Hamilton算子的运算规则.pdf

1、null null null null nullnull null 算子的运算规则、null nullnull null 算子的运算规则全达人null 算子是爱尔兰数学家兼天文学家null null null null null null null null nullnull null 建议采用的, 所以也叫null null null null null null算子。利用它可简化运算过程并使算式书写形式简练, 因此在水利工程的技术计算和理论研究中经常用到。 但由于 null 是一个矢性微分算子, 具有矢量和微分的双重性质, 所以乍用起来, 多不习惯, 在运算时常感困难。 因此, 分析nul

2、l 算子的运算特点, 总结其运算规律就成为掌握 null 算子这个数学工具, 提高工程计算能力的重要一环。 本文首先介绍 null 算子的运算规则及其注意点 , 并通过典型算例说明运算规则的使用方法, 以期对水利科技工作者掌握null 算子这一工程数学工具有所帮助。由于笔者水平所限, 文中不妥之处, 、占读者批评指正。一、 军算子的运算规则null null null null nullnull null 算子在直角坐标系中的表达式为nullnull 一净 夕 价 口 户 夕null 三 null ,万一 十 null 、万了一 null null , 王 null null null式中 n

3、ull 、 null 、 null 分别为沿 null 轴、 null 轴和 乙轴正向的单位矢量。记号 null 读作 “纳普拉 null null null null null ” 或 “台尔 null null null nullnull ” , 本身并无意义, 而是一个微分运算符号, 但同时又要当作矢量看待, 其运算规则是nullnull null 一null 夕 价 夕 一户null “ null 戈一万十 一万一 ” null式中null 为数性函数。丝沙 null十 一 null 十夕null 井null 一器了川null 丈null null了一六null 了。null 二 。n

4、ull ,丁 十 十口人 剖null一异一 null 了一几一null null凡犷 null null了null null夕null null夕nullnull null null, 本义在写作过程中曾得到找院基础课部叶举梅和土以禹艺师的热情帮助null 笔者在此表示感谢null宁 夏 农 学 院 学 报式中null 为矢性函数, null null 、 null null 、 null null 为null 在 null 轴、 null 轴、null nullnull 轴上的投影。分nullnull一气人null null 卜null null null null朴null人凡null n

5、ull告一令null了null nullnull鑫一 夕null null null了null null会一音一null寸 null 因此,null null null null null场论中的梯度、 散度和旋度可用 null 算子表示为null“ null null , null null null 二 null null , null null null null null null null null 。null null null null null null null 算子八 二夕null夕null null口null夕null 可以用 null 算子表示为null十尹一叮null

6、二 null null null null null null null在利用null一 null双重性质。null二 null列三种nullnull 算子运算时应当注意下列几点null算子 null 的定义表明 null 是一个矢性微分算子, 因此它在计算中具有矢性和微分的算子的运算规则表明, null 作用在一个数性函数或矢性函数上时, 其方式只有下一一卜 一争null null 、 null null 、 null null null 。即在 “ null ” 之后必为数性函数, 在 “ null ” 与 “ null null ” 之后 必为矢性函数, 其他的, 如null null

7、、 null null null 、 null null 等均无意义。null三 null 为了在某些公式中使用方便, 我们定义如下形式的算子, 即协 nullnull 一null null户 峥、 null 峥 , 一 夕 null 夕 、null null 气null 一卜抵 null 十 气 “夕 戈 、二 十 null万于一 十 “一null ,null王null 夕二 null 二公null null一舜十 null 昊null null null要牢记null null null 今 null null 。 null null 为一微分运算符号, 而 null null 为一标量。

8、null 四 null null 算子是线性的, 也就是把它用在一个线性组合上 , 仍然得出相仿的线性组合。即当null时, 则、 null null 一null 。为常数, null null 、 null null null null为数性 函数, null 、 null null 。为矢性函数null null null null nullnull null 算子的运算规则null nullnull null null null null null null null null null null null null null 。 nullnull null null null null

