这种方法叫“凑整法” ，在 进制中也有“凑整法” ，要凑的就是整 n n原式 88888(6312)(47)(26531)(04)(17)；00若 ，则 ，经试验可得 ()n3n5n【巩固】 ；
12、852567( ） ） ）在八进制中， _；12346在九进制中， _710576【解析】 本题是进制的直接转化： ；8 25(423(10） ） ）原式 ；1234(62)130原式 857(7)1430438【例 8】 在几进制中有 ？4130【解析】 利用尾数分析来解决这个问题：由于 ，由于式中为 100，尾数为 0，也就是说已经将 12 全部进到上一位1010()(2)所以说进位制 为 12 的约数，也就是 12，6，4，3，2 中的一个n但是式子中出现了 4，所以 要比 4 大，不可能是 4，3，2 进制n另外，由于 ，因为 ，也就是说不到 10 就已经进位，才能是 100，于101
13、0()3(52)10是知道 ，那么 不能是 12n所以， 只能是 6【巩固】 在几进制中有 ？125324【解析】 注意 ，因为 ，所以一定是不到 10 就已经进位，才能得到0010()(6)56213416324，所以 n再注意尾数分析， ，而 16324 的末位为 4，于是 进到上一位1010(5)()2541所以说进位制 为 21 的约数，又小于 10，也就是可能为 7 或 3因为出现了 6，所以 只能是 7n分解质因数本讲中的知识点在小学课本内已经有所涉及，并且多以判断题考察。质数合数的出现是对自然数的另一种分类方式，但是相对于奇数偶数的划分要复杂许多。质数本身的无规律性也是一个研究质
14、数结构的难点。在奥数数论知识体系中我们要帮助孩子树立对质数和合数的基本认识，在这个基础之上能够会与之前的一些知识点结合运用。分解质因数法是一个数论重点方法，本讲另一个授课重点在于让孩子对这个方法能够熟练并且灵活运用。知识点拨1 质数与合数一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了 1 和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数.要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数.常用的 100 以内的质数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计 25 个；除
15、了 2 其余的质数都是奇数；除了 2 和 5，其余的质数个位数字只能是 1，3，7 或 9.考点： 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点. 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3，7 或 9.这也是很多题解题思路，需要大家注意.2 质因数与分解质因数质因数：如果一个质数是某个数的约数，那么就说这个质数是这个数的质因数.互质数：公约数只有 1 的两个自然数，叫做互质数.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数.例如： .其中 2、3、5 叫做 30 的质因数.又如 ，2、3 都叫做 12 的质302 12因数，其中后一个式子叫做分解质因数的标准式，在
16、求一个数约数的个数和约数的和的时候都要用到这个标准式.分解质因数往往是解数论题目的突破口，因为这样可以帮助我们分析数字的特征.3 唯一分解定理任何一个大于 1 的自然数 n 都可以写成质数的连乘积，即： 其中为质数，312kaaanpp为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为 n 的质因子分解式.12kaa 例如：三个连续自然数的乘积是 210，求这三个数.分析：210=2357，可知这三个数是 5、6 和 7.4. 部分特殊数的分解； ； ； ； ；1371013412701731953719； ； ； .982278205. 判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于 p 的质
17、数 q(均为整数)，使得 q 能够整除 p，那么 p 就不是质数，所以我们只要拿所有小于 p 的质数去除 p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的 p，我们可以先找一个大于且接近 p 的平方数 ，再列出所有不大于 K 的质数，用这些质数去除 p，如没有能够除尽的2K那么 p 就为质数.例如：149 很接近 ，根据整除的性质 149 不能被 2、3、5、7、11 整除，所以 149 是质数.14例题精讲模块一、质数合数的基本概念的应用【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚
18、起华夏中兴力，同唱移山壮丽歌请你将诗中 56 个字第 1 行左边第一字起逐行逐字编为156 号，再将号码中的质数由小到大找出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话【解析】 按要求编号排序，并画出质数号码：美 少 年 华 朋 会 友，幼 长 相 亲 同 切 磋；1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14杯 赛 联 谊 欢 声 响，念 一 笑 慰 来 者 多；15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28九 天 九 霄 志 凌 云，九 七 共 庆 手 相 握；29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39
