1、1 课时跟踪检测（十六） 反证法 层级一 学业水平达标 1用反证法证明命题：“若直线AB，CD是异面直线，则直线AC，BD也是异面直线” 的过程归纳为以下三个步骤： 则A，B，C，D四点共面，所以AB，CD共面，这与AB，CD是异面直线矛盾；所以 假设错误，即直线AC，BD也是异面直线；假设直线AC，BD是共面直线 则正确的序号顺序为( ) A B C D 解析：选B 根据反证法的三个基本步骤“反设归谬结论”可知顺序应为. 2用反证法证明命题“如果a，bN，ab可被5整除，那么a，b中至少有一个能被 5整除”时，假设的内容应为( ) Aa，b都能被5整除 Ba，b都不能被5整除 Ca，b不都能
2、被5整除 Da不能被5整除 解析：选B “至少有一个”的否定是“一个也没有” ，即“a，b都不能被5整除” ， 故选B. 3用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时，反设正确的是( ) A三个内角中至少有一个钝角 B三个内角中至少有两个钝角 C三个内角都不是钝角 D三个内角都不是钝角或至少有两个钝角 解析：选B “至多有一个”即要么一个都没有，要么有一个，故反设为“至少有两 个” 4已知a，b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b的位置关系为( ) A一定是异面直线 B一定是相交直线 C不可能是平行直线 D不可能是相交直线 解析：选C 假设cb，而由ca，可得ab，这与a，b异面
3、矛盾，故c与b不可 能是平行直线，故应选C. 5已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“acbd”的( ) A充分而不必要条件 B必要而不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2 解析：选B cd，cd，ab，ac与bd的大小无法比较可采用反 证法，当acbd成立时，假设ab，cd，acbd，与题设矛盾， ab.综上可知， “ab”是“acbd”的必要不充分条件 6否定“自然数a，b，c中恰有一个偶数”时，正确的反设是_ 答案：自然数a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数 7命题“a，bR，若|a1|b1|0，则ab1”用反证法证明时应假设为 _ 解析：“ab1”的反面是“a1或b
4、1” ，所以设为a1或b1. 答案：a1或b1 8和两条异面直线AB，CD都相交的两条直线AC，BD的位置关系是_ 解析：假设AC与BD共面于平面，则A，C，B，D都在平面内， AB，CD，这与AB，CD异面相矛盾，故AC与BD异面 答案：异面 9求证：1， ，2不能为同一等差数列的三项 3 证明：假设1， ，2是某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为d， 3 则1 md,2 nd，其中 m，n为两个正整数， 3 3 由上面两式消去d，得n2m (nm) 3 因为n2m为有理数，而 (nm)为无理数， 3 所以n2m (nm)，矛盾，因此假设不成立， 3 即1， ，2不能为同一等差数列的三
5、项 3 10已知函数f(x)在R上是增函数，a，bR. (1)求证：如果ab0，那么f(a)f(b)f(a)f(b)； (2)判断(1)中的命题的逆命题是否成立？并证明你的结论 解：(1)证明：当ab0时，ab且ba. f(x)在R上是增函数， f(a)f(b)，f(b)f(a)， f(a)f(b)f(a)f(b) (2)(1)中命题的逆命题为“如果f(a)f(b)f(a)f(b)，那么ab0” ，此命 题成立 用反证法证明如下： 假设ab0，则ab，f(a)f(b) 同理可得f(b)f(a) f(a)f(b)f(a)f(b)，这与f(a)f(b)f(a)f(b)矛盾，故假设不 成立，3 ab
6、0成立，即(1)中命题的逆命题成立 层级二 应试能力达标 1用反证法证明命题“关于x的方程axb(a0)有且只有一个解”时，反设是关于 x的方程axb(a0)( ) A无解 B有两解 C至少有两解 D无解或至少有两解 解析：选D “唯一”的否定是“至少两解或无解” 2下列四个命题中错误的是( ) A在ABC中，若A90，则B一定是锐角 B. ， ， 不可能成等差数列 17 13 11 C在ABC中，若abc，则C60 D若n为整数且n 2 为偶数，则n是偶数 解析：选C 显然A、B、D命题均真，C项中若abc，则ABC，若 C60，则A60，B60，ABC180与ABC180 矛盾，故选C.