9、 null null null null null null null null null null 二 null null nullnull 一 null 一卜 null 一卜null nullnull , null , null null null null null null null null , null null“ null null null null , null null null null null null null null null 。 null nullnull nullnull了nullnullnullnullnullnull少一凡分戊null 又 nullnul

10、l 卫 人 , null null null null null null null null 。 null null nullnull null null null null null null null null null null null null null null null null 。 null nullnull五 null null 算子在其微分性质中, 服从乘积的微分法则。 即如果把null 用在乘积上 null乘积灼因子可以是数性函数或矢性函数null 乘法可以是普通的乘、 数量积或矢量积, 只要乘出来有意义 null , 共结呆等于在每一因子上各作用一次然后再求总和。 即

11、、nullnullnull、null、null孑null山nullnull丫nullnullnullnullnull、杏 咨 杏null nullnull null null null 二 null null null null null null null null nullnull null null null null null nullnull null null null咨 杏null nullnull null null null 二 null nullnull null null null null null nullnull null null null null null n

12、ullnull nullnull null null二、null null null null 义 null又null null null null null null nullnull 夕null null null null null nullnull null幻少然后把所得乘积按照矢量代数规则进行变换, 使得null 算子后面只有一个配上了记号杏的因子, 计算之后这个记号就可以不写了。公式 null null null中nullnull杏表示null 用在指定的因子上,null 、 null 、 null 为点函数 null数性函数或矢性函数 null ,null null null 表

13、示乘积 null普通的乘、 数性积或矢性积, 只要乘出来有意义 null 。利用 null 算子的这一性质, 可简化运算过程。null六 null在V算子的运算中, 经常用到三个矢量的混合积公式。- 一,)翻一) - ) -).争 一卜a ( b火 C = C (a 又 b ) = b和二重矢量积公式X a ( 9 )x ( b x e ) = ( a e) b一-争 洲卜a b这些公式都有几种写法, 例如(10) 式中等号右端第一项(e (10)一 一卜 喊卜 一, a e) b, 还可写为( e.了)寸, 言(了.矛), 百(万.了)等。 因此, 在应用这样公式时, 就要利用它的这个特点,

14、 设法将其中的常天移到V的前面, 而使变矢留在V的后面。( 七)虽然V 具有矢量的形式和性质, 但它毕竞不是一个单纯的矢量, 在运 算过程中, 不要随便把它当作一个矢址米处理; 否则就会导致错误。 因此, 在使用V算子时要十心细心。应当指出: 尽管在不同的坐标系中, V 算子有不同的表达式; 但V算子运算规则却与夏 夏 农 学 院 学 报坐标系无关。 在正交曲线坐标系中, V 算子的表达式为:33_ 分 1 夕 峥 王V 二 e l不禹产一 丁二丁一十 e , 几,一 王1 1 沙 城 i 一 r l。可万+“s1K 3一 夕夕 叼 (1 1 )式中: q , q : q 3为曲线坐标;育,

15、、育2、 了3为坐标曲线q , 、 q : 、 q : 上的扔线单位矢量, 其正向分别指向q , 、 q : 、 q 。增加的一侧; 其问的相互位置关系 除彼此正交外, 还构成右手坐标系。H; 、HZ 、H3 为Lame系数, 其表达式为Hj二 了(萄)“ +(一子言i)“十 ( 会)“ 二 , 2 , 3 ) ( 1 2 )二、 守算子运算举例下面我们通过证明V算子在一些物理场中较常用的恒等式和推导正交曲线坐标系中梯度、 散度、 旋度以及调和量的表达式米详细说明使用V算子的计算方法。例1。证明V (eu ) 二 C V u ( C 为常数)、, 一 , 、/ 份夕 宁 夕 产 夕 、址V 咬