19、 40 41 42聚 起 华 夏 中 兴 力，同 唱 移 山 壮 丽 歌43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山【巩固】 (2004 年全国小学奥林匹克)自然数 是一个两位数，它是一个质数，而且 的个位数字与十位NN数字都是质数，这样的自然数有多少个？【解析】 这样的自然数有 4 个：23，37，53，73【例 2】 两个质数之和为 ，求这两个质数的乘积是多少.39【解析】 因为和为奇数，所以这两个数必为一奇一偶，所以其中一个是 ，另一个是 ，乘积为 .我2374们要善于抓住此类题的突破口
20、。【巩固】 已知 3 个不同质数的和是最小的合数的完全平方，求这 3 个质数的乘积是多少？【解析】 最小的合数是 4，其平方为 16我们知道奇数个奇数的和是奇数，所以这 3 个质数中必然有 2，那么其余 2 个的和是 14，只能一个是 3 一个是 11，因此这 3 个质数的乘积是 216【巩固】 小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数同时，她感到这个号码很容易记住，因为它的形式为 ，其中 ，而且 和 都是质数( 和 是两个数字)具有abababab这种形式的数共有多少个？【巩固】 若两位数 、 均为质数，则 、 均为奇数且不为 5，故有ab1331，3113，1771，711
21、7，7337，3773，9779，7997 共 8 个数【巩固】 (俄罗斯数学奥林匹克)万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数是几？【解析】 因为是质数所以个位数不可能为偶数 0，2，4，6，8 也不可能是奇数 5如果末位数字是 3 或9，那么数字和就将是 3 或 9 的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了所以个位数只能是7这个三位质数可以是 167，257，347，527 或 617 中间的任一个【巩固】 (全国小学数学奥林匹克)从 19 中选出 8 个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数排好后可以从任意两个数字之间切开，按顺时针方向读这些
22、八位数，其中可以读到的最大的数是多少？【解析】 由于质数除了 2 以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列切开后的数仍然具有“相邻两数之和是质数” ，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选 9，第二位选 8，第三位最大可以选 7，但 7 与 8 之和不是质数，再改选 5，8 与 5 之和是质数，符合要求第四位可选剩余的最大数字 6，如此类推十位可选 3，个位选 2所以，可以读到的最大数是 98567432数字排列如下图34 7 65892【巩固】 (保良局亚洲区城市小学数学邀请赛)用 L 表示所有被 3 除余 1 的全体正整数如果 L 中的数(1不算)除
23、 1 及它本身以外，不能被 L 的任何数整除，称此数为“L质数” 问：第 8 个“L质数”是什么？【解析】 “L 数”为 1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34， “L质数”应为上列数中去掉 1，16，28，即为 4，7，10，13，19，22，25，31，34，所以，第 8 个“L质数”是 31【例 3】 9 个连续的自然数，每个数都大于 80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组【解析】 我们知道任意连续 9 个自然数中最多有 4 个质数，本题考察对 100 以外的质数的熟练情况，有101，103，107，109 是 4 个质数。【巩固】 从小到大写出 5
24、 个质数，使后面数都比前面的数大 12.这样的数有几组？【解析】 考虑到质数中除了 2 以外其余都是奇数，因此这 5 个质数中不可能有 2；又质数中除了 2 和 5，其余质数的个位数字只能是 1、3、7、9.若这 5 个质数中最小的数其个位数字为 1，则比它大 24的数个位即为 5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为 3，则比它大 12 的数个位即为 5，也不可能为质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是 7 和 9，因此最小的数只能是 5，这 5个数依次是 5，17，29，41，53.这样的数只有一组.【例 4】 用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数
25、字都要用到并且只能用一次，那么这 9 个数字最多能组成多少个质数.【解析】 要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有 2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下1、4、6、8、9 这 5 个不是质数的数字未用有 1、4、8、9 可以组成质数 41、89，而 6 可以与7 组合成质数 67所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数。【例 5】 7 个连续质数从大到小排列是 a、b、c、d、e、f、g 已知它们的和是偶数，那么 d 是多少？【解析】 因为 7 个质数的和是偶数，所以这 7 个质数不可能都是奇数.我们知道是偶数的质数只有 2，因此这 7 个质数中必有一个是 2.又因为 2 是最小的
