1、1 课时跟踪检测（五） 函数的单调性与导数 层级一 学业水平达标 1下列函数中，在(0，)内为增函数的是( ) Aysin x Byxe x Cyx 3 x Dyln xx 解析：选B B中，y(xe x )e x xe x e x (x1)0在(0，)上恒成立， yxe x 在(0，)上为增函数对于A、C、D都存在x0，使y0的情况 2若函数yx 3 x 2 mx1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是( ) A. B. ( 1 3 ， ) ( ， 1 3 C. D. 1 3 ， ) ( ， 1 3 ) 解析：选C y3x 2 2xm，由条件知y0在R上恒成立， 412m0，m . 1 3
2、3函数yx 4 2x 2 5的单调递减区间为( ) A(，1)和(0,1) B1,0和1，) C1,1 D(，1和1，) 解析：选A y4x 3 4x，令y0， 当x(1,2)时，(x1)(x2)0，a0. 答案：(0，) 9已知函数f(x) x 3 ax 2 bx，且f(1)4，f(1)0. 1 3 (1)求a和b； (2)试确定函数f(x)的单调区间 解：(1)f(x) x 3 ax 2 bx， 1 3 f(x)x 2 2axb， 由Error!得Error! 解得a1，b3. (2)由(1)得f(x) x 3 x 2 3x. 1 3 f(x)x 2 2x3(x1)(x3)3 由f(x)0
3、得x1或x0，所以f(x)在(0，)内是增函数， 1 2 x 1 x 所以有f(2)0，f(x)为增函数， x(0,2)时，f(x)0，f(x)为增函数只 有C符合题意，故选C.4 3(全国卷)若函数f(x)kxln x在区间(1，)内单调递增，则k的取值范围是( ) A(，2 B(，1 C2，) D1，)解析：选D 因为f(x)kxln x，所以f(x)k .因为f(x)在区间(1，) 1 x 上单调递增，所以当x1时，f(x)k 0恒成立，即k 在区间(1，)上恒成 1 x 1 x 立因为x1，所以0e 2 f(0)，f(2 016)e 2 016 f(0) Bf(2)e 2 016 f(
4、0) Cf(2)e 2 f(0)，f(2 016)e 2 016 f(0) 解析：选C 函数F(x) 的导数F(x) fx ex fxexfxex ex2 0， fxfx ex 函数F(x) 是定义在R上的减函数， fx ex F(2)F(0)，即 ，故有f(2)e 2 f(0) f2 e2 f0 e0 同理可得f(2 016)e 2 016 f(0)故选C. 5已知函数f(x)的定义域为R，f(1)2，对任意xR，f(x)2，则f(x) 2x4的解集为_ 解析：设g(x)f(x)2x4，则g(x)f(x)2. 对任意xR，f(x)2，g(x)0. g(x)在R上为增函数又g(1) f(1)2
5、40，x1时，g(x)0. 由f(x)2x4，得x1. 答案：(1，) 6若f(x) x 2 bln(x2)在(1，)上是减函数，则b的取值范围是 1 2 _ 解析：f(x)在(1，)上为减函数， f(x)0在(1，)上恒成立，5 f(x)x ，x 0， b x2 b x2 bx(x2)在(1，)上恒成立， g(x)x(x2)(x1) 2 1， g(x) min 1，b1. 答案：(，1 7已知x0，证明不等式ln(1x)x x 2 成立 1 2 证明：设f(x)ln(1x)x x 2 ， 1 2 其定义域为(1，)，则f(x) 1x . 1 1x x2 1x 当x1时，f(x)0， 则f(x
6、)在(1，)内是增函数 当x0时，f(x)f(0)0. 当x0时，不等式ln(1x)x x 2 成立 1 2 8已知函数f(x)x 3 ax1. (1)是否存在实数a，使f(x)在(1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若 不存在，说明理由 (2)证明：f(x)x 3 ax1的图象不可能总在直线ya的上方 解：(1)已知函数f(x)x 3 ax1， f(x)3x 2 a， 由题意知3x 2 a0在(1,1)上恒成立， a3x 2 在x(1,1)上恒成立 但当x(1,1)时，03x 2 3，a3， 即当a3时，f(x)在(1,1)上单调递减 (2)证明：取x1，得f(1)a2a， 即存在点(1，a2)在f(x)x 3 ax1的图象上，且在直线ya的下方 即f(x)的图象不可能总在直线ya的上方