16、“ “ 火飞咬 + J 一乡了+ “J与云一夕“( 1 3 )口U= C 口X下) 夕u 户 + 万了J+ c 奋艺esk = / 夕u 寸 夕u 价 夕u 份、c气一百牙 十 一, 犷+ 万百k夕(夕 份 刁 份 夕 、万+J一奋y一 十 胶-,厄.夕” 二 C V 例2。证明V .(c A )= 。V , A ( C 为常数) (14)一.知 一证: V .(eA )= (i一百贾一 +万卜 刁 、十 化- 一 . 。夕Z /- 卜 一 卜c( A二i + A,j+ A:k )夕1下v一夕J(一卜 夕 户 夕 一辛 夕i 一万一 + J一万一 十k 一寿 ) i+eA, 了+cA 了),

17、A ,一一一二一 十“乞 、刁 Z /yJ口夕一C+夕A 二 夕A 二十 C夕Z(+ J口 、 夕 、 J/二 一 + k 一 汤。 任夕J 沙Z / + A , 十 A : k)人.刀令A= C 一夕X二 (i“ c V .例3.证明V x (eA )“ e V X A ( e为常数) (15)息4 H am ilt 。n 算子的运算规则tk;一“人tj?一灯t;一。凡二 C卜|一Z叭一.k夕职A竹l,含z止一C一y月。p四AJ扣.一口JJ一C了.争证: V x(eA ) 主分Xe A x= e V X例4。证明V(u 士 ” ) =- 卜A。Vu 土 V ” (16 )证. v( 土一(了

18、二刁X分 口 份 夕 、十 J 蔺厂十 k 一瓦矛夕恤土 ” 少=(器了+带了+器弓士(登二(了青+了命+了金) *(了, 州扣1 +夕” 寸 夕” 户、万歹J 十万了胶夕日 分 , 份 口 、万了+ Jse蔽刃+ k万牙夕”= V u 士 V ” 。例5。证明V 。 ( A 土B )二 V ,- 刁卜A 士V (17)居证: V ( A 士 B )二 (一书卜 夕 价 夕 份 ; 一一十 1+k二Jx 一日y 一 J z/一争(A 二士B x) i + (A , 土B y) j、.JTk+ ( A , 士B:)二( 会*会)+ 夕B 。 、士I口y /夕A ,万二, 土了日也、 夕y/ 夕A

19、, . 夕B. 、十气万厄一 土 ,万玄-/夕A l十夕X、,/tk主JX令十瓷)士(会+会 十会)+了命+了金)(A了*A7了+A:夕 户 口 份 ; 、 / 。万+J马丁es+ “一不于少 气乌-枷 一争i + B , j)二 V.争 争例6。证明V x (A 土B )A 土 V一B一知二V X A 士V x (18)冲J夕了证: V x (A 土B ) = 主子XA二 士B 二夕yA , 士B ;一)k夕夕ZA :士B ,弱宁 夏 农 学 院 学 报冲k-.) 了 了+一爷尸,一Z刁k夕一匕气l砚一夕月广户J?一灯拟三刁XA二分cU例7.证明V .= V X一卜(u e) V一 - 争A

20、 士V B 。 一c 为常矢)斗k、/.了、广?一。儿证: V , ( 言)=(了主夕 X- 卜.u (e二 i + e , j +e :=(了主JX十了命+了+了命+了 (ue二i +u e ,i +u e : k)= C 二 塑刁X+ c y夕U夕y+ c : 拱夕Z、.了T.k一.)i +夕U口y一户J + 四沙Z 弓 一弓卜 , 一(e 二i,一争. C+ c , J + c :U一X夕一Z、一/ 价 夕 寸 , 户 a 、二 气厂万反.十 万歹十 k 、,泛少“V u一知. C一例8。证明V x (一扣U C ) = V c 为常矢)分cXU斗k了 了侧卜证: V x (u e )

21、二 夕 口 夕夕XU Cx夕yu c 了夕ZU C :=( 芳:-+( 器二刁u 、分C, 1 1夕Z /夕u 、一C二夕y 一 /一争 - )j k/ 口u 夕u 、寸+戈一万玄.“1一不万c:夕一卜k了些日X!+c峥JC二r里竺、 寻X夕U夕yC 了丝夕Ztk)-.)+夕U夕y夕u 户、 , 寸万k尹x吸“二 -倪卜+ c r J + c :算子的运算规则36一一卜刁X钾卜份 口 尹 口 、 1 一争+ J 万于一+ k - ,乏少”jX “X c 。2.、UrV例9.证明V (u。) = u V 。 + 。V u分1夕/吸证法(1)V (u。) =夕X份 夕 份 日 、+ J 一与了+