7、3设a，b，c(，0)，则a ，b ，c ( ) 1 b 1 c 1 a A都不大于2 B都不小于2 C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于2 解析：选C 假设都大于2，则a b c 6，但 1 b 1 c 1 a 2(2)(2)6，矛盾 ( a 1 b ) ( b 1 c ) ( c 1 a ) ( a 1 a ) ( b 1 b ) ( c 1 c ) 4若ABC能被一条直线分成两个与自身相似的三角形，那么这个三角形的形状是( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D不能确定 解析：选B 分ABC的直线只能过一个顶点且与对边相交，如直线AD(点D在BC上)， 则ADBADC，若A
8、DB为钝角，则ADC为锐角而 ADCBAD，ADCABD，ABD与ACD不可能相似，与已知不符，只有当 ADBADCBAC 时，才符合题意 2 5已知数列a n ，b n 的通项公式分别为a n an2，b n bn1(a，b是常数，且 ab)，那么这两个数列中序号与数值均对应相同的项有_个4 解析：假设存在序号和数值均相等的项，即存在n使得a n b n ，由题意ab，nN * ， 则恒有anbn，从而an2bn1恒成立，所以不存在n使a n b n . 答案：0 6完成反证法证题的全过程设a 1 ，a 2 ，a 7 是1,2，7的一个排列，求证： 乘积p(a 1 1)(a 2 2)(a 7
9、 7)为偶数 证明：假设p为奇数，则a 1 1，a 2 2，a 7 7均为奇数因奇数个奇数之和为奇 数，故有 奇数_0. 但0奇数，这一矛盾说明p为偶数 解析：据题目要求及解题步骤， a 1 1，a 2 2，a 7 7均为奇数， (a 1 1)(a 2 2)(a 7 7)也为奇数 即(a 1 a 2 a 7 )(127)为奇数 又a 1 ，a 2 ，a 7 是1,2，7的一个排列， a 1 a 2 a 7 127，故上式为0， 所以奇数(a 1 1)(a 2 2)(a 7 7) (a 1 a 2 a 7 )(127)0. 答案：(a 1 1)(a 2 2)(a 7 7) (a 1 a 2 a
10、7 )(127) 7已知a，b，c(0,1)，求证：(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于 . 1 4 证明：假设(1a)b，(1b)c，(1c)a都大于 . 1 4 因为0a1,0b1,0c1， 所以1a0.由基本不等式， 得 . (1a)b 2 (1a)b 1 4 1 2 同理， ， . (1b)c 2 1 2 (1c)a 2 1 2 将这三个不等式两边分别相加，得 ， (1a)b 2 (1b)c 2 (1c)a 2 1 2 1 2 1 2 即 ，这是不成立的， 3 2 3 2 故(1a)b，(1b)c，(1c)a不能都大于 . 1 45 8已知数列a n 满足：a 1 ， ，a n
11、 a n1 0(n1)；数列b n 1 2 3(1an1) 1an 2(1an) 1an1 满足：b n a a (n1) 2 n1 2 n (1)求数列a n ，b n 的通项公式； (2)证明：数列b n 中的任意三项不可能成等差数列 解：(1)由题意可知，1a (1a ) 2 n1 2 3 2 n 令c n 1a ，则c n1 c n . 2 n 2 3 又c 1 1a ，则数列c n 是首项为c 1 ，公比为 的等比数列，即 2 1 3 4 3 4 2 3 c n n1 ， 3 4 ( 2 3 ) 故1a n1 a 1 n1 . 2 n 3 4 ( 2 3 ) 2 n 3 4 ( 2
12、3 ) 又a 1 0，a n a n1 0， 1 2 故a n (1) n1. 1 3 4 ( 2 3 ) n1 b n a a 1 n1 n1 . 2 n1 2 n 1 3 4 ( 2 3 ) n 3 4 ( 2 3 ) 1 4 ( 2 3 ) (2)用反证法证明 假设数列b n 存在三项b r ，b s ，b t (rst)按某种顺序成等差数列，由于数列b n 是 首项为 ，公比为 的等比数列，于是有b r b s b t ，则只可能有2b s b r b t 成立 1 4 2 3 2 s1 r1 t1 ， 1 4 ( 2 3 ) 1 4 ( 2 3 ) 1 4 ( 2 3 ) 两边同乘以3 t1 2 1r ，化简得3 tr 2 tr 22 sr 3 ts . 由于rst，上式左边为奇数，右边为偶数，故上式不可能成立，导致矛盾 故 数列b n 中任意三项不可能成等差数列