26、质数，并且这 7 个连续质数是从大到小排列的，所以 .其他 6 个数从大到小依次是 17、13、11、7、5、3.这样 .2g d【 例 6】 将 60 拆 成 10 个 质 数 之 和 ， 要 求 最 大 的 质 数 尽 可 能 小 ， 那 么 其 中 最 大 的 质 数 是 多 少【解析】 最大的质数必大于 5，否则 10 个质数之和将不大于 50，又 60=7+7+7+7+7+7+7+7+2+2 即 8 个 7与 2 个 2 的和为 60，故其中最大的质数是 7【解析】模块二、分解质因数【例 7】 两个连续奇数的乘积是 ，这两个奇数之和是多少? 15【解析】 分解质因数： ( ) ( )
27、 ，所以和为15376375635.本讲不仅要求学生熟练掌握分解质因数，而且要注意一些技巧，例如本题中的 。68 137【例 8】 在面前有一个长方体，它的正面和上面的面积之和是 209，如果它的长、宽、高都是质数，那么这个长方体的体积是多少? 【解析】 如下图，设长、宽、高依次为 a、b、c，有正面和上面的和为 ac+ab=209ac+ab=a(c+b)=209，而 209=1119当 a=11 时，c+b=19，当两个质数的和为奇数，则其中必定有一个数为偶质数 2，则 c+b=2+17;当 a=19 时，c+b=11，则 c+b=2+9，b 为 9 不是质数，所以不满足题意所以它们的乘积为
28、 11217=374【 巩固 】 一个长方体的长、宽、高是连续的 3 个自然数，它的体积是 39270 立方厘米，那么这个长方体的表面积是多少平方厘米? 【解析】 39270=23571117，为三个连续自然数的乘积，而 343434 最接近 39270，39270的约数中接近或等于 34 的有 35、34、33，有 333435=39270所以 33、34、35 为满足题意的长、宽、高则长方体的表面积为：2(长宽+宽高+高长)=2(3334+3435+3533)=6934(平方厘米)方法二：39270=23571117，为三个连续自然数的乘积，考虑质因数 17，如果 17 作为长、宽或高显然
29、不满足当 17 与 2 结合即 34 作为长方体一条边的长度时有可能成立，再考虑质因数 7，与 34 接近的数 3236 中，只有 35 含有 7，于是 7 与 5 的乘积作为长方体的一条边的长度而 39270 的质因数中只剩下了 3 和 1l，所以这个长方体的大小为 333435长方体的表面积为 2( + + )=2(1190+1155+1122)=23467=6934(平方厘米)397049705【例 9】 甲数比乙数大 ，乙数比丙数大 ，三个数的乘积是 ，求这三个数？ 5 6384【 解析 】 将 分解质因数， ，则其中必有一个数是 或 的倍数；经试638463842371919算， ，
30、 ，恰好 ，所以这三个数即为 ，19719522638414， .一般象这种类型的题，都是从最大的那个质因数去分析.如果这道题里 不符合要求，2下一个该考虑 ，再下一个该考虑 ，依此类推 模块三、质数合数综合型题目【例 10】 是质数， ， ， 都是质数求 是多少？P104P210P【 解析 】 由题意知 是一个奇数，因为 ， ，所以 是 3 的倍数，所以3 432 3P【 巩固 】 已知 是质数， 也是质数，求 是多少？P215197P【 解析 】 是质数， 必定是合数，而且大于 1又由于 是质数， 大于 1， 一定是奇质数，212P2则 一定是偶数所以 必定是偶质数，即 2 5597397
31、0【例 11】 已知 P,Q 都是质数，并且 ，则 =19320PQPQ【 解析 】 本题充分考察质数与数字奇偶性知识点的结合。通过观察发现题目中有 2 个未知数，但是都是质数，从结果上看 2003 是一个奇数，那么前面 2 个乘积必须为 1 个奇数 1 个偶数，那么 P 和 Q中必须有一个是 2 才可以。由大小关系可以发现只能 Q 是 2，解出 P=199,PQ=398。【例 12】 有两个整数，它们的和恰好是两个数字相同的两位数，它们的乘积恰好是三个数字相同的三位数.求这两个整数分别是多少？ 【 解析 】 两位数中，数字相同的两位数有 11、22、33、44、55、66、77、88、99
32、共九个，它们中的每个数都可以表示成两个整数相加的形式，例如 ，共有 1631230167 种形式，如果把每个数都这样分解，再相乘，看哪两个数的乘积是三个数字相同的三位数，显然太繁琐了.可以从乘积入手，因为三个数字相同的三位数有111、222、333、444、555、666、777、888、999，每个数都是 111 的倍数，而 ，因3此把这九个数表示成一个两位数与一个一位数或两个两位数相乘时，必有一个因数是 37 或 37的倍数，但只能是 37 的 2 倍(想想为什么？)3 倍就不是两位数了.把九个三位数分解： 、 、 、 、13723764379471246、 、 、 、 .53768491
33、8293把两个因数相加，只有( ) 和( ) 的两位数字相同.所以满足题意的答案是574 和 3，37 和 18.【例 9】 有人说：“任何 7 个连续整数中一定有质数 ”请你举一个例子，说明这句话是错的 【 解析 】 例如连续的 7 个整数：842、843、844、845、846、847、848 分别能被 2、3、4、5、6、7、8 整除，电就是说它们都不是质数有些同学可能会说这是怎么找出来的，翻质数表还是，我们注意到(n+1)!+2，(n+1)!+3，(n+1)!+4，(n+1)!+(n+1)这 n 个数分别能被2、3、4、(n+1)整除，它们是连续的 n 个合数其中 n!表示从 1 一直乘到 n 的积，即123n