22、胶.石厄一夕u”一)二 i夕( u )日X一十寸口( u ”)J o y份 , ( u ”)+ 胶一奋玄-/ 夕 夕u 、寸 / 夕勺 夕u 、分 _/ 夕”二 戈u孚又一 十 ” J,二又一夕 十、u万歹十 ”万歹夕J+、u一百三,夕u 、份+ ” 一 ,牙少k/ 夕U 皿一 夕X.-i +夕” 份 夕勺 份 / , u万一 J 十 一百牙杖夕十 ” 气百又一- 争主十口U夕y价J + 些刁Z认户 , 份 夕 户 ; 、 I= u长马又一 十 万一 十 盆 百玄一 夕U+U 火争 夕 份 , 份 夕 、十 1+k 】U日x 一 夕y J z /= u V U + ” V u 。证法(2 )利

23、用公式(8)求证:V(u”) =杏V(u” ) + V (杏杏u勺)4).u V ” + 勺V uu V ” + u V u 。利用公式(13)运算(取掉记号杏得出证明一争例10。证明V ( u A ) = u V证法(1).) 一争A 十 V u A ( 2 2 )V.一知(uA ) 三寻X+ 了命+了会)+了命十犷青)一知 - 月卜 .州卜u(A:i+ A , j + A : k ) 今夕X.知 一 一)(uA二i +uA,j+ u A : k )ti斗1Z、/、夕( u A 二)口X +; (u A ,)口y十三丝丝这夕2/ 夕A二 二 , u / 夕A, 口u“ 气”飞二+ 八 ,了少

24、+火u万歹+八, 万了少/ 夕A, 夕u+ 气u一万 +八 毛 一奋无夕宁 夏 农 学 院 学 报 37妙叮冷u( 夕X-).A夕八: 口A : 、_一 一 十 一I 十 了、x护少 沙 Z /刀竺+AvJ盖 十 A: 刁 UJ ZA夕、刃/3)斗k(2一予 一一y刁+ ( A二i + A,jA 丁卜、/口u+ Z生 , K / 一 t 、 JX i+口1 -户 夕U十一夕Z.-争 一共卜A + A 招二 u V A + V uVu一一卜A。:VVUU证法(2)利用公式(8)求证:分杏一知 咨、V (uA = V(uA ) + V(uA )一A杏!争:= u V 二 u V - )A + V

25、U- A + Vu利用公式(14)、 ( 1 9 )运算取掉记号杏, 得出证明丈蓄例11。证明V 又 ( u A = u V x证法(l)一卜A + Vu X了一书卜夕一吃A-一口洲二t-1.夕一、几竹一口一。U一V x (u A ) 主口Xu A 二= 一红11鑫户 一业丛毛1了L 夕y 夕Z J -。( u A x )夕Z。( u A :)夕X 了r.LI+一k夕( u A , )夕X口( u A 二)口y , A _兰一 + A ,J y夕U夕y .一r.且L U十rlJ一tJk听一1.IA一、.厂,了月/ 夕A, 夕u 、一! U十 八,一 . 1入 JZ夕Z / -夕A x歹玄+A,

26、 一日旦-一 夕Z夕A ,U一一 十 上气,J X 一卿夕X夕A ,U 一一夕X夕A+ A y 三性刁 X了了、/十+争.J、,/分k、户/口A二U 一一 + A二 夕U夕y/、/一一 2务)了( 货一口X 夕J十戈夕X夕A _ 、一一万一少“叮A一灯/汀.、rU+(A:2 旦夕y夕u 价 / *一 八, 孚王-少 十 气八二刁性一 A .夕Z”竺、了JX/-算子的运算规则+(A , 一器一 A二 一器)了一.)月- 各= u V x A + V u x A 。 利用公式(4)运算证法(2)、 利用公式(8)求证:本 杏一V X (uA )= V x (u A )+ V x (uA )斗A一毒

27、-.)二 u V 又 A + V 土只= u V X A + V u X利用公式(15)、 ( 2 0 ) 运算取掉记号小, 求得证明 通过例9 、 1 0 、 n 三题的两种证明过程可以看出:1.当V算子作用于乘积时, 利用公式( 8 )求解, 可使运算过程大大简化。2. 利用公式 ( 8 )能使运算过程简化的原因, 可用V算子的微分性质来解释。算子V 三 i +了介+了、今是三个数性微分算子一六、夕 y 犷、的线性组合, 而这些数性微分算子是服从乘积的微分法则的, 就是当它们作用于两个函数的乘积时, 每次只对其中一个因子运算, 而把另一个因子看作常数。 因此作为这些数性微分算子的线性组合的

28、V , 在其微分性质中, 自然也服从乘积的微分法则。 这就是公式( 8 )成立 的理论依据一卜 月- 一争 一卜 一争 一.争 -一卜例12.证明V (A B ) = A X ( V X B ) + ( A V ) B + B X ( V X A )+( BV ) A证t一 , - 知 月- 知V ( AB ) 二 V ( A(2 4)利用算子的微分性质, 应用乘积的微分法则运算、声.兮B杏峥A“咔A+= V (A 一卜) + V ( B 利用矢量代数规则作变换斗杏B毒.一A杏一争 一目卜= ( AV ) B叫- 知 .- 务 -,争 .翻争 争+ A X ( V 又 B ) + ( B .

29、V ) A + B X ( V X利用二重矢量积公式, 即公式(10)作变换一参 一卜 - 月卜 .州务 -) .一) -一卜 一= A x( VX B ) + ( AV ) B+BX( VXA )+( BV ) A。取掉记号今, 得出证明例13 。证明V ( A x- 弓卜 一争 - .卜 - 卜 一今B ) = B( Vx A)一 A . ( V X B ) (25)证: V .- 一卜A x B ) = V( A x= 一 V 一.卜A ) + V百 ( Vx- 卜)一 A . ( V x利用算子的微分性质, 应) 用乘积的微分法则运算利用矢量代数规则,B ) 作变换利用三个矢量的混合积

30、) 公式, 即公式,( 9) 作变换V+.斗B.一B.分A宁 夏 农 学 院 学 报 39一百 一)( VxA ) 一 了令( VxB ). 取掉记咨号, 得出证明.-争一.= ( B.一卜 -一卜例14.证明V x (A x B ) V )A 一 ( A 一一 一) -V ) B 一 B ( V 八 )十丈 B )令 一 - )VX( 八 又 B )杏= V x (A 欠 B ) 十 V x ( )(26)利用炸子的微分性质运算一B火今分人V(证!,一AV了、Z一B土V ) 八 一分B杏二 A ( V O B ) 一 ( A 、 )利用算子的矢量性质 , 运用二重矢员积公火奋13+ (J公丘

31、丈(10)干变换 一一V ) A一 一, 卜( AV ) B 一 飞( V 八 ) + 丈峥B一取掉记号 卡, 得出证明例15 .证明V ( V u ) = V “u = 八u ( 八u为调和是)B )(27)一) 夕夕X 乡Z 刀X一争 夕十 J 称 k 、z一1. /火、岁z一k+一一y!乡+J争.1U、,/一2扩一儿十证: 、 ( 、) 二(二(二 V夕2夕x Z2 u十夕艺夕y Z二 u. 利用公式(5)运算,)例16.证明V x (V u)二 0户J主汀些灯了证: V x (Vu)二主夕 X- 卜k夕口Z塑JX 只卫沙Z+、,了一- = i(夕Z u夕y 口Z夕Z u ,口y 夕Z一

32、户亡, 丝 - 日X 日Z夕Z u夕X 夕Z )例17 。证明V 。 /口2 tl 夕Z u + k .一 一一-一 ,一 夕X 刁y 夕X 夕y /共卜= O。,- 争( V x A ) = 0 ( 2 9 )斗k王寸 儿J?一灯Av寸证: V ( V 又:) = v.尸_夕 XA二A七on 炸子的运算规则/ 夕A: 夕A, 、 一户/ 夕A二 夕A: 、巨 -一-一- 一 -.十 1 1一.Jy刁z / 、 刁z 刁X /r口一.V一份/ 夕A , ; A 二 1+ K 戈石王一万歹一少夕Z A ,夕X 夕Z夕ZA 二夕y 夕Z夕“A , 夕Z A v一+一JX Jy 夕X 夕Z夕Z A

33、x口y 夕Z式一灯尹一扛共卜 一一卜例18。 证明V x ( V x A )A :K )证: 根据二重矢量积展开式,= V( VA ) 一 A (其中A 二 A : i + A : +(30)V x ( V x A )即公式(10)得:= V (V A ) 一 ( VV ) A-知 一一卜= V ( VA ) 一 A 。例19。证明V rr , 峥 寸=气 I = 荞 1 + y J-一卜+ z k =1rl, 下面例20 一25 中出现的r. . . . .和r , 其含义均与本例相同) 。( 3 1 ). . . . . .证:、一( 秀+了命+了金)(一+y“+ 2 , /2l士 (x

34、十y + z , “xl十 l士 (x十 y 一 + z一 , “y 一佗卜r_ _ _ 一1-1+ kt去 (X“ + y + z ) “ “z j1 斗 寸 户 、= 万一 ( X i + y J + z k ,-)_ 丫Y例20 。证:弓卜V. 丫 二 3 (32 )证: 、 节二(夕五一十 1 -一一一 +日y了一矗) ( x i + y J +zk )夕X 夕y 夕Z十 一一一+ 夕X 夕y 沙 Z= 3 .例21 。 证明V X Y “ O (33 )宁 夏 农 学 院 学 报了证: V x y 二 口 口 夕儿z竹y八x(O一 0 ) + i ( 0 一 0 ) + k ( 0

35、一 o )了例22.证明V f(u)= f尸 ( u ) V u ( 3 4 )尹 夕 、。 ,+ k一石了夕“u今kUZ夕乡证; vf() =(了去一 +二 : , ( u ) 器下卜 夕J万-i+f, ( u ) 一一Jy+ fz (u )、/夕u 一 夕u 分 夕u 尹、= “(“气马玉 十马了J+ 一儿一 狡 夕=f/(u)Vu。例23.证明V f(r) = f, ( r )Y一丫 (35)证: Vf(r)=f产(r ) V r 利用公式(34)计算= f ( r ) 兰Y 利用公式(31 )计算f, ( r ) 节例24.证明V x f(r) 丫 二 0证: V 欠 f(r)丫 二

36、f ( r ) V x 丫 + V f(r) K 丫 利用公式(23)运算(36)= f(r)0 + f/(r) 利用公式(33)、 ( 3 5 )运算今YX一Y丫万例25.证明V x (r一 3 丫 ) = 0证: V x(r一” Y ) = r 一 ” V x 丫 + V r 一 “ 又 Y 利用公式(23)运算(37)Xt丫一二 r 一 30 一 3r- 了 利J刊公式(33)、( 3 5 ) 运算万例26 .证明(A V )u 二 A Vu ( 3 8 )证: 因A V 为一算子, 所以算子的运算规则(A V ) u = A Vu 。例27.证明A (u:)= uA 。 + 。 u+

37、2V u V 。 ( 3 9 )证: (u勺) = V V ( u u )= V V (u”) = V (uV”+ ”V u )杏=V ( u V ” ) + V今+V . ( u Vu)利用公式(21 )进行运算杏(u Vu)+ V 备(” V u )利用算子的微分性质, 根据乘积的微分法则运算。即利用公式(8)分别计算V ( u V ”)和V .(” V u ) 告 斗 杏 杏=uV V” + V u V”+ ” V . V u + V ” Vu利用公式(14)和(19)运算= uu + A u + 2 V u V u 。利用矢量代数规则作变换后, 取掉记号杏, 得出证明。例28 .验证币

38、(育x节) Ld 艺二 2 了.品 一一卜 心屯卜 一补Y = X i一补( 其中a为常矢, + y j.叫月卜+ z k)证: 在Stokes公式, 即tls.孔 =仃S 一卜( V义 A ) ( 4 0 )斗Ar伞JL中, 令A = a x y , 则有蛋(;、节, . 孔=仃v、 、了、节, . 孔L由公式(26) 知tY)含 -.卜 - .卜 一V x (a x y)=( Y.V )a 一卜 一) 一月卜(a V ) 丫一 Y.一卜 一卜 a)+ a( V、./?一?=万一 (二+av+a夕X 夕y( V目- )丫 一一争0 + 3 寸利用公式(6)和(32)运算口-卜= 一 ( a

39、二 i+ 3+ a ,-书卜a- 争 一争j +.a :k ) +ta峥= 2所以蚤(了x节, . 孔 =211: .砚L S例29 .验证Green第一公式宁 夏 农 学 院 学 报 43(uVu) 名卜ds =Vu + uV“u) d yQ和Green第二公式抓, _ _ 、 寸JT气u V U 一 V u ) Q s =SJ I J(u 、2一v“d9证: 在Gauss公式, 即掀.孟=拼v 分 A d yS 9- 一卜中令A =uV 。 , 并应用公式(2 )即得(uVu)-)ds 二 V (uVu) dy( Vu V+ u V “ ) d y勺Jr、r性.J.!J月lr.J.J广r.

40、Jg广.贝.J尹11从s(Green第一公式验证结束)同理, 可得.晶 =J、二 v + V “d将(i)、9( 1 1 ) 式相减, 即得Greeu第二公式。UU瀚了s- -名卜七 2 、-一卜例30 .已知切线单位矢量e, 、 e 3 的导数公式为、!|l廿.l|es夕e l_ e : 口H l二百;一下i一 而万) 一知 -一卜川州一戏夕H夕 q夕e l夕 q :_ e 2 o H ZH_丝夕 q今乞H红比?一q夕- )夕e Z夕 q le l 夕H-)夕e ZR 遥百互),_ e 5 o H ZH 3 刀 q 3夕e Z, 歹叭(11)(44)-一卜夕e 3夕 q l一_ e lH3,

41、 H l 夕e 3 _J叭, 百五)-eZ 夕H :注, 夕 q ,H刁e 3 _夕q 3)C zH 1夕H一一卜e 2H:夕H 3夕 q Z要求利用公式 (11)推导出在正交曲线坐标系中梯度、夕q l散度、 调和量和旋度 的表达式。解:设u(1 )(q l,梯度的表达式q :, q3) 为一数性函数, 则其梯度为qradu1H l 口 q一争 1 夕 ) 1+ e Z H : 。 q Z + e “n一3夕夕 q 3 )u1一e二z、算子的运算规则1 夕U 一=.下二 - - 一三一.一 e,+HI , q z (2) 散度的表达式1H 2夕u 一势 1 夕u 分, 可了2十 百丁歹可石e3

42、 (45)设矢量A = A ; e;十 A : e Z 十 A 3叫月卜e a , 则成峥 1 夕 分 l 夕e i夜)而万+e ZH i 百可峥 1 夕 、一 十 e 交 二不厂一 下二 l2 一 且a 矛 从 a /一争 -扣( Al e l +AZ e ZV/l、一峥AVJdtes)十A 3j立用导数公式(4 ), 可得上式右端乘积如表1:表 1_, 一_乘 士_j_l 一砚 一共共上:1 一异 俄一 雪合: 赢参决 汽款_ e:、Z q_2_立世_一三三耸一 赢念一一三过一:乞一, 一 r、命三口岁:一.命二歌 .小 .六.撇二_ 二 .将此表的每个纵列合并后再相加, 即得diA1 夕

43、 , , , , 、 、 夕 , 二 , , , 、 、 口 , , , , , 、 1 , 。、= 百;,Rii 硕一l歹可气且2且3八 十 , 叭又n n “A ” +百可百n n 八3j 、怪0 ,下面我们对公式(46) 的导出过程再作两点说明:A .关于表1的术得为扮:少篇、, 我们只给出(.一) -笼卜e 百丁 (A;e, +A: e : +A 3 e3)的运算过程 ,分 1eZ食) 一一卜 月一); 、.夕只a/一卜( A工e , +A: e : +A: e 3), 峥 1 夕 、冷U 【e 。 - 干下- 一一二.一 1 .“n3 夕 q 3 / ( A, e 一+A:e :、/

44、.2一夕q夕2.、于至的、,/+ A s e 。._ ._、 , _ ,/ 一 1 夕 、还界过程与戈“ 宜二百示、夕-一卜 - 一.争( A工e , +A: e : +A: e 3) 完全相似, 不再写出。利用公式(22), 即V ( u A ) 二 u V A + V u A ; 于是得:( 。, 一衬, A l e l.、,产夕q一夕拐宁 夏 农 学 院 学 报/峥 1 夕 、二 A 戈“, 一直石了叭少- )一一卜e l +(一 1c, 一直丁两飞夕八“ ”=( 奇盯)=(念一或)(、会)+(盯击一洽) 盯 利用算子的微分性质一争只H_、_ 二屯刀 q 2 H 3 款)(或亩:欲)或1

45、一 H l 利用算子的矢量性质, 求得结果从,践l -)l注l 刁 q ).A :e Z峥el产了、2.、+一灿、.2斗/ 一 l= A Z气“宜万夕夕 q l) 1e 一R 丁夕 了一二一 I 八 0 . e ,夕 性 1 / -一=(合孙 ( 念) (:一井绘) 刃 利用算子的微分性质夕H ,夕 q Z夕A Z口 q l、./分叭n乙一1占A2 夕H IH I H : 夕q :利用算子的矢量性质, 求得结果/ 一 l. el一万下-一、 且l. A se3、 一 / 令 1 夕少 e 3 + 戈e一R 丁奋互夕q一,、./卫H=A31H头1e了吸、十、,Z3.1eq夕乡2.、./el31

46、夕A 。刁 q l )利用算子的微分性质 一1一 e 夕夕H ;(一歇一欺)+(或击一 冷) 芯A3HxH3夕 q 3 利用算子的矢量性质, 求得结果B . 关于表 1中 “每个纵列合并” 的方法在合并运算中利用乘积的微分法则, 即 Ooq、 a v.O u 一一气 u v 夕 = u 一石 二 一 十 V 一不花了一, ,兵甲0性1 0 性iu ( q , 、并为例,全相似。q: 、q3)、 v( q说明合并方法; 至于l、q2 、q。) 均为数性函数。 我们以表1中第一纵列的合弟二纵列灼合并, 尹左方法上和第一 纵列的合并方法完, A I A ;一二 一 十 下下一库二一, 性 1 tl

47、工且:夕H ,夕 q l 十A1工, 工13夕上土。, q l1一H算子的运算规则46二 瓦亩、一 3 一l (H2H3念)+A1H3黯+A:HZ黯=瓦试、【(H2H3绘) A l(H 3黯 H Z绘)=丽清浦【HZ”3瓷+“1卫黔丛=、:者雨;念(H2H3、 , ) .( 3 ) 调和量的表达式因为调和量八u = V V u 是梯度Vu的散度, 所以由公式(45 )和(46) 可得:u = di勺( V u )1x H Z H 3 l念(架升、认)+、袄今争念)一H一夕 / H ,H。 夕u 1+ 宁二一一吸一六二二进 二一 - 1 .夕 性 s n 3 夕 从 3IJ (47)( 4 )旋度的表达式 一) .-) - )设矢量A =rotA =A le:+ A 2eZ+ A 3e3,一一V x A则/ 1 夕= 、“ R i 百可二 + e Z1 夕 叶;, 二一十 e ,且2 夕 性 21 口H 3 口 q 夕X(A” , + A e Z + A 3 “少应用导数公式(4 ), 可得上式右